Контрольная работа по "Математике"

Задание 4 

     Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

     а)                                                       б)

     в)                                                  г)  

     Решение:

     а)

     Положим e^2x = t, тогда 2x = ln t и ; e^4x = t². Следовательно,

     

     Сделаем проверку дифференцированием

     

     б)

     Сделаем замену: t = 3x + 1, dt = dx. Имеем:

       (использован табличный интеграл

     Возвращаясь к старой переменной, окончательно получим

     

     Сделаем проверку дифференцированием:

       

     в)

      

     Сделаем проверку дифференцированием

     

     г)

       

     Сделаем проверку дифференцированием

     

Задание 16 

     Исследовать на экстремум функцию двух переменных

     

     Решение:

     Находим частные производные функции

      ;  

     Критические точки функции находим из системы  уравнений:

     

     Находим: х = 2, у = -1

     Следовательно, данная функция имеет одну критическую точку Р(2;-1)

     Далее находим частные производные  второго порядка и их значения в найденной критической точке

      ; ;

     Частные производные второго порядка  не содержат x, они постоянны в любой точке и, в частности, в точке Р(2;-1).

     Имеем: А = 2; В = 3; С = 2

      = 2 · 2 – 3 · 3 = -5 < 0. Так как Δ < 0  и А > 0, то в точке Р (2;-1) данная функция имеет минимума. Экстремум функции

       

Задание 24 

     Найти общее и частное решение дифференциального  уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y₀ при x = x₀

                                    

     Решение:

     Разделяем переменные .

     Интегрируем обе части последнего равенства

     

     В результате получаем общий интеграл

     

     Находим частное решение уравнения. Подставляем  начальное условие 

     

     Отсюда  получаем частный интеграл

       

Задание 35 

     Найти общее и частное решение линейного  дифференциального уравнения второго порядка, если указаны начальные условия

           

     Решение:

     Общее решение неоднородного уравнения  есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е. .

     Находим общее решение однородного уравнения  . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: ; корни уравнения равны: ; . Следовательно, .

     Частное решение неоднородного уравнения  будем искать в виде: т.к. значение m = 2 является корнем характеристического уравнения. Найдем неизвестное значение А. Для этого берем вначале первую и вторую производные от :

     

     

     Подставим выражения для  и в исходное уравнение:

     

     Таким образом, частное решение неоднородного  уравнения принимает вид:

     

     Общее решение неоднородного уравнения  равно:

       

Задание 46 

     Записать  три первых члена степенного ряда по заданному общему члену u_n (x). Найти интервал сходимости и исследовать сходимость ряда на концах этого интервала.

     

     Решение:

     1) : ; : ; : .

     2) находим радиус сходимости

      . Здесь  ,

     

     Определим, при каких значениях x этот предел R будет меньше единицы. Для этого решим неравенство , или , откуда -1 < x < 63.

     Таким образом, первоначальный ряд сходится (абсолютно) в интервале        (-1; 63) – это и есть интервал сходимости данного ряда.

     3) выясним вопрос о сходимости на концах интервалов

     а) ;

     б)