Контрольная работа по "Математике"

Вариант 6 
(К=8, М=6)

Задание 1

Вероятность того, что студент сдаст  в сессию первый экзамен равна 0,9+((8+6)(mod6))/100=0,92, второй – 0,8+((8+6)(mod6))/100=0,82, третий – 0,9-((8+6)( mod6))/100=0,88. Найти вероятность того, что данный студент:

а) сдаст только один экзамен; 
b) сдаст два экзамена; 
с) сдаст не менее двух экзаменов; 
d) сдаст хотя бы один экзамен; 
е) все экзамены либо сдаст, либо завалит.

Решение:

 
 

 

Задание 2

Имеются две партии, содержащие 10+(8+6)(mod6)=12 и 15+(8+6)(mod6)=17 одинаковых изделий. В первой партии 3+(8+6)(mod6)=5, во второй – 6+(8+6) (mod6)=8 бракованных изделий, а остальные изделия стандартные. Из первой партии во вторую наудачу перекладывают 2 изделия, после чего из второй партии также наудачу одновременно берут два изделия. 
 1. Определить вероятность того, что по крайней мере одно изделие, взятое из второй партии окажется стандартным. 
 2. Из двух изделий, взятых из второй партии, одно оказалось бракованным, а другое – стандартным. Какие изделия вероятнее всего переложили из первой партии во вторую?

Решение:

 

 

Задание 3

В некотором автопарке ежедневно  в среднем (94+(8+6) (mod6))% = 96% автомобилей исправны. 
 1. Какова вероятность того, что среди 5+(8+6) (mod4)=7 наудачу выбранных автомобилей неисправных будет: 
 а) ровно 3+(8+6) (mod4)=5; 
 b) не менее 3+(8+6) (mod4)=5; 
 с) не более 5; 
 d) хотя бы один автомобиль? 
 2. Вычислить вероятность того, что в данном автопарке, имеющем сто автомобилей, в наудачу выбранный день неисправным будет: 
 а) 6 – (8+6) (mod6)=4; 
 b) более 4; 
 с) менее 4; 
 d) хотя бы один автомобиль.

Решение:

Пусть испытание состоит в том, что наудачу выбирают автомобиль. Таких испытаний равно n=7, которые являются независимыми, так как исправность авто не зависит от исправности другого авто.

Успехом назовём событие А={автомобиль не исправен}. Тогда Р(А)=1−0,96=0,04 – вероятность попадания несправного автомобиля. Пусть k – число неисправных среди выбранных.

1. Таким образом, выбор 7 авто и их проверка на исправность описывается схемой Бернулли P_n(k)=C^k_n*p^k*q^n-k:

2. Р₇(5) =C₇⁵*0,04⁵*0,96² ≈ 0,00000198
3. Р₇(k≥5) = Р₇(5;7) = Р(k=5)+ Р(k=6)+ Р(k=7) = 0,00000198 + C₇⁶*0,04⁶*0,96¹+ C₇⁷*0,04⁷*0,96⁰=0,01938*10^-6 ≈ 0,000002009
4. Р(k≤5)=1− Р(k≥5)+ Р(k=5)=1− 0,000002009+0,00000198 ≈ ≈0,99999
5. P(k≥1)=1− P(k=0)=1− C₇⁰*0,04⁰*0,96⁷ ≈ 0,19202

6. n=100– число выбранных автомобилей 
   k – число неисправных среди выбранных

7. Р(k=4)= C₁₀₀⁴*0,04⁴*0,96⁹⁶ ≈ 0,1994
8. Р(k>4)=1− ( Р(k=4)+ Р(k=3)+ Р(k=2)+Р(k=1)+ Р(k=0))= 1− (0,1994+ C₁₀₀³*0,04³*0,96⁹⁷ +C₁₀₀²*0,04²*0,96⁹⁸ + C₁₀₀¹*0,04¹*0,96⁹⁹ +C₁₀₀⁰*0,04⁰*0,96¹⁰⁰) = 1 – 0,62888 ≈ 0,3711
9. Р(k<4)=1− Р(k>4) − Р(k=4)=1− 0,3711 − 0,1994 ≈ 0,4295
10. P(k≥1)= 1− P(k=0) = 1− C₁₀₀⁰*0,04⁰*0,96¹⁰⁰ ≈ 0,9831

