Виды общения

Page 1

1
Линейная алгебра
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
11
12
13
1
21
22
23
2
1
2
3
...
...
...
...
... ... ...
n
n
m
m
m
mn
а
а
а
а
а
а
а
а
A
а
а
а
а













,
ij
a – произвольные числа. Первый индекс
i
– номер строки, в которой
находится элемент, j – номер столбца. Матрица, содержащая m строк и n
столбцов, имеет размерность m n
 .
Виды матриц
1. Квадратные


m n
 .
2. Прямоугольные


m n
 .
3. Трапециевидные
11
1
22
2
...
...
0
...
...
...
...
...
0
0
...
n
n
mm
mn
a
a
a
a
a
a












.
Частный случай трапециевидной матрицы – верхнетреугольная
матрица (в случае, когда m n
 ):
11
1
22
2
... ...
0
...
...
... ... ...
0
0
0
n
n
nn
a
a
a
a
a












.
Элементы
11
, ,
nn
a
a

формируют главную диагональ, элементы
1
1
, ,
n
n
a
a

– побочную диагональ.
4. Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением
элементов
11
22
, ,...,
nn
a a
a главной диагонали, равны нулю, называется диаго-
нальной и обозначается


1
, ,
n
diag a
a

.

---

Page 2

2
5. Скалярная матрица (частный случай диагональной матрицы) 
матрица, у которой все элементы равны друг другу. Среди всех скалярных
матриц выделяют так называемую единичную матрицу:
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 0 1
E













.
6. Нулевая матрица:
0 ... 0
0
... ... ...
0 ... 0











.
Определение. Две матрицы называются равными, если
1) порядки матриц совпадают;
2) равны соответствующие элементы.
Действия над матрицами
Сложение матриц. При сложении матриц необходимо, чтобы матрицы
имели одинаковую размерность.
11
1
1
...
... ... ...
...
n
m
mn
a
a
A
a
a











;
11
1
1
...
... ... ...
...
n
m
mn
b
b
B
b
b











;
11
11
1
1
1
1
...
...
...
...
...
n
n
m
m
mn
mn
a
b
a
b
A B C
a
b
a
b






  








.
Свойства операции сложения:
1.
A B В А
  
(коммутативность).
2.


(
)
A В С
А В С




 (ассоциативность).
3.
0
A
А
  (0 – нулевая матрица).
Умножение матрицы на число. При умножении матрицы на число,
каждый элемент матрицы умножается на это число.

---

Page 3

3
11
1
1
...
...
...
...
...
n
m
mn
a
a
A
a
a






 








.
Свойства умножения матрицы на число:
1. (
)A
A
A
   .
2. (
)
A B
A
B
 
  .
3. ( )
( )
A
A
   .
Умножение матриц. Для умножения матриц необходимо, чтобы
количество элементов в строке первого множителя равнялось количеству
элементов в столбце второго множителя, т. е.
m n
n s
m s
A
B
C





. При этом
элементы результирующей матрицы C вычисляются по следующему
правилу:
1
n
ij
ik kj
k
c
a b



(элементы
i
-й строки матрицы
A
умножаются на
соответствующие элементы j -го столбца матрицы
B
и результаты
произведений складываются).
Рассмотрим умножение матриц на примере:
1 1
1
0 1 2
A








,
1 2 3
1 3 0
1 0
1
B




 







.
1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 2 1 3 ( 1) 0 1 3 1 0 ( 1) ( 1)
0 1 1 ( 1) 2 1
0 2 1 3 2 0
0 3 1 0 2 ( 1)
A B
      
     
      


 


     
    
     


.
1 5 4
1 3
2
A B



 





.
Свойства операции умножения:
1.
AB ВА

(умножение матриц некоммутативно).
2. (
) ( )
A BС
АВ С

(ассоциативность).
3.
AЕ ЕА А


(
Е
– единичная матрица).
4. (
)
A B С
АВ АС



(дистрибутивность).
Определитель матрицы

---

Page 4

4
Определитель – числовая характеристика только квадратных матриц.
Определитель матрицы второго порядка – это число, которое обозначается
А или det A и вычисляется по формуле
11
12
11 22
12 21
21
22
det
a
a
А
A
a a
a a
a
a




