Контрольная работа по "Математике"
Контрольная работа, 06 Июня 2013, автор: пользователь скрыл имя
Краткое описание
ЗАДАЧА 1. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь - метод Зейделя.
ЗАДАЧА 2. Чисельне інтегрування визначених однократних інтегралів за формулами лівих, правих, середніх прямокутників, трапецій, Симпсона.
ЗАДАЧА 3. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку.
Прикрепленные файлы: 5 файлов
Конспект_лекц_й.pdf
— 2.07 Мб (Скачать документ)Контрольна робота_заочно.docx
— 473.98 Кб (Скачать документ)
ЗАДАЧА 2: Інтерполяція функцій. Поліном Лагранжа і Ньютона.
ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
Інтерполяцію функцій застосовують, коли деяка функція задана таблично скінченою множиною x: і потрібно визначити значення для проміжних значень аргументу - . В цьому разі будують функцію (достатньо просту для обчислень), яка в точках набуває значення . В інших точках наближено представляє функцію з тою чи іншою точністю (рис. 1).
Точки називають вузлами інтерполяції, функцію - інтерполюючою функцією, а задачу побудови - задачею інтерполяції.
Зазначені вище властивості інтерполюючої функції має поліном Лагранжа:
.
Поліном Лагранжа незручний у використанні тим, що при зміні кількості вузлів інтерполяції n, його треба будувати знову.
Інтерполяційний поліном Ньютона не має цього недоліку. При зміні степеня n необхідно лише тільки додати або відкинути відповідну кількість стандартних доданків:
Тут - розділена різниця першого порядку;
- розділена різниця другого порядку;
- розділена різниця n-ого порядку.
ЗАВДАННЯ
Використовуючи інтерполяційні поліноми Лагранжа (непарні варіанти) й Ньютона (парні варіанти), знайти наближене значення функції у точці .
1. |
x |
1.0 |
1.7 |
2.0 |
2.2 |
2.6 |
|
y |
0.1 |
0.53 |
0.79 |
-2.1 |
-3.2 |
2. |
x |
4.5 |
5.4 |
6.8 |
9.5 |
10.1 |
|
y |
1.5 |
1.68 |
3.2 |
8.4 |
9.8 |
3. |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
3.7 |
|
y |
5.8 |
6.12 |
6.3 |
6.7 |
7.05 |
4. |
x |
-2.0 |
1.0 |
2.0 |
4.0 |
5.0 |
|
y |
25 |
-8 |
15 |
-23 |
-27 |
5. |
x |
3.2 |
3.6 |
5.8 |
5.9 |
6.2 |
|
y |
5.3 |
6.0 |
2.4 |
-1.0 |
-3.2 | ||
6. |
x |
1.0 |
2.0 |
2.5 |
3.0 |
3.5 |
|
y |
-6.0 |
-1.0 |
5.6 |
16.0 |
18.0 |
7. |
x |
10 |
15 |
16 |
17 |
20 |
|
y |
3 |
7 |
10 |
17 |
19 |
8. |
x |
6.0 |
7.2 |
8.4 |
9.9 |
10.3 |
|
y |
-9.1 |
-8.3 |
-2.4 |
1.2 |
3.4 |
9. |
x |
4.0 |
5.0 |
6.0 |
7.0 |
8.0 |
|
y |
6.0 |
7.0 |
8.0 |
9.0 |
10.0 |
10. |
x |
1.5 |
1.54 |
1.6 |
1.63 |
1.72 |
|
y |
3.87 |
3.92 |
3.95 |
4.0 |
4.21 |
11. |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
y |
1 |
-3 |
25 |
129 |
381 |
12. |
x |
14 |
18 |
31 |
35 |
38 |
|
y |
68 |
64 |
44 |
39 |
32 |
13. |
x |
2.0 |
2.2 |
2.5 |
3.0 |
3.3 |
|
y |
1.41 |
1.48 |
1.59 |
1.79 |
1.82 |
14. |
x |
0.0 |
0.25 |
1.25 |
2.12 |
3.25 |
|
y |
2.0 |
1.6 |
2.32 |
2.02 |
2.83 |
15. |
x |
0.0 |
0.5 |
1.4 |
2.25 |
3.5 |
|
y |
2.0 |
1.7 |
2.36 |
2.33 |
3.17 |
16. |
x |
0.0 |
0.75 |
1.6 |
2.36 |
3.75 |
|
y |
3.0 |
2.8 |
3.7 |
3.5 |
4.0 |
17. |
x |
0.0 |
1.0 |
1.8 |
2.5 |
4.0 |
|
y |
3.0 |
2.9 |
3.6 |
3.8 |
4.3 |
18. |
x |
-0.25 |
0.0 |
1.0 |
2.1 |
3.0 |
|
y |
4.0 |
3.6 |
4.56 |
4.02 |
3.83 |
19. |
x |
-0.5 |
0.25 |
1.1 |
1.88 |
3.25 |
|
y |
5.0 |
4.8 |
5.7 |
5.5 |
5.0 |
20. |
x |
-2.5 |
-1.5 |
-0.7 |
0.0 |
1.5 |
|
y |
6.0 |
5.9 |
6.9 |
6.7 |
5.83 |
ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
Функція задана таблично.
x |
-1.0 |
-0.2 |
1.8 |
2.7 |
4.0 |
|
y |
5.0 |
4.6 |
5.7 |
5.2 |
4.3 |
Сформуємо таблицю значень вузлів та функції:
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
Xi |
-1 |
-0,2 |
1,8 |
2,7 |
4 |
x~= |
2 | |
Yi |
5 |
4,6 |
5,7 |
5,2 |
4,3 |
Поліном Лагранжа
Побудуємо інтерполяційний поліном Лагранжа. Для зручності обчислень сформуємо таблицю:
| |||||
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| ||||
D |
Тут - добуток елементів і-ого рядка. D – добуток діагональних елементів.
Тоді значення полінома можна обчислити так: .
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
∏i |
Yi/∏i | |||
0 |
3 |
-0,8 |
-2,8 |
-3,7 |
-5 |
124,32 |
0,040219 | ||
1 |
0,8 |
2,2 |
-2 |
-2,9 |
-4,2 |
-42,8736 |
-0,10729 | ||
2 |
2,8 |
2 |
0,2 |
-0,9 |
-2,2 |
2,2176 |
2,570346 | ||
3 |
3,7 |
2,9 |
0,9 |
-0,7 |
-1,3 |
8,78787 |
0,591725 | ||
4 |
5 |
4,2 |
2,2 |
1,3 |
-2 |
-120,12 |
-0,0358 | ||
D |
1,848 |
∑= |
3,0592 | ||||||
L(2,0)= |
5,653402 |