Контрольная работа по "Математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Июня 2013 в 21:54, контрольная работа

Краткое описание

ЗАДАЧА 1. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь - метод Зейделя.
ЗАДАЧА 2. Чисельне інтегрування визначених однократних інтегралів за формулами лівих, правих, середніх прямокутників, трапецій, Симпсона.
ЗАДАЧА 3. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку.

Прикрепленные файлы: 5 файлов

Конспект_лекц_й.pdf

— 2.07 Мб (Скачать документ)

Контрольна робота_заочно.docx

— 473.98 Кб (Скачать документ)

КОНТРОЛЬНА РОБОТА (ЗАОЧНА ФОРМА  НАВЧАННЯ)

Номер варіанта обирається за двома останніми цифрами залікової книжки.

Наприклад, номер залікової книжки 10589. Останні цифри – 89. В завданні 20 варіантів. Розділимо 89 на 20 і візьмемо остачу від ділення: 89/20=4 (остача 9). Ваш варіант буде 9.

 

ЗАДАЧА 1. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь - метод Зейделя.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:

,

(1)


або в компактному вигляді                                                        (2)

В матричній формі запишемо систему так:

,                                                                (3)

де  - матриця коефіцієнтів системи; - вектор вільних членів; - вектор невідомих.

Система (1) буде мати єдиний розв’язок, якщо матриця А не вироджена, тобто .

Ітераційні методи використовують зазвичай для систем великої вимірності ( ), коли використання прямих методів є недоцільним через необхідність виконувати занадто велику кількість арифметичних операцій.

Для розв’язування  СЛАР ітераційними методами необхідно систему (1) перетворити до вигляду:

,

(4)


або . Така система називається приведеною, її можна отримати, наприклад, якщо кожне i-рівняння системи (1) розв’язати відносно змінної . Тоді:

          (5)

Всі ітераційні методи знаходять наближений розв’язок  у вигляді послідовності наближень (ітерацій):

які отримуються з системи рівнянь (4). При побудові ітерацій постають питання про початок і кінець процесу обчислень.

Будь який ітераційний  процес починається з того, що задається початкове наближення:

.

Як правило припускають, що

, або  .                                                         (6)

Так як наближений розв’язок шукається з наперед  заданою точністю e, то послідовність повинна мати скінчену кількість членів, які отримуються за скінчену кількість ітерацій.

Найпростіша умова  закінчення ітераційного процесу:

.                                                          (7)

Тобто, обчислення продовжують до тих пір, доки абсолютна величина різниці між попереднім й наступним наближеннями не стане менше деякої наперед заданої точності e:

Для дослідження  збіжності ітераційного процесу  користуються теоремою про достатню умову збіжності:

Якщо для приведеної системи (2) будь-яка канонічна норма матриці a менше одиниці:

  • ;(найбільша сума модулів елементів матриці в рядках)
  • ;(найбільша сума модулів елементів матриці в стовпцях)
  • , (корінь з суми квадратів всіх елементів)                            (8)

то ітераційний процес збігається до єдиного розв’язку цієї системи, незалежно від вибору початкового наближення.

Ця умова  по відношенню до матриці А системи (1) набуває такого змісту: процес ітерації буде збіжним, якщо модулі діагональних елементів матриці А будуть більші за суму модулів її сторонніх елементів:

.                                         (9)

До такого вигляду систему (1) можна привести, застосовуючи правила лінійного  комбінування.

Метод простої ітерації. Кожне наступне наближення і-ой невідомої , і=1,2,…,n визначається за допомогою системи рівнянь (4), в яких всі доданки правої частини беруться з попередній s-ітерації:

               (10)

Або система (10) в компактній формі:

(11)


Метод Зейделя являє собою деяку модифікацію метода простої ітерації. А саме, при обчисленні (s+1)-ого наближення невідомої враховуються вже обчислені раніше значення невідомих на поточній ітерації :

               (12)

або

(13)


ЗАВДАННЯ

Знайти  розв’язок системи методами простої ітерації (для непарних варіантів) та Зейделя (для парних варантів) з точністю 0,01. Перевірити виконання умови збіжності ітераційного процесу.

Метод простої ітерації

Метод Зейделя

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

9

19

10

20


ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

Розв’яжемо приведену систему методами простої ітерації та Зейделя.

Метод простої ітерації

Сформуємо матрицю коефіцієнтів при невідомих – α; вектор вільних  членів –β:

x1

x2

x3

x4

β

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44


Перевіримо  виконання умови збіжності ітераційного процесу. Знайдемо всі три норми  матриці α.

 

x1

x2

x3

x4

Σ рядки

 

0,32

-0,05

0,11

-0,08

0,56

 

0,11

0,16

-0,28

-0,06

0,61

 

0,08

-0,15

0

0,12

0,35

 

-0,21

0,13

-0,27

0

0,61

Σ стовпці

0,72

0,49

0,66

0,26

0,4203

           
 

І норма=

0,61

< 1

   
 

ІІ норма=

0,72

< 1

   
 

ІІІ норма=

0,648305

< 1

   

Умова збіжності виконується, ітераційний процес буде збіжний.