.
Определителем матрицы третьего порядка
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a











называется число
11
22
33
12
23
31
21
32
13
A a a a
a a a
a a a










13
22
31
21
12
33
23
32
11
a a a
a a a
a a a









.
Определение. Пусть в произвольной матрице
A
размера m n

выбраны произвольно k – строк и k – столбцов. Элементы, стоящие на
пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -
го порядка, определитель которой называется минором k -го порядка
матрицы
A
.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента
ij
a называется
число
11
12
1, 1
1, 1
1, 1
1
1,1
1,2
1, 1
1, 1
1, 1
1,
1,1
1,2
1, 1
1, 1
1, 1
1,
1
2
,
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
( 1)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
j
j
n
n
i
i
i
j
i
j
i
n
i
n
ij
i j
i
i
i
j
i
j
i
n
i
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a





 
 
 




 
 
 

 
1
, 1
, 1
...
j
n j
n n
nn
a
a
a



.
Определитель квадратной матрицы
A
произвольного размера n будем
находить по правилу
1
2
1
2
1
det( )
...
,
n
i
i
in
ij
i
i
in
ij
j
A a A
a A
a A
a A



 



---

Page 5

5
где
ij
a – элементы i-й строки матрицы
A
,
ij
A – алгебраические дополнения к
ним. Данная запись называется разложением определителя по i-й строке.
Разложение можно выполнить по любой строке. Аналогичным образом
определяется разложение по любому столбцу.
Определение. Преобразование матрицы, при котором еѐ строки
становятся столбцами, называется транспонированием


ij
ji
a
a

и
обозначается
T
A .
Обратная матрица
Определение. Будем называть матрицу невырожденной, если
определитель этой матрицы не равен нулю, и вырожденной – в противном
случае.
Определение. Обратной для матрицы
A
будет называться такая
матрица
1
A

, что
1
1
A A
A A E




  .
Теорема (существования и единственности обратной матрицы). Для
любой невырожденной квадратной матрицы порядка n существует и притом
единственная обратная матрица
1
A

.
Обратная матрица находится следующим образом:
11
21
1
12
22
2
1
1
2
...
...
1
...
... ... ...
...
n
n
n
n
nn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A














.
Ранг матрицы и его вычисление
Определение. Рангом матрицы
A
называется максимальный порядок
отличных от нуля миноров этой матрицы и обозначается ( )
r A .
Метод окаймляющих миноров. Пусть в произвольной матрице
A
размера m n

найден минор k -го порядка
k
M , отличный от нуля.
Рассмотрим лишь те миноры
1
k  -го порядка, которые содержат в себе
(окаймляют) минор
:
k
M если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .k

---

Page 6

6
В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор
1
k  -го порядка, и вся процедура повторяется.
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Определение. Системой линейных алгебраических уравнений будем
называть следующее:
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
...
...
... ...
...
.
n n
n n
m
m
mn n
m
a x a x
a x
b
a x a x
a x
b
a x a x
a x
b

 




 






 


В матричном виде система линейных алгебраических уравнений может быть
записана как
AX B

,
где
11
1
1
n
m
mn
a
a
A
a
a












  

– основная матрица коэффициентов системы;
1
2
...
n
x
x
X
x
 
 
 

 
 
 
– столбец неизвестных;
1
2
...
n
b
b
B
b
 
 
 

 
 
 
– столбец свободных коэффициентов.
11
1
1
1
n
m
mn
m
a
a
b
A
a
a
b












   

– расширенная матрица системы.
Теорема Кронекера – Капелли
.
Для того чтобы система линейных
уравнений была совместна (имела решения), необходимо и достаточно,

---

Page 7

7
чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной
матрицы:
( )
( )
r A r A r