 

Задание 4

В рекламных целях торговая фирма  вкладывает в каждую 6+(8+6)(mod5)=10-ую единицу товара денежный приз размером 100 руб. рассматривается с.в. ξ – размер выигрыша при четырех покупках продукции данной фирмы. 
 1. Составить ряд распределения с.в. ξ и представить его графически. 
 2. Найти функцию распределения с.в. ξ и построить её график. 
 3. Вычислить Мξ, дисперсию Dξ и среднее квадратическое (стандартное) отклонение σ(ξ). 
 4. Определить вероятности: а) Р{ξ<Mξ};  b) P{ξ>Mξ+1};  c) P{|ξ−Mξ|≤σ(ξ)}.

Решение:

1. n=4 – число купленных товаров 
   k – число выигрышных товаров среди купленных 
   p=1/10 – вероятность попадания выигрышного товара 
   q=9/10 – вероятность не попадания выигрышного товара 
   Р (k=0) = C₄⁰*(1/10)⁰*(9/10)⁴=0,6561 
   Р (k=1) = C₄¹*(1/10)¹*(9/10)³=0,2916 
   Р (k=2) = C₄²*(1/10)²*(9/10)²=0,0486 
   Р (k=3) = C₄³*(1/10)³*(9/10)¹=0,0036 
   Р (k=4) = C₄⁴*(1/10)⁴*(9/10)⁰=0,0001 
   Ряд распределения с.в. ξ: 
   

ξ	0	100	200	300	400
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

 
и его графическое представление:

 

 

 

3.  Функция распределения с.в. ξ: 
   F(x)=P(X−x)=

Его графическое представление:

 

 

Математическое ожидание (среднее  значение):

М ξ=∑ξ *Р=40

Дисперсия:

D ξ= М (ξ²) – (М ξ)²=∑ ξ²* Р − (М ξ)²=5200−40²=3600

Среднее квадратическое (стандартное  отклонение):

σ(ξ)=√Dξ=60

 

 

6. Р {ξ < М ξ }= Р {ξ < 40}= Р (ξ =0)= 0,6561
7. P{ξ>Mξ+1}= Р {ξ >140}= Р (ξ =200)+ Р (ξ =300) + 
   + Р (ξ =400) =0,0523
8. P{|ξ−Mξ|≤σ(ξ)}= Р {|ξ – 40| ≤ 60}= Р (ξ =0)+  
   + Р(ξ=100)= 0,6561+0,2916=0,9477

 

Задание 5

Время ξ (в годах) безотказной работы электроннолучевой трубки телевизора являются случайным с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции р(х).
2. Найти функцию распределения с.в. ξ и построить её график.
3. Вычислить Мξ, дисперсию Dξ и σ(ξ).
4. Во сколько раз число электроннолучевых трубок со временем безотказной работы больше среднего превышает число трубок со временем безотказной работы меньше среднего?

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся формулой:

Так как f(x) на разных интервалах задана различными выражениями, то интеграл разбиваем на два интервала:

 

 

Отсюда,

16·С=1

Следовательно:

С=1/16

В силу этого плотность вероятности  запишется:

 

 

2. Чтобы найти функцию распределения с.в. ξ используем формулу: 
   

Если x≤0, то f(x)=0, следовательно,

Если x>0, то

Итак:

 

 

 

3. Воспользуемся формулами:

4. Вероятность того, что время безотказной работы будет меньше среднего:

и больше среднего:

Значит, число электроннолучевых  трубок со временем безотказной работы больше среднего превышает число  трубок со временем безотказной работы меньше среднего в:

р(x>16)/ р(x<16) = (1−е^-1)/ е^-1 = е−1 = 1,71828 раз.

 

Задание 6

Исследуется диаметр горошин перед контрольными посевами. Выборочное обследование 25 горошин дало следующие результаты (в мм): 8.182, 7.515, 8.326, 7.894, 7.396, 9.480, 7.135, 6.814, 8.271, 7.000, 7.712, 8.612, 7.602, 7.363, 7.393, 8.768, 7.284, 7.124, 8.437, 7.484, 8.379, 8.465, 8.364, 8.102, 7.964.

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип.
2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистрограмму относительных частот.
3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.
4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.
6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.
7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:
1. Генеральной средней значению 8·С;
2. Генеральной дисперсии значению 1,25·С², где С=1+14/100=1,14

Решение:

1. Исследуемым признаком Х является диаметр горошин перед контрольными посевами. Значения, принимаемые этим признаком, могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину и все значения встречаются ровно по одному разу и распределены в интервале от 6 до 10 мм. значит тип исследуемого признака непрерывный.
2. Сгруппируем результаты Х и представим интервальным статистическим рядом. Разобьём выборку на к непересекающихся интервала. По формуле Стерджеса:

,

Упорядочив результаты по возрастанию, построим интервальный статистический ряд. (Вычисления производились в  Microsoft Exsel)

 

Построим гистограмму:

3. На основе визуального анализа гистограммы можно сделать предположение  о нормальном распределении признака, т.е. плотность распределения имеет вид:

где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение.

4. Вычислим выборочные характеристики изучаемого признака: среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

 

Вычисления производились по следующим  формулам:

 − среднее значение

 − дисперсия

 − среднее квадратическое  отклонение

5. Найдем исправленную выборочную дисперсию s², исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s, теоретические частоты v(i), причём φ(t(i)) – плотность стандартного нормального распределения, значения которых взяли из таблицы 1 (лекции). Вычислив эти значения, вычислим значения критерия χ²_набл:

По таблице критических точек  распределения χ²_кр(α,s)¹ при заданном уровне значимости α=0,01 и числе степеней свободы s=k−3=5−3=2 находим критическую точку правосторонней критической области:

χ²_кр= χ²_кр(0,01;2)=9,2 [1, 392стр.]

Так как χ²_набл < χ²_кр, то по данным выборки нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении признака X в генеральной совокупности.

6. Т.к. генеральная совокупность распределена нормально, то для построения доверительного интервала генеральной средней можно воспользоваться формулой:

,

где s - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, равное 0,598;

t_γ находят по таблице² по заданным n и γ

γ=0,9 (по условию)

t(0.9, 25)=2,797

= 2,797*0,598/√25= 0,335

х(ср)= 7,912

Тогда искомый интервал имеет вид:

7,912−0,335<

<7,912+0,335

7,577<

<8,247

Чтобы построить доверительный  интервал генеральной дисперсии  сначала найдем доверительный интервал среднего квадратического отклонения по формуле:

s(1-q) <σ_ген< s(1+q)  (при q<1),

0< σ_ген< s(1+q)  (при q>1),

где q находят по таблице³ по данным n и γ

q(0.99, 25)=0,49

Доверительный интервал среднего квадратического  отклонения:

0,598*(1−0,49) <σ_ген<0,598*(1+0,49)

0,305<σ_ген<0,891

Тогда доверительный интервал генеральной  дисперсии имеет вид:

0,305< σ_ген <0,891

0,093<D_ген<0,794

7. С надежностью 0,99 проверим гипотезу о равенстве:
1. Т.к. доверительный интервал генеральной средней 7,577< <8,247 не включает значение 9,12, то с надежностью 0,99 можно отвергнуть гипотезу.
2. Т.к. доверительный интервал генеральной  дисперсии  0,093<D_ген<0,794 не включает значение 1,6245, то с надежностью 0,99 можно отвергнуть гипотезу.

¹ Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2002. Прил. 5, С. 393.

² Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2002. Прил. 3, С. 392.

³ Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2002. Прил. 4, С. 392.