Контрольная работа по "Математике"

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3

ТЕМА: Наближене розв’язування систем нелінійних рівнянь.

МЕТА: Опанувати чисельними методами наближеного розв’язування систем двох нелінійних рівнянь – методом Ньютона та методом ітерацій.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система двох нелінійних рівнянь має вигляд:

(1)

Початкове наближення коренів визначають графічно. Для знаходження наступних наближень використовують співвідношення методу Ньютона:

(2)

Визначник називається Якобіаном системи (1) і має бути відмінним від 0. Метод Ньютона вимагає достатньої близькості початкового наближення до розв’язку.

Метод ітерацій. Систему (7) представляють у вигляді:

(3)

Нехай один із розв’язків системи (7) належить деякій області (рис. 1). Для уточнення розв’язку використовуємо формули:

… …

(4)

Початкове наближення визначають графічно, і вони мають належати області D. Ітераційний процес збігається, якщо в області D виконуються умови:

(5)

 

 

 

ЗАВДАННЯ

Розв’язати систему  нелінійних рівнянь із точністю методом Ньютона і методом ітерацій. Графічним способом визначити початкове наближення коренів системи .

Номер варіанта обирається за двома останніми цифрами залікової книжки.

Наприклад, номер залікової книжки 10589. Останні цифри – 89. В завданні 20 варіантів. Розділимо 89 на 20 і візьмемо остачу від ділення: 89/20=4 (остача 9). Ваш  варіант буде 9.

№		№
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Звіт про виконання лабораторної роботи повинен містити:

• формулювання задачі;
• лістинг розрахунків в Excel;
• отримані чисельні результати;
• аналіз результатів;
• висновки.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Що означає відокремити корені рівняння?
2. Сутність методу Ньютона для системи двох нелінійних рівнянь.
3. Наведіть ітераційну формулу метода Ньютона для системи n нелінійних рівнянь.
4. Як визначається Якобіан системи нелінійних рівнянь?
5. Сутність методу ітерацій.
6. Якими є умови збіжності методу ітерацій?
7. Наведіть ітераційну формулу метода ітерацій для системи n нелінійних рівнянь, порівняйте її з ітераційною формулою метода Ньютона.

 

ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

Розв’язати систему нелінійних рівнянь з точністю методом Ньютона і методом ітерацій:

Метод Ньютона.

Приведемо систему до вигляду:

            

Знайдемо графічним способом початкове наближення коренів системи  . Для цього побудуємо в графіки функцій обох рівнянь.

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
y1(x)	-2,16464	-2,07943	-1,98942	-1,89552	-1,79867	-1,69983	-1,6
y2(x)	-2,69057	-2,2143	-1,87549	-1,5708	-1,2661	-0,9273	-0,45103

                                                                       

Xпоч=

0,15

Yпоч=

-2,1

 

Уточнення коренів системи  проведемо за формулами (2):

k	x	y	F(x,y)	F'x(x,y)	F'y(x,y)	G(x,y)	G'x(x,y)	G'y(x,y)	J	Dx	Dy
0	0,15	-2,1	0,065034	0,900447	-1	0,054846	3	-0,86321	2,222726	-0,00129	-0,14572
1	0,150581	-2,03444	7,35E-08	0,9007	-1	-0,00104	3	-0,89443	2,194389	-0,00104	-0,00094
2	0,151057	-2,03401	4,92E-08	0,900906	-1	-4,1E-08	3	-0,89462	2,194031	-8,5E-08	-1,8E-07
3	0,151057	-2,03401

Відповідь: x=0.151,   y=-2.034;   кроків 2.

Метод ітерації.

Приведемо систему до вигляду:

Для цього з другого  рівняння системи зручно визначити  невідому x, а з першого - невідому y. Тоді маємо:

Початкове наближення коренів  системи визначили раніше: ;   .

k	x	y	j(y)	y(x)	F(x,y)	G(x,y)
0	0,15	-0,21	0,62601	-2,03497	-1,82497	-1,42803
1	0,62601	-2,03497	0,150773	-1,57399	0,460973	1,425711
2	0,150773	-1,57399	0,298935	-2,03427	-0,46028	-0,44448
3	0,298935	-2,03427	0,150981	-1,89654	0,137731	0,443861
4	0,150981	-1,89654	0,19333	-2,03408	-0,13754	-0,12705
5	0,19333	-2,03408	0,151037	-1,99555	0,038528	0,126878
6	0,151037	-1,99555	0,162633	-2,03403	-0,03848	-0,03479
7	0,162633	-2,03403	0,151052	-2,02356	0,010476	0,034745
8	0,151052	-2,02356	0,154184	-2,03402	-0,01046	-0,0094
9	0,154184	-2,03402	0,151056	-2,03119	0,002824	0,009385
10	0,151056	-2,03119	0,151898	-2,03401	-0,00282	-0,00253
11	0,151898	-2,03401	0,151057	-2,03326	0,000759	0,002525
12	0,151057	-2,03326	0,151283	-2,03401	-0,00076	-0,00068
13	0,151283	-2,03401	0,151057	-2,03381	0,000204	0,000679
14	0,151057	-2,03381	0,151118	-2,03401	-0,0002	-0,00018
15	0,151118	-2,03401	0,151057	-2,03396	5,48E-05	0,000182

 

Відповідь: x=0.151,   y=-2.033;   кроків 15.