Контрольная работа по "Математике"

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

 

ТЕМА: Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса.

 

МЕТА: Опанувати методом Гауса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) за схемою повного вибору.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:

,

(1)

або в компактному вигляді                                       (2)

В матричній формі запишемо систему так:

,                                                                (3)

де  - матриця коефіцієнтів системи; - вектор вільних членів; - вектор невідомих.

Система (1) буде мати єдиний розв’язок, якщо матриця А невироджена, тобто .

Чисельні  методи розв’язування СЛАР діляться на дві групи: прямі та ітераційні.

Прямі методи дозволяють за скінчену кількість дій отримати точний розв’язок системи (1), якщо елементи матриці А і вектор вільних членів задано точно, і обчислення проводяться без округлень.

Ітераційні  методи дозволяють знайти наближений розв’язок шляхом побудови послідовності наближень (ітерацій):

,

починаючи з деякого наближення

.

Вибір методу розв’язування СЛАР залежить:

• від властивостей матриці А;
• від кількості рівнянь;
• від характеристик комп’ютера (швидкодії, розрядної сітки, об’єму оперативної пам’яті).

Прямі методи використовуються для  розв’язування систем невеликої вимірності ( ).

Ітераційні методи використовують зазвичай для систем великої вимірності ( ), коли використання прямих методів є недоцільним через необхідність виконувати занадто велику кількість арифметичних операцій.

Метод Гауса є найрозповсюдженим прямим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ідея методу полягає у зведенні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Отримується еквівалентна система:

,

(4)

або в матричній формі запису: .

Зведення системи (1) до еквівалентної (4) називається прямим ходом метода Гауса, а розв’язування системи (4), тобто послідовне визначення невідомих, - зворотним ходом метода Гауса.

Прямий хід можна  реалізувати за двома схемами: єдиного ділення або повного вибору.

Схему повного вибору доцільно використовувати, якщо матриця коефіцієнтів розріджена нулями, або діагональні елементи матриці є малими величинами. Серед елементів матриці А обирають головний - найбільший по модулю:

      .

Рядок і стовпець, в якому знаходиться головний елемент, теж називають головними. Всі елементи головного стовпця ділять на головний елемент зі знаком «-»:

.                                           (5)

Потім, вилучають  з системи невідому x_q . Для цього, до кожного неголовного і-го рядка (і=1,2,…,n; i≠p) додають головний р-ий рядок, помножений на відповідний множник :

                            (6)

Головні рядок  і стовпець вилучаємо з матриці, і обираємо новий головний елемент. Дії продовжуємо до тих пір, доки не будуть вилучені всі невідомі з системи. Щоб визначити значення невідомих, об’єднуємо в систему всі головні рядки, починаючи з останнього вилученого.

На  практиці при розрахунках користуються розширеною матрицею коефіцієнтів системи, яку отримують із матриці A, доповнюючи її справа вектором .

ЗАВДАННЯ

Методом Гауса за схемою повного вибору розв’язати СЛАР.

Номер варіанта обирається за двома останніми цифрами залікової книжки.

Наприклад, номер залікової книжки 10589. Останні цифри – 89. В завданні 20 варіантів. Розділимо 89 на 20 і візьмемо остачу від ділення: 89/20=4 (остача 9). Ваш  варіант буде 9.

№		№
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		18
10		20

Звіт  про виконання лабораторної роботи повинен містити:

• формулювання задачі;
• хід розв’язку;
• отримані чисельні результати;
• аналіз результатів;
• висновки.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

 

1. На які дві групи  поділяються методи розв’язання  СЛАР?
2. Сутність методу Гауса?
3. Поясніть поняття "прямий хід" та "обернений хід" методу Гауса?
4. Алгоритм схеми повного вибору.

 

ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

Методом Гауса за схемами єдиного  ділення та повного вибору розв’яжемо систему:

Схема повного вибору

Формуємо  розширену матрицю коефіцієнтів – до матриці коефіцієнтів A додаємо вектор вільних членів стовпцем справа. В матриці обираємо найбільший по модулю елемент (останній стовпець не розглядаємо) - . Оголошуємо його головним. Рядок і стовпець, в якому знаходиться головний елемент, теж будемо називати головними.

Всі елементи другого головного стовпця ділимо на головний елемент зі знаком «-»: на . Це буде вектор (сам на себе головний елемент ні ділимо!):

x1	x2	x3	x4	b		m
0,11	1,13	-0,17	0,18	1		0,965812
0,13	-1,17	0,18	0,14	0,13
0,11	-1,05	-0,17	-0,15	0,11		-0,89744
0,15	-0,05	0,18	-0,11	1		-0,04274

Вилучаємо з системи невідому . Для цього до першого рівняння додамо головний рядок (виділений кольором), помножений на коефіцієнт ; до третього рівняння додамо головний рядок, помножений на коефіцієнт ; до четвертого рівняння додамо головний рядок, помножений на коефіцієнт . Формуємо нову матрицю, в якій буде на один рядок менше – вилучаємо головний рядок:

x1	x2	x3	x4	b
0,235556	0	0,003846	0,315214	1,125556
-0,00667	0	-0,33154	-0,27564	-0,00667
0,144444	0	0,172308	-0,11598	0,994444

Тепер в новій метриці обираємо головний елемент і вилучаємо  відповідну змінну з системи. І так далі.

x1	x2	x3	x4	b		m
0,235556		0,003846	0,315214	1,125556		0,011601
-0,00667		-0,33154	-0,27564	-0,00667
0,144444		0,172308	-0,11598	0,994444		0,519722

 

x1	x2	x3	x4	b
0,235478		0	0,312016	1,125478
0,14098		0	-0,25924	0,99098

 

x1	x2	x3	x4	b		m
0,235478			0,312016	1,125478
0,14098			-0,25924	0,99098		0,830853

 

x1	x2	x3	x4	b
0,336627			0	1,926087

Формуємо  матрицю з головних рядків і останнього:

x1	x2	x3	x4	b
0,13	-1,17	0,18	0,14	0,13
-0,00667		-0,33154	-0,27564	-0,00667
0,235478			0,312016	1,125478
0,336627				1,926087

Визначаємо вектор невідомих через прямі підстановки. Порядок знаходження невідомих визначаємо по головних елементах: , , , .

X1=	5,721716
X4=	-0,71106
X3=	0,496228
X2=	0,515894

Відповідь: ; ; ; .