Контрольная работа по дисциплине «Высшая математика»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Центр дистанционного образования 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по дисциплине «Высшая математика» 
 
 
 
 

                                           Исполнитель:

                                           Студент группы:

                                           Научный руководитель: 
 
 

Предварительная оценка:___________

Допуск к защите:__________________

Дата защиты:_____________________

Оценка:__________________________ 
 
 
 
 

Серов

2010 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

Задание 1.                                                                                        3

Задание 2.                                                                                        4

Задание 3.                                                                                        6

Задание 4.                                                                                        9

Задание 5.                                                                                       11

Задание 6.                                                                                       12

Задание 7.                                                                                       13

Задание 8.                                                                                       14

Задание 9.                                                                                       15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Вычислить  определитель:

Решение:

 где A_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Найдем алгебраические дополнения по формуле A_ij = (+1)^i+j*m_ij , где m_ij – минор элемента а_ij, который получается из исходного определителя вычеркиванием столбца и строки, на пересечении которых стоит данный элемент.

 
 

2. Найти обратную  матрицу для матрицы А и сделать проверку:

Решение:

Используем алгоритм нахождения обратной матрицы.

1. Матрица квадратная, следовательно обратная к ней  матрица существует.

2. Находим определитель  исходной матрицы:

3. Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

 

Таким образом  получаем матрицу:

4. Полученную  матрицу транспонируем:

5. Последнюю  матрицу делим на определитель  исходной матрицы и получаем обратную матрицу:

6. Осуществляем  проверку полученного результата. Для этого находим произведение  полученной матрицы на исходную:

Таким образом, получили единичную матрицу. Следовательно, обратная матрица была найдена верно. 
 

3. Решить систему уравнений тремя  способами: методом Гаусса, методом  обратной матрицы или методом  Жордана-Гаусса:

Решение:

а) методом обратной матрицы:

В матричной  система имеет вид АХ=В. Пусть существует обратная матрица А^-1 к матрице системы А. Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец, который находится по правилу: Х= А^-1 В.

Запишем матрицу  системы  и матрицу-столбец свободных членов

Найдем определитель матрицы А:

Найдем обратную матрицу:

Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

 

Таким образом  получаем матрицу:

Полученную матрицу  транспонируем:

Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаем обратную матрицу:

Решением исходной системы уравнений будет матрица-столбец  , найденная как произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов

 

      Таким образом: x = 1, y = 3, z = -1.

б) методом Гаусса:

Составляем расширенную  матрицу системы, в которую входят  коэффициенты при переменных и свободные  члены:

Чтобы исключить  х из второго и третьего уравнения умножаем второе и третье уравнение (-2) и прибавляем к первой:

Чтобы исключить  у из третьего уравнения умножаем третье уравнение (-3) и прибавляем ко второй:

 
Отсюда последовательно находим:

6z = -6 => z = -1,

-9y+9·(-1) = -36 => -9y = -27, y = 3,

2x - 3·3+3(-1) = -10 =>2x = 2, x = 1. 
 
 
 
 
 

4. По координатам  вершин треугольника АВС  - А(1;2), В(-1;2), С(3;0) найти: периметр треугольника, уравнения сторон АВ и ВС, уравнение высоты АD, угол АВС, площадь треугольника. Сделать чертеж.

Решение:

1. Найдем уравнения сторон АВ и ВС по формуле

- уравнение АВ.

- уравнение ВС.

2. Уравнение  высоты АD: АD ВС отсюда следует необходимо рассчитать угловой коэффициент: к _АD ·к _ВС = - 1

к _АD = - 1/к _ВС= -1/ = -4/3

Найдем уравнение  высоты АD из формулы у – у₀ = к(х – х₀):

у – 2= (х – 1)                                                    у = х + - уравнение   АD.                 

3. Рассчитаем  угол АВС по формуле  , так как направляющими векторами являются стороны треугольника АВ и ВС, то

     

         

4. Периметр треугольника Р_АВС равен |AB| + |BC| + |AC|. Длины сторон найдем по формуле расстояния между двумя точками. Имеем

 

Тогда P_ABC = 2 + 4,5 + 2,8 = 9,3 

5. Площадь треугольника  АВС найдем из формулы 

                                                             

Построим треугольник. 

 
 
 
 
 
 
 

5. Даны точки  М₁ (-3;2;1) и М₂ (1;2;3). Составить уравнение плоскости проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору . Найти отрезки, отсекаемые данной плоскостью на осях координат. Начертить эту плоскость.

Решение:

1. Найдем координаты .

Уравнение плоскости, проходящей через т. М₁ (х₀; y₀; z₀) перпендикулярно вектору :

2. Найдем отрезки, отсекаемые данной плоскостью на осях ординат.

Уравнение плоскости  в отрезках

Сделаем чертеж. 

 
 
 

6. Составьте уравнение окружности с центром в заданной точке А и данным радиусом R. Сделать чертеж.

A(1;-7); R = 1.

Решение:

Из канонического  уравнения окружности R² = (x-x₀)²+(y-y₀)² следует

1² = (x-1)²+(y+7)²   => y =

Сделаем чертеж. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. Вычислить пределы:

а)

Решение:

Выражение содержит в числителе и знаменателе  иррациональное число, следовательно

 

б)

Решение:

Для решения  данного предела используем первый замечательный предел.

в)

Решение:

Так как  ; , то в данном случае имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия используем второй замечательный предел. Выделим у дроби целую часть .

Обозначим , при х→∞ у→0, причем

        

8. Найти производную  сложной функции:

Решение:

Воспользуемся производной сложной функции : 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. Исследовать  функцию и построить ее график:

Решение:

1. Находим область определения функции. Так как исследуемая функция представляет собой многочлен, то область определения – это множество всех действительных чисел.

Функция является непрерывной

2. Функция является  непериодической

- функция общего вида.

3. Найдем точки  пересечения 

С осью OY – х =0,  у = 0                                               т. (0;0)

С осью OХ –    у = 0,        ,     х₁= 0      х₂= -8/81             т. (0;0)

                                                                                                                 т. (- ;0)