 .
В случае совместной системы:
1) если ранг равен числу неизвестных r = n = m, то система имеет
единственное решение (определенная);
2) если r < n, то система имеет бесконечное множество решений
(неопределенная).
Матричный метод решения систем линейных алгебраических
уравнений
Если система линейных алгебраических уравнений совместна, r = n =
m и имеет вид
AX B

, где
0
A  ,
тогда решение системы может быть найдено по формуле
1
X A B


.
Метод Крамера решения систем линейных алгебраических
уравнений
Для совместной системы линейных алгебраических уравнений, r = n =
m:
AX B

, где
0
A  ,
имеют место формулы Крамера:
j
j
x



,
где
A
  , а
j
 – определитель, полученный из

путем замены j -го
столбца столбцом свободных коэффициентов


1, 2, , .
j
n


Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических
уравнений

---

Page 8

8
Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических
уравнений:
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
...
...
... ...
...
.
n n
n n
m
m
mn n
m
a x a x
a x
b
a x a x
a x
b
a x a x
a x
b

 




 






 


Метод Гаусса позволяет решать произвольные системы линейных
алгебраических уравнений, даже если определитель матрицы коэффициентов
равен нулю или количество неизвестных не совпадает с количеством
уравнений.
Определение. Элементарными преобразованиями систем линейных
уравнений будем называть следующие преобразования:
1) замена местами двух строк (уравнений) системы;
2) умножение обеих частей одного из уравнений на одно и то же число
0
k  ;
3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы
соответственных частей другого уравнения, умноженных на одно и то же
число k .
Прямой ход метода Гаусса основан на приведении системы линейных
уравнений путѐм элементарных преобразований к трапециевидному виду.
Суть метода заключается в следующем.
1. Предположим, не нарушая общности рассуждений, что элемент
11
0
a  (иначе меняем строки местами);
2. Пусть во второй строке коэффициент при
1
x не равен нулю.
Умножим первую строку на


21
a
, а вторую строку на
11
a и сложим эти две
строки, записывая результат вместо второй строки. Очевидно, после
преобразования коэффициент при
1
x равен нулю;
3. Проделывая данную операцию с третьим, четвертым и т. д.
уравнениями, исключим
1
x из всех уравнений, кроме первого;
4. Исключая из рассмотрения первое уравнение, получим систему
уравнений, на порядок меньшую, от неизвестных
2
,...,
n
x
x , с которой
проделаем описанные выше преобразования. После конечного числа шагов
мы придем к системе вида:

---

Page 9

9
11 1
12
2
1
1
1
22
2
2
2
2
...
,
...
,
...
...
...
.
m
m
n
n
m
m
n
n
mm
m
mn
n
m
a x a x
a x
a x b
a x
a x
a x b
a x
a x b
 





 
 








 
 







 





Неизвестные с номерами 1,2, ,m

в дальнейшем будем называть главными
неизвестными, а остальные
1, ,
m
n
   свободными.
Обратным ходом метода Гаусса находим общее решение.
Если обозначить свободные неизвестные:
1
1
m
x
c

 ,
2
2
m
x
c


, …,
n
n m
x
c


,
то из последнего уравнения мы сможем вычислить значение
m
x , из
предпоследнего 
1
m
x

и т.д. Поднимаясь по системе вверх, в итоге получим
значения всех остальных неизвестных. Таким образом, общее решение – это
решение, зависящее от
1
2
, ,...,
n m
c c
c

и таких решений бесконечно много, а
частное решение – решение при конкретных числовых значениях
1
2
, ,...,
n m
c c
c

.
Векторная алгебра
Определение. Скаляр – величина, полностью характеризуемая своим
числовым значением в выбранной системе единиц.
Определение. Величина, кроме числового значения характеризуемая
еще и направлением, называется вектором. Геометрически вектор
изображается как направленный отрезок в пространстве.
Определение. Модуль (длина) вектора a

– это численное значение без
учета направления, которое обозначается a

.
Определение. Вектор, модуль которого равен 0, называется нулевым
вектором и обозначается 0

.

---

Page 10

10
Определение. Два вектора a

и b

называются равными, если они
расположены на параллельных (совпадающих) прямых, имеют одинаковую
длину и одинаково направлены.
Линейные операции над векторами
Определение. Суммой нескольких векторов, например a

, b

, c

и d

,
называется вектор
s a b c d
   
    
, по величине и направлению равный
замыкающей пространственной ломаной линии, построенной на данных
векторах.
Для случая двух векторов a

и b

их суммой является диагональ
параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки
их приложения (правило параллелограмма).
Свойства векторного сложения:
1.
a b b a
  
   
.
2.
(
) (
)
a b c
a b c
    

 
  
.
3.
0
a
a
 
  
.
Для каждого вектора a

существует противоположный вектор a

,
имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу
параллелограмма имеем
( ) 0
a
a
  

 
.
Определение. Произведением вектора a

на скаляр k называется
вектор b ka ak



 
, имеющий длину b k a



, направление которого:
1) совпадает с направлением a

, если
0
k  ;
2) противоположно направлению a

, если
0
k  ;
3) произвольно, если
0
k  .
Свойства:
1.
(
)
k l a ka la






.
2. (
)
k a b ka kb
 

 


.
3. ( ) ( )
k la
kl a



.
4. 1 a a
 
 
.

---

Page 11

11
5. ( 1)a
a

 


.
6. 0
0
a 
 
.
Определение. Если вектор a

разделить на его длину a

, то получим
единичный вектор e

, так называемый орт, того же направления. Тогда
имеем стандартную форму вектора a a e
 
  
.
Определение. Два вектора a

и b

называются коллинеарными, если
они параллельны в широком смысле, т. е. расположены на параллельных
прямых или на одной и той же прямой.
Теорема. Два ненулевых вектора a

и b

коллинеарны тогда и только
тогда, когда они пропорциональны, т. е. b ka



.
Определение. Три ненулевых вектора a

, b

и c

называются
компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в
ней.
Теорема. Три ненулевых вектора a

, b

и c

компланарны тогда и только
тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, например,
c ka lb



 
.
Линейная зависимость векторов. Базис
Определение. Система векторов
1
2
, , ...,
n
a a
a
 

называется линейно
зависимой, если существуют числа
1
2
, , ...,
n
 

такие, что хотя бы одно из
них отлично от нуля и линейная комбинация равна нулю, т. е.
1 1
2 2
...
0
n n
a
a
a
 
 




. В противном случае система называется линейно
независимой.
Определение. Максимальное число линейно независимых векторов в
пространстве называется базисом.
Декартовы прямоугольные координаты
Пусть Ox, Oy, Oz – три взаимно перпендикулярных оси в трехмерном
пространстве (оси координат), исходящие из общей точки
О (начало
координат). Три взаимно перпендикулярных плоскости Oxy, Oyz, Oxz

---

Page 12

12
проходящие через соответствующие оси, называются координатными
плоскостями.
Для каждой точки М пространства существует ее радиус-вектор
r OM

 
, начало которого есть начало координат О и конец которого есть
данная точка М.
Определение. Декартовыми прямоугольными координатами x, y, z
точки М называются проекции ее радиус-вектора r

на соответствующие оси
координат. Обозначение: М(x, y, z), x – абсцисса, y – ордината, z – аппликата
точки М.
Модуль радиус-вектора
2
2
2
r
x
y
z




.
Определение. Пусть в пространстве Oxyz задан вектор a

. Проекции
этого вектора на оси координат называются координатами вектора
( , , )
x
y
z
a a a a

.
Длина вектора
2
2
2
x
y
z
a
a
a
a

 

.
Если ввести единичные векторы (орты) i

,
j

, k

, направленные по осям
координат, то получим координатную форму вектора
x
y
z
a a i a j a k







.
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух векторов a

и b

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними, т. е.
( , )
cos
a b a b
a b
 


 
 
 
.
Свойства:
1.
0
a b
a b
   
 
 
(условие перпендикулярности).
2. a b b a
  
   
.
3. ( )
(
)
a b
a b

  
 
 
.
4.
(
)
a b c
a b a c
    
  
   
.
Если векторы
( , , )
x
y
z
a a a a

и
( , , )
x
y
z
b b b b

представлены своими
координатами, то скалярное произведение равно
x x
y y
z z
a b a b a b a b
 


 
.

