Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа

Вариант 2.

 

Задача 1.

Вероятность соединения при телефонном вызове равна 0,9. Какова вероятность, что соединение произойдёт только при четвертом вызове?

Решение:

Вероятность разрыва  . Из условия задачи следует, что сначала должны произойти три отказа и только потом соединение. В таком случае по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

P = q×q×q×p = 0.1×0.1×0.1×0.9 = 9×10^-4

Ответ: 9×10^-4

 

Задача 2.

В одной урне 5 белых шаров и 4 чёрных шара, а в другой – 4 белых и 6 чёрных. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Решение:

Введём следующие обозначения  для событий:

H₁– из первой урны переложили три белых шара,

H₂ – из первой урны переложили два белых и один черный шар,

H₃ – из первой урны переложили один белый и два черных шара,

H₄ – из первой урны переложили три черных шара.

Т.к. других вариантов вытащить из первой урны три шара нет, эти события составляют полную группу событий, и они несовместны. Найдём вероятности этих событий по формуле гипергеометрической вероятности:

Введём событие A – после перекладывания из второй урны вытащили 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдём условные вероятности:

P(A/H₁)={теперь во второй урне 13 шаров, из них 7 белых}

P(A/H₂)={теперь во второй урне 13 шаров, из них 6 белых}

P(A/H₃)={теперь во второй урне 13 шаров, из них 5 белых}

P(A/H₄)={теперь во второй урне 13 шаров, из них 4 белых}

 

Теперь найдём вероятность события А по формуле полной вероятности:

P(A) = P(H₁) × P(A/H₁) + P(H₂) × P(A/H₂) + P(H₃) × P(A/H₃) + P(H₄) × ×P(A/H₄) = 0,119×0,122+0,476×0,07+0,357×0,035+0,048×0,014 = 0,061.

Ответ: 0,061.

 

Задача 3.

В типографии имеется 6 печатных машин. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,3. Построить ряд распределения числа работающих машин, построить функцию распределения этой случайной величины, найти МО, дисперсию, а также вероятность того, что число работающих машин будет не больше 3.

Решение:

В этой задаче x – дискретная случайная  величина, принимающая значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы построить ряд распределения x , требуется найти вероятности, с которыми она принимает эти значения. В данном случае имеется последовательность испытаний по схеме Бернулли, т.к. испытания независимы, и вероятность успеха р = 0,3 одинакова во всех испытаниях (успех – работающая машина). Тогда по формуле Бернулли при n = 6, p = 0.3, q = 1– p = 0.7:

 

Теперь построим ряд распределения:

 

X	0	1	2	3	4	5	6
p	0.11765	0.30253	0.32413	0.18522	0.05953	0.01021	0.000729

 

Найдём мат. ожидание по формуле:

 

 

Найдём дисперсию:

Выпишем в  аналитическом виде функцию распределения:

 

Найдем вероятность того, что число работающих машин будет не больше 3:

 

 

Задача  4.

 

Непрерывная случайная величина задана ее функцией распределения.

Найти параметр С, плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал [1,5; 2,5] и квантиль порядка 0,8.

 

Решение:

Найдём  сначала плотность распределения  как производную от функции распределения. Тогда

 

Теперь найдём параметр с из уравнения:

Т.к. плотность на разных интервалах задана разными функциями, разбиваем  область интегрирования на соответствующее  количество интервалов.

,

тогда .

Т.е. функция распределения

 

Найдём мат. ожидание по формуле:

Разбиваем область интегрирования на три интервала

Дисперсию находим по формуле

 

Вероятность попадания случайной величины в  интервал найдем по формуле . В нашем случае

Найдем  квантиль порядка 0.8: это решение уравнения :

  Квантиль один:

 

Задача 5.

 

Продолжительность телефонного разговора распределена по показательному закону с параметром (1/мин.). Разговор по телефону - автомату прерывается через три минуты от начала разговора. Какова доля прерванных разговоров? Каким должно быть время до прерывания разговора, чтобы доля прерванных разговоров не превышала 1%?

Решение:

x – продолжительность телефонного разговора.

{т.к. случайная  величина распределена по показательному  закону, её функция распределения  известна и равна } =

. Таким образом, доля прерванных  разговоров равна 47.2%.

 

Для решения  второй части задачи обозначим переменной t время до прерывания разговора.

 

(по условию)

Получаем уравнение:

Таким образом, время до прерывания разговора составляет примерно 18 мин.