Контрольная работа по "Математике"

Поліном Ньютона

Побудуємо інтерполяційний поліном  Ньютона. Побудуємо таблицю розділених різниць за формулами:

• першого порядку

        

• другого порядку

   ;   ;

• третього порядку

;   ;

• четвертого порядку

.

X~=	2
i	Xi	Yi	f(Xi;Xi+1)	f(Xi;Xi+1;Xi+2)	f(Xi;Xi+1;Xi+2;Xi+3)	f(Xi;Xi+1;Xi+2;Xi+3;Xi+4)	X~-Xi
0	-1	5	-0,5	0,375	-0,20438542	0,056070703	3
1	-0,2	4,6	0,55	-0,381226054	0,075968093		2,2
2	1,8	5,7	-0,55556	-0,062160062			0,2
3	2,7	5,2	-0,69231				-0,7
4	4	4,3					-2

Тепер знайдемо значення полінома в  заданій точці:

 

.

P(X~)=

5,653402

Співпадання відповідей гарантує правильність обчислень.

 

ЗАДАЧА 3. Чисельне інтегрування визначених однократних інтегралів за формулами лівих, правих, середніх прямокутників, трапецій, Симпсона.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Якщо функція f(x) – неперервна на відрізку [a,b] і відома її первісна функція F(x), то визначений інтеграл від цієї функції у границях від а до b може бути обчислений за формулою Ньютона-Лейбниця:

.

(1)

Але в багатьох випадках первісна функція F(x) не може бути знайдена, або є дуже складною. Крім того, підінтегральна функція f(x) може бути задана таблично, тоді поняття первісної функції взагалі втрачає сенс. Постає задача наближеного обчислення інтегралів за допомогою чисельних методів.

Усі чисельні методи обчислення інтегралів базуються на геометричній інтерпретації визначеного інтеграла, значення якого чисельно дорівнює площі фігури, що обмежена зверху – графіком функції f(x), знизу – віссю 0х, зліва та справа – межами інтегрування a, b. Для знаходження площі відрізок [a,b] розбивають на n рівних частин довжиною h, де . Значення n обирають, виходячи з умови задоволення точності обчислень. Значення інтеграла I шукають як суму елементарних площ фігур, що побудовані на інтервалах .

Метод лівих прямокутників. Апроксимуємо площі елементарних криволінійних трапецій, обмежених зверху графіком функції f(x), площами прямокутників, висота яких дорівнюватиме значенню f(x) у лівому кінці інтервалу (рис. 1). Загальну площу фігури обчислимо, як суму площ окремих елементарних прямокутників:

 

   (2)

Точність  формули лівих прямокутників  можна оцінити так:

                   (3)

де  - точка, в якій перша похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення.

Метод правих прямокутників. Апроксимуємо площі елементарних криволінійних трапецій, обмежених зверху графіком функції f(x), площами прямокутників, висота яких дорівнюватиме значенню f(x) у правому кінці інтервалу (рис. 2). Загальну площу фігури обчислимо, як суму площ окремих елементарних прямокутників:

    (4)

Точність формули  правих прямокутників можна оцінити за формулою (3).

Метод середніх прямокутників. Апроксимуємо площі елементарних криволінійних трапецій, обмежених зверху графіком функції f(x), площами прямокутників, висота яких дорівнюватиме значенню f(x) у середині інтервалу - (рис. 3). Загальну площу фігури обчислимо, як суму площ окремих елементарних прямокутників:

 

 

 

                                      (5)

Точність  формули середніх прямокутників  можна оцінити так:

                   (6)

де  - точка, в якій друга похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення.

Метод трапецій. Апроксимуємо площі елементарних криволінійних трапецій, обмежених зверху графіком функції f(x), площами трапецій, висота яких

дорівнюватиме h, а довжини основ значенням f(x) у правому й лівому кінцях інтервалу - й (рис. 4).

Загальну  площу фігури обчислимо, як суму площ окремих елементарних трапецій:

(7)

Точність  формули трапецій можна оцінити  так:

(8)

де  - точка, в якій друга похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення.

Метод Симпсона. Апроксимуємо площі елементарних криволінійних трапецій, обмежених зверху графіком функції f(x), площами криволінійних трапецій, обмежених

зверху  параболою, що проходить через три  точки , , , (рис. 5). Кількість точок для формули Симпсона має бути завжди парною - . Загальну площу фігури обчислимо, як суму площ окремих елементарних криволінійних трапецій:

	(9)

Точність  формули Симпсона можна оцінити так:

(10)

де  - точка, в якій четверта похідна функції f(x) набуває найбільшого за модулем значення.

ЗАВДАННЯ

1. Методами прямокутників, трапецій та Симпсона обчислити значення інтеграла . Значення n=10.

1.		11.
2.		12.
3.		13.
4.		14.
5.		15.
6.		16.
7.		17.
8.		18.
9.		19.
10.		20.

 

ПРИКЛАД РОЗВЯ’ЗУВАННЯ

Обчислимо інтеграл при n=10. Аби отримати точне значення інтегралу застосуємо ППП Mathcad:

        

I=

0,69315

Для обчислення інтеграла чисельними методами задамо сітку значень по x з кроком  , знайдемо значення підінтегральної функції в отриманих точках :

a=	0	b=	1	n=	10	h=	0,1
i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
yi	1	0,90909	0,83333	0,76923	0,71429	0,66667	0,625	0,58824	0,55556	0,52632	0,5

Для формули середніх прямокутників  необхідно знайту значення функції в середніх точках:

;    

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xсеред i	0,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85	0,95	1,05
yсеред i	0,95238	0,86956	0,8	0,74074	0,68965	0,64516	0,60606	0,57142	0,54054	0,51282	0,48781

Тоді за формулою лівих прямокутників 

I лівих=

0,718771

Похибка обчислень  склала

ε лівих=

0,025621

За формулою правих прямокутників 

І правих=

0,668771

Похибка обчислень  склала 

ε правих=

0,024379

За формулою середніх прямокутників 

І середніх=

0,692835

Похибка обчислень  склала

ε середніх=

0,000315

За формулою трапецій 

І трапецій=

0,693771

Похибка обчислень  склала:

ε трапецій=

0,000621

За формулою парабол 

І Симпсона=

0,69315

Похибка обчислень  склала:

ε Симпсона=

2,31E-07

 

ЗАДАЧА 4. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Задача  Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку формулюється так: знайти функцію

,

(1)

що є розв’язком диференційного рівняння

(2)

і задовольняє початковій умові 

.

(3)

Чисельні  методи розв’язування задачі Коші подають розв’язок у вигляді  таблиці чисел, тобто знаходять  значення функції (1) в окремих точках (i=0,1,2,…).