Задамося  початковим наближенням розвязку:

Крок 0

x1

x2

x3

x4

 

2,15

-0,83

1,16

0,44


Щоб знайти перше наближення, підставимо початкове  в праву частину нашої системи, обчислюємо точність розрахунків.

 

x1

x2

x3

x4

β

 

X

ε

 

x1=

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

=

2,9719

0,8219

>0,05

x2=

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

=

-1,0775

0,2475

>0,05

x3=

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

=

1,5093

0,3493

>0,05

x4=

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44

=

-0,4326

0,8726

>0,05

                   

Крок 1

x1

x2

x3

x4

         
 

2,9719

-1,0775

1,5093

-0,4326

         

Точність  не задовольняється, тому зробимо ще кроки:

   

x1

x2

x3

x4

β

 

Х

ε

 
 

x1=

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

=

3,35551

0,38361

>0,05

 

x2=

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

=

-1,07214

0,00536

 
 

x3=

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

=

1,50746

0,00183

 
 

x4=

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44

=

-0,73169

0,29908

>0,05

                     
 

Крок 2

x1

x2

x3

x4

         
   

3,355514

-1,07214

1,507465

-0,73169

         
                     
   

x1

x2

x3

x4

β

 

Х

ε

 
 

x1=

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

=

3,50172

0,14621

>0,05

 

x2=

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

=

-1,01062

0,06151

>0,05

 

x3=

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

=

1,50146

0,00600

 
 

x4=

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44

=

-0,81105

0,07936

>0,05

                     
 

Крок 3

x1

x2

x3

x4

         
   

3,501727

-1,01062

1,50146

-0,81105

         
                     
   

x1

x2

x3

x4

β

 

Х

ε

 
 

x1=

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

=

3,55112

0,04940

<0,05

 

x2=

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

=

-0,97826

0,03236

<0,05

 

x3=

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

=

1,49440

0,00705

<0,05

 

x4=

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44

=

-0,83214

0,02108

<0,05

                     
 

Крок 4

x1

x2

x3

x4

         
   

3,55112

-0,97826

1,49440

-0,83214

         
                     

Відповідь

x1

x2

x3

x4

         
   

3,55112

-0,97826

1,49440

-0,83214

         

 

Метод Зейделя

Початкове наближення розв’язку буде таким  же.

Крок 0

x1

x2

x3

x4

 

2,15

-0,83

1,16

0,44


Знайдемо перше наближення. Невідому х1 обчислюємо також, як і в попередньому методі. Для невідомої х2 враховуємо вже отримане перше наближення х1 ; для невідомої х3 – перші наближення х1 та х2; для невідомої х4 – перші наближення х1, х2 та х3.

 

x1

x2

x3

x4

β

 

X

ε

x1=

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

=

2,9719

0,8219

>0,05

x2=

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

=

-0,98709

0,157091

>0,05

x3=

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

=

1,598616

0,438616

>0,05

x4=

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44

=

-0,74405

1,184047

>0,05

                 

Крок 1

x1

x2

x3

x4

       
 

2,9719

-0,98709

1,598616

-0,74405

       

Точність  не задовольняється, тому зробимо ще кроки:

 

x1

x2

x3

x4

β

 

Х

ε

 

x1=

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

=

3,513287

0,127553

>0,05

x2=

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

=

-0,9765

0,041976

 

x3=

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

=

1,490712

0,003632

 

x4=

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44

=

-0,82723

0,020349

 
                   

Крок 2

x1

x2

x3

x4

         
 

3,513287

-0,9765

1,490712

-0,82723

         
                   
 

x1

x2

x3

x4

β

 

Х

ε

 

x1=

0,32

-0,05

0,11

-0,08

2,15

=

3,553233

0,039946

<0,05

x2=

0,11

0,16

-0,28

-0,06

-0,83

=

-0,96315

0,013348

<0,05

x3=

0,08

-0,15

0

0,12

1,16

=

1,489464

0,001248

<0,05

x4=

-0,21

0,13

-0,27

0

0,44

=

-0,83354

0,006316

<0,05

                   

Крок 3

x1

x2

x3

x4

         
 

3,553233

-0,96315

1,489464

-0,83354

         
                   

Відповідь

x1

x2

x3

x4

         
 

3,553233

-0,96315

1,489464

-0,83354

         

Лабораторна робота1.docx

— 120.10 Кб (Просмотреть файл, Скачать документ)

Лабораторна робота2.docx

— 87.33 Кб (Просмотреть файл, Скачать документ)

Лабораторна робота3.docx

— 105.45 Кб (Просмотреть файл, Скачать документ)

Информация о работе Контрольная работа по "Математике"