---

Page 13

13
Из этой формулы следует формула для вычисления косинуса угла
между векторами
2
2
2
2
2
2
cos
x x
y y
z z
x
y
z
x
y
z
a b a b a b
a b
a b
a
a
a b b b



 

 
 
 
 
.
Векторное произведение
Определение. Векторным произведением векторов a

и b

называется
вектор, обозначаемый ,a b
a b


 


 
 
, удовлетворяющий следующим условиям:
1)
длина вектора
,a b




 
равна площади параллелограмма,
построенного на векторах a

и b

, т. е.
,
sin
a b
a b






 
 
;
2) вектор ,a b




 
перпендикулярен векторам a

и b

;
3) упорядоченная тройка a

, b

и ,a b




 
правая.
Свойства:
1.
,
0
a b
a b






 
 

(условие параллельности).
2.
,
,
a b
b a




 




 
 
.
3.
,
,
a b
a b





 




 
 
.
4.
,
,
,
a b c
a c
b c

 
  




 
  
  
 
 
.
Если векторы ( , , )
x
y
z
a a a a

и ( , , )
x
y
z
b b b b

заданы своими координатами,
то векторное произведение можно записать в виде
,
x
y
z
x
y
z
i
j
k
a b
a a
a
b b
b








 
.
Смешанное произведение
Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки
векторов a

, b

и c

называется число
,
abc
a b c







  
, равное объему
параллелепипеда, построенного на векторах a

, b

и c

, взятому со знаком «+»,

---

Page 14

14
если векторы a

, b

и c

образуют правую тройку, и со знаком «–», если
левую.
Теорема. Для того чтобы три вектора a

, b

и c

были компланарны,
необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно 0.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит
в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т. е.
abc cab bca


  
.
Смешанное произведение в координатной форме имеет вид
x
y
z
x
y
z
x
y
z
a a
a
abc b b
b
c
c
c


.
Элементы аналитической геометрии
Основные виды уравнений прямой на плоскости:
1)
0
Ax By C

  – общее уравнение прямой;
2)
1
1
(
)
(
) 0
A x x
B y y




– уравнение прямой, проходящей через
точку
1
1
1
( , )
M x y перпендикулярно нормальному вектору ( , )
N A B

;
3)
1
1
x x
y y
m
n



– каноническое уравнение прямой – уравнение прямой,
проходящей через точку
1
1
1
( , )
M x y параллельно направляющему вектору
( , )
s m n

;
4)
1
1
2
1
2
1
x x
y y
x x
y
y





– уравнение прямой, проходящей через две точки
1
1
1
( , )
M x y и
2
2
2
( , )
M x y ;
5) y kx b
 
– уравнение прямой с угловым коэффициентом, где
tg
k   ( – угол наклона к оси Ox), b – ордината точки пересечения прямой
с осью Oy;
6)
0
r r st
 
  
– векторное уравнение прямой, где ( , )
r x y

– радиус-вектор
произвольной точки
( , )
M x y на прямой,
0
0
0
( , )
r x y

– радиус-вектор точки
0
0
0
( , )
M x y , лежащей на прямой,
( , )
s m n

– направляющий вектор прямой;

---

Page 15

15
7)
0
0
x x
mt
y y
nt
 





,
( ; )
t   – параметрическое уравнение прямой;
8)
1
x y
a b
  – уравнение прямой в отрезках, где а – абсцисса точки
пересечения прямой с осью Ox, b – ордината точки пересечения прямой с
осью Oy.
Угол между двумя прямыми
1
1
y k x b

