Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Июня 2013 в 21:54, контрольная работа
ЗАДАЧА 1. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь - метод Зейделя.
ЗАДАЧА 2. Чисельне інтегрування визначених однократних інтегралів за формулами лівих, правих, середніх прямокутників, трапецій, Симпсона.
ЗАДАЧА 3. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку.
Найпростішим методом розв’язування задачі Коші (1)-(3) є метод Ейлера. Його ідея полягає в заміні інтегральної кривої (1), що проходить через точку ламаною лінією з вершинами (рис. 1), які визначаються за ітераційними формулами:
, , (i=0,1,2,…). |
(4) |
Недоліком метода Ейлера є його низька точність, яка пропорційна величині h. Тобто, щоб уточнити результат на один десятковий знак, необхідно зменшити крок в десять разів. Тому цей метод застосовують для орієнтовних розрахунків.
Більш точним є вдосконалений метод “предиктор-коректор” (інша назва - метод Ейлера-Коші), за яким спочатку визначають “грубе” наближення розв’язку
, |
(5) |
звідки
знаходять направлення
. |
(6) |
Потім вважають:
, (i=0,1,2,…). |
(7) |
Похибка методу “предиктор-коректор” має порядок .
В обчислювальній практиці найбільш часто використовують метод Рунге-Кутти, який має точність пропорційну . Приведемо його розрахункові формули:
(i=0,1,2,…,n). |
(8) |
ЗАВДАННЯ
Знайти наближений розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку на заданому проміжку методами Ейлера, “предиктор – коректор”, Рунге-Кутти.
b | ||||
1. |
0.0 |
1.0 |
1.0 | |
2. |
0.0 |
0.0 |
0.3 | |
3. |
0.0 |
0.27 |
1.0 | |
4. |
0.0 |
0.1 |
1.0 | |
5. |
0.0 |
0.0 |
1.0 | |
6. |
0.0 |
0.0 |
0.1 | |
7. |
0.0 |
1.0 |
2.0 | |
8. |
0.0 |
0.0 |
0.1 | |
9. |
0.0 |
1.0 |
1.0 | |
10. |
1.0 |
0.0 |
2.0 | |
11. |
0.0 |
1.0 |
1.0 | |
12. |
0.0 |
0.0 |
1.0 | |
13. |
1.0 |
1.0 |
2.0 | |
14. |
0.0 |
1.5 |
1.0 | |
15. |
-1.0 |
0.0 |
0.0 | |
16. |
0.3 |
1.42 |
0.6 | |
17. |
1.0 |
1.0 |
2.0 | |
18. |
0.0 |
0.5 |
1.0 | |
19. |
1.0 |
2.0 |
2.0 | |
20. |
1.0 |
-1.0 |
2.0 |
ПРИКЛАД РОЗВЯ’ЗУВАННЯ
Знайти наближений розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку на заданому проміжку методами Ейлера, “предиктор – коректор”, Рунге-Кутти:
h= |
0,05 |
x0= |
0 |
y0= |
1 |
y'=f(x,y)=2^x+y^2 | ||||
Метод Ейлера |
||||||||||
i |
xi |
yi |
f(xi,yi) | |||||||
0 |
0 |
1 |
2 | |||||||
1 |
0,05 |
1,1 |
2,245265 | |||||||
2 |
0,1 |
1,212263 |
2,541356 | |||||||
3 |
0,15 |
1,339331 |
2,903377 | |||||||
4 |
0,2 |
1,4845 |
3,352438 | |||||||
5 |
0,25 |
1,652122 |
3,918714 | |||||||
6 |
0,3 |
1,848057 |
4,646461 | |||||||
7 |
0,35 |
2,080381 |
5,602544 | |||||||
8 |
0,4 |
2,360508 |
6,891505 | |||||||
9 |
0,45 |
2,705083 |
8,683514 | |||||||
10 |
0,5 |
3,139259 |
11,26916 | |||||||
Метод "предиктор-коректор" |
|||||
i |
xi |
yi |
f(xi,yi) |
yi~ |
f~(xi+1,yi~) |
0 |
0 |
1 |
2 |
1,1 |
2,245265 |
1 |
0,05 |
1,106132 |
2,258792 |
1,219071 |
2,557908 |
2 |
0,1 |
1,226549 |
2,576196 |
1,355359 |
2,946567 |
3 |
0,15 |
1,364618 |
2,971752 |
1,513206 |
3,43849 |
4 |
0,2 |
1,524874 |
3,47394 |
1,698571 |
4,074352 |
5 |
0,25 |
1,713582 |
4,125569 |
1,91986 |
4,917007 |
6 |
0,3 |
1,939646 |
4,993371 |
2,189315 |
6,067659 |
7 |
0,35 |
2,216172 |
6,185978 |
2,525471 |
7,69751 |
8 |
0,4 |
2,563259 |
7,889804 |
2,957749 |
10,11432 |
9 |
0,45 |
3,013362 |
10,44639 |
3,535682 |
13,91526 |
10 |
0,5 |
3,622403 |
14,53602 |
4,349204 |
19,91558 |
Метод Рунге-Кутти |
||||||
i |
xi |
yi |
K1i |
K2i |
K3i |
K4i |
|
0 |
0 |
1 |
0,1 |
0,105999 |
0,106314 |
0,11296 |
1 |
0,05 |
1,106264 |
0,112954 |
0,120266 |
0,120692 |
0,12886 |
2 |
0,1 |
1,226886 |
0,128851 |
0,1379 |
0,138485 |
0,14869 |
3 |
0,15 |
1,365271 |
0,148677 |
0,160072 |
0,160894 |
0,173894 |
4 |
0,2 |
1,526022 |
0,173872 |
0,188521 |
0,189705 |
0,206646 |
5 |
0,25 |
1,715517 |
0,20661 |
0,225905 |
0,227665 |
0,250355 |
6 |
0,3 |
1,942868 |
0,250294 |
0,276467 |
0,279182 |
0,310603 |
7 |
0,35 |
2,221567 |
0,310496 |
0,347304 |
0,351696 |
0,397059 |
8 |
0,4 |
2,572493 |
0,396861 |
0,45103 |
0,458571 |
0,527669 |
9 |
0,45 |
3,029782 |
0,527281 |
0,611827 |
0,625839 |
0,738889 |
10 |
0,5 |
3,653365 |
0,738065 |
0,880931 |
0,909919 |
1,114383 |
Побудуемо графіки отриманих розв’язків: