Контрольная работа по "Математике"

ВАРИАНТ №6

 

Задание 1

Дан треугольник ABC, где ,   ,   . Найти:

1. длину  стороны AB;

2. внутренний  угол A с точностью до градуса;

3. уравнение  и длину высоты, опущенной из  вершины C;

4. точку  пересечения высот;

5. уравнение  медианы, проведенной через вершину C;

6. систему  линейных неравенств, определяющих  треугольник ABC;

7. сделать  чертеж.

 

Решение:

1) AB=

2) Для поиска угла воспользуемся  формулой  . В данном случае k1=kАB, а k2=kАC.

Найдем угловые коэффициенты по формуле: .

; 

Тогда , Þ j=arctg = 27°

3) Составим уравнение высоты  CD. Высота CD перпендикулярна стороне AB. По условию перпендикулярности двух прямых

Составим уравнение высоты CD по известной точке и угловому коэффициенту:

y-y0=k(x-x0)

y-3= (x+4)

4y-12=3x+12

3x-4y+24=0 (CD)

Найдем длину высоты CD по формуле для расстояния от точки до прямой:

Составим уравнение прямой AB по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

y-y0=kАВ(x-x0)

y= (x-2)

3y=-4x+8

4x+3y-8=0 (AB)

Тогда

4) Точку пересечения двух прямых  можно найти, решив систему уравнений, задающих эти прямые, поэтому нужно найти уравнение еще одной высоты, например, BK.

Составим уравнение высоты по известной точке B и угловому коэффициенту:

y-y0=k(x-x0)

y-4=2(x+1)

y-4=2x+2

2x-y+6=0 (BK)

   

Таким образом, высоты пересекаются в точке О(0;6)

5) Найдем координаты точки E как координаты середины отрезка АВ.

 

Запишем уравнение медианы CE по 2 точкам:

2(x+4)=-9(y-3)

2x+9y-19=0 (CE)

6. Составим уравнение всех сторон  треугольника:

Уравнение стороны АВ уже было составлено: 4x+3y-8=0

Составим уравнение прямой AС по угловому коэффициенту и точке A, принадлежащей прямой:

y-y0=kАC(x-x0)

y= (x-2)

2y=-x+2

x+2y-2=0 (АС)

Найдем уравнение стороны ВС по 2 точкам:

x+1=3y-12

x-3y+13=0 (BС)

Теперь можно определить систему неравенств. По рисунку видно, что точка (0;2) явно принадлежит треугольнику. Подставим ее координаты в каждое уравнение:

4×0+3×2-8=-2<0

0+2×2-2=2>0

0-3×2+13=7>0

Теперь можно записать систему неравенств:

Построим треугольник

 

 

Задание 2

Даны векторы . Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

,   ,   ,   ,  

 

Решение:

Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Составим определитель из координат векторов , , , и вычислим его. Если он не равен нулю, то векторы линейно независимы и, следовательно, образуют базис.

0	-1	0	2	=-	1	2	1		1	-2	2
1	-2	2	1		-1	3	1	-2	-1	1	3	=0+1+4-6+1+0+2+4+24+8+6-4=-40¹0
-1	1	3	1		-2	1	0		-2	-1	1
-2	-1	1	0

 

Найдем координаты вектора в этом базисе. Для этого решим систему уравнений, в матричном виде которая запишется

0	1	-1	-2	×	x1	=	-5
-1	-2	1	-1		x2		-1
0	2	3	1		x3		0
2	1	1	0		x4		1

 

     

Таким образом, вектор имеет координаты:

 

Задание 3

Найти производные функций:

а)                   б)

в)                                       г)

 

Решение:

а)

б)

в)

г)

 

 

Задание 4

Исследовать функцию и построить ее график

 

Решение:

1. Область определения функции.

x-2¹0

x¹2

xÎ(-¥;2)È(2;+¥)

2. Асимптоты.

а) вертикальные

x=2

б) горизонтальные

Горизонтальных асимптот нет

 

в) наклонные

y=k×x+b

y=x+1 - наклонная асимптота

 

3. Четность и нечетность функции.

, Þ функция свойствами четности или нечетности не обладает.

4. Точки пересечения графика  с осями координат

С осью OY: x=0, Þ .

С осью OX: полагаем y=0, тогда

(x-1)3=0

x=1

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную функции.

(x-1)2=0 x-4=0

x=1 x=4

 не существует при x=2

x	(-¥;1)	1	(1;2)	2	(2;4)	4	(4;+¥)
	+	0	+	не сущ.	-	0	+
y	возрастает		возрастает	не сущ.	убывает	min, ymin=6,75	возрастает

 

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Найдем вторую производную

x-1=0

x=1

 не существует при x=2

 

x	(-¥;1)	1	(1;2)	2	(2;+¥)
	-	0	+	не сущ.	+
y	выпукла	перегиб, yпер=0	вогнута	не сущ.	вогнута

 

Построим график функции

 

 

Задание 5

Найти неопределенные интегралы.

Результаты проверить дифференцированием:

а)

;     б) ;     в) ;     г)

 

Решение:

а)

Проверка:

б)

Проверка:

 

 

 

 

 

 

в)

Проверка:

г)

Выделим целую часть

x3+3 4x3-x

x3-x/4 1/4

 x/4+3

Разложим дробь на простые слагаемые. Для этого сначала разложим знаменатель на множители

4x3-x=x(4x2-1)=x(2x-1)(2x+1)

Тогда

x=0: 12=-A, Þ A=-12

x= : =С, Þ С=

x= : =B, Þ B=

Тогда

Проверка:

 

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

  и 

 

Решение:

Построим графики функций

f1(x)=2x2-3x-1 – парабола.

Вершина параболы 

y0=2×( )2-3× -1=-

f2(x)=x2-2x-1 – парабола.

Вершина параболы 

y0=12-2×1-1=-2

Построим графики функций и определим фигуру

 

 

Найдем пределы интегрирования

2x2-3x-1=x2-2x-1

x2-x=0

x(x-1)=0

x1=0 x2=1

Вычислим площадь фигуры по формуле:

В данном случае, y1(x)=x2-2x-1, y2(x)=2x2-3x-1, a=0, b=1