 и
2
2
y k x b


определяется по
формуле
2
1
1 2
tg
1
k k
k k

 

.
Условие параллельности прямых:
1
2
k k
 .
Условие перпендикулярности прямых:
1 2
1
0
k k

 .
Расстояние d между двумя точками на плоскости
1
1
1
( , )
M x y
и
2
2
2
( , )
M x y определяется по формуле

 

2
2
2
1
2
1
d
x x
y
y




.
Координаты середины отрезка
1
2
M M
находятся по формулам
1
2
2
x x
x


,
1
2
2
y y
y


.
Расстояние от точки
1
1
1
( , )
M x y до прямой
0
Ax By C

  находится по
формуле
1
1
2
2
Ax By C
d
A B




.
Основные виды уравнений плоскости:
1)
0
Ax By Cz D


  – общее уравнение плоскости;
2)
1
1
1
(
)
(
)
(
) 0
A x x
B y y
C z z






–
уравнение плоскости,
проходящей через точку
1
1
1
1
( , , )
M x y z
перпендикулярно нормальному
вектору
( , , )
N A B C

;
3)
1
x y z
a b c
   – уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c –
величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox, Oy,
Oz соответственно;
4)
1
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
0
x x
y y
z z
x x y
y z
z
x x y
y z z





 



– уравнение плоскости, проходящей через
три точки
1
1
1
1
( , , )
M x y z
,
2
2
2
2
( , , )
M x y z
,
3
3
3
3
( , , )
M x y z
.

---

Page 16

16
Основные виды уравнений прямой в пространстве:
1)
1
1
1
1
2
2
2
2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D











– общее уравнение прямой, как пересечение
двух плоскостей, где направляющий вектор прямой находится из векторного
произведения нормальных векторов этих плоскостей
1
2
1
1
1
2
2
2
i
j
k
N N
A B C
A B C





 
;
2)
1
1
1
x x
y y
z z
m
n
p





– каноническое уравнение прямой или
уравнение прямой, проходящей через точку
1
1
1
1
( , , )
M x y z
параллельно
вектору ( , , )
s m n p

;
3)
1
1
1
2
1
2
1
2
1
x x
y y
z z
x x
y
y
z
z








– уравнение прямой, проходящей через две
точки
1
1
1
1
( , , )
M x y z и
2
2
2
2
( , , )
M x y z ;
4)
0
( )
r t
r
st
 



– векторное уравнение прямой, где
0
0
0
0
( , , )
r x y z

–
радиус-вектор точки, лежащей на прямой, ( , , )
s m n p

– направляющий вектор
прямой;
5)
0
0
0
x x mt
y y nt
z z
pt
 


 


 

– параметрическое уравнение прямой.
Расстояние от точки
0
0
0
0
( , , )
M x y z
до плоскости
0
Ax By Cz D


 
определяется по формуле:
0
0
0
2
2
2
Ax By Cz D
d
A B C






.
Угол между двумя прямыми, заданными в канонической форме
1
1
1
1
1
1
x x
y y
z z
m
n
p





и
1
1
1
2
2
2
x x
y y
z z
m
n
p





, определяется как угол между
их направляющими векторами:

---

Page 17

17
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
cos
m m
n n
p p
m
n
p m
n
p







.
Угол между прямой
1
1
1
x x
y y
z z
m
n
p





и плоскостью
0
Ax By Cz D


  определяется по формуле
2
2
2
2
2
2
sin
mA nB pC
m n
p A B C



 


.
Кривые второго порядка
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости,
для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же
плоскости
1
F и
2
F , называемых фокусами, есть величина постоянная.
Уравнение эллипса вида
2
2
2
2
1
x
y
a
b

 называется каноническим уравнением
эллипса.
Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются вершинами этого
эллипса. Координаты вершин:


, 0
a
,


0, b
 . Фокусы эллипса находятся в
точках
 
1
, 0
F c
и


2
, 0
F c
.
Число a называют большой полуосью, а b – малой полуосью эллипса.
Обычно предполагается
0
a b
  . При условии a b

получим
уравнение окружности
2
2
2
x
y
R

 . Если b a
 , то фокусы эллипса
расположены на оси ординат.

---

Page 18

18
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между
фокусами этого эллипса к длине его большой оси, ε
c
a
 .
Эксцентриситет эллипса удовлетворяет условию 0 ε 1
  , причем в
случае, когда эксцентриситет равен нулю, имеем окружность.
Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости,
для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух
данных точек той же плоскости
1
F и
2
F , называемых фокусами, есть
величина постоянная.
Уравнение гиперболы вида
2
2
2
2
1
x
y
a
b


называется каноническим
уравнением гиперболы. Здесь
2
2
2
b
c a
  .
Величины a и b называются, соответственно, действительной и
мнимой полуосями гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично
относительно осей координат.
Точки


, 0
a
называются вершинами гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты:
b
y
x
a
 
,
b
y
x
a

.
Гипербола называется равносторонней, если a b
 .
Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид
2
2
2
x
y
a

 ,
асимптоты равносторонней гиперболы y
x
  .
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния
между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси ε
c
a
 .

---

Page 19

19
Эксцентриситет гиперболы
больше единицы, ε 1
 , причем
эксцентриситет равносторонней гиперболы равен
2
2
ε
2
c
a
a
a
a

 

.
Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости,
для каждой из которых расстояние до точки
F
, называемой фокусом, равно
расстоянию до данной прямой l , называемой директрисой, не проходящей
через точку
F
.
Если выбрать систему координат так, чтобы директрисой параболы
была прямая
2
p
x   , а фокусом – точка
,0
2
p
F






, то уравнение параболы
примет вид:
2
2
y
px

– каноническое уравнение параболы.
Уравнение
2
2
x
py

задает параболу, симметричную относительно оси
ординат. При
0
p  ветви параболы обращены в положительную сторону
соответствующей оси, а при
0
p  – в отрицательную.
Эксцентриситет параболы считается равным единице, ε 1
 .
Полярные координаты
Определение. Говорят, что на плоскости введена полярная система
координат, если заданы:
1) некоторая точка О, называемая полюсом;
2) некоторый луч, исходящий из точки О и называемый полярной осью.

---

Page 20

20
Полярными координатами точки M O

называются два числа: полярный
радиус ( )
0
r M
OM



и полярный угол

– угол, на который следует
повернуть полярную ось, чтобы ее направление совпало с направлением
вектора OM

.
Связь между декартовыми и полярными координатами:
2
2
cos ,
sin ;
, tg
.
x r
y r
y
r
x
y
x






 
Поверхности второго порядка
Определение. Поверхностью второго порядка называется множество
всех точек пространства, удовлетворяющих уравнению:
2
2
2
11
22
33
12
13
23
1
2
3
2
2
2
2
2
2
0.
a x a y
a z
a xy
a xz
a yz
a x
a y
a z a








 
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c


 .
Положительные числа a, b, c называются полуосями эллипсоида.
Однополостный гиперболоид имеет каноническое уравнение
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c


 .

---

Page 21

21
Двуполостной гиперболоид имеет каноническое уравнение
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c


  .
Конус имеет каноническое уравнение
2
2
2
2
2
2
0
x
y
z
a
b
c



и при a b
 является конусом вращения, или круговым конусом.
Эллиптический параболоид имеет каноническое уравнение
2
2
2
2
2 .
x
y
z
a
b



---

Page 22

22
Гиперболический параболоид имеет каноническое уравнение
2
2
2
2
2
x
y
z
a
b


.
Каноническое уравнение эллиптического цилиндра имеет вид
2
2
2
2
1
x
y
a
b

 .
Каноническое уравнение гиперболического цилиндра имеет вид
2
2
2
2
1
x
y
a
b

 .

---

Page 23

23
Каноническое уравнение параболического цилиндра имеет вид
2
2
y
px

.