Виды общения

1. ФИЗИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ  МЕХАНИКИ

 

        1.1. ОСНОВНЫЕ  ФОРМУЛЫ  И  ЗАКОНЫ

 

Кинематика

Положение материальной точки в пространстве задаётся радиус-вектором :

,

где – единичные векторы направлений (орты); x, y, z – координаты точки.

Кинематические уравнения  движения (в координатной форме) таковы:

; ; ,

где t – время.

Средняя скорость –                 

<

>= ,

где – перемещение материальной точки за интервал времени .

Средняя путевая скорость –

<

>= ,

где - путь, пройденный точкой за интервал времени .

Мгновенная скорость –

                                               ,

где – проекции скорости на оси координат.  

Абсолютное значение скорости –

.

Ускорение –

,

где ; ; – проекции ускорения на оси координат.

Абсолютное значение ускорения –

.

 

При криволинейном движении ускорение можно представить  как сумму нормальной и тангенциальной составляющих, см. рис 1

Рис. 1.

Абсолютное значение этих ускорений – ; ; , где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

Кинематическое уравнение  равнопеременного движения материальной точки вдоль оси x:

,

где - начальная координата; t – время.

При равномерном движении

;  = 0.

Кинематическое уравнение  равнопеременного движения (a=const) вдоль оси x :

 где  – начальная скорость; t – время.

Скорость точки при  равномерном движении :

.

Кинематическое уравнение  вращательного движения:

                                                     .

Средняя угловая скорость –

,

где - изменение угла поворота за интервал времени .

Мгновенная  угловая  скорость –

.

Угловое ускорение –                

.

Кинематическое уравнение  равномерного вращения –

,

где - угловое перемещение; t – время. При равномерном вращении

 и ε=0.

Частота вращения –           

, или  ,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t; Т – период вращения (время одного полного оборота).

Кинематическое уравнение  равнопеременного вращения (ε=const) :

  ,

где - начальная скорость; t – время.

Угловая скорость тела при  равнопеременном вращении :

.

Связь между линейными  и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

(где – угол поворота тела) –  длина пути, пройденного точкой по дуге окружности радиусом R;

, – линейная скорость точки;

, – тангенциальное  ускорение точки;

 – нормальное ускорение точки.

 

2.  Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно

 

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона)

в векторной форме :

, или ,

где - геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;    m – масса; – ускорение; – импульс; n – число сил, действующих на точку;

в координатной (скалярной) форме :

; ; ,

или

; ; ,

где под знаком суммы  стоят проекции сил  на соответствующие оси координат.

Сила упругости –               

,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткости); x – абсолютная деформация.

  Сила гравитационного  взаимодействия –

,

где G – гравитационная постоянная; и - массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки; r – расстояние между ними.

Сила трения скольжения –

,

где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Значения координат центра масс системы материальных точек –

; ; ,

где – масса - й точки; – координаты точки.

Закон сохранения импульса –

, или  ,

где n – число материальных точек или тел, входящих в систему.

Работа, совершаемая постоянной силой, –

, или  ,

где – угол между направлениями векторов силы и перемещения .

Работа, совершаемая переменной силой, –

,

причем интегрирование ведётся вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность за интервал времени  –

.

Мгновенная мощность –

, или  ,

где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt.

Кинетическая энергия  материальной точки (или тела, движущегося поступательно) –

, или  .

 

Соотношение потенциальной энергии тела и силы, действующей на него в данной точке поля, –

, или  ,

где – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (например, гравитационное), –

.

Потенциальная энергия  упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины) –

.

Потенциальная энергия  гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами и , находящихся на некотором расстоянии друг от друга,-

.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, –

,

где h – высота нахождения тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчёта потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии, что h<<R, где R – радиус Земли.

Закон сохранения энергии  в механике выполняется в замкнутой  системе, в которой действуют  только консервативные силы, и записывается в виде

Применив законы сохранения энергии и импульса в случае прямого центрального удара шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров

и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:

,

,

где и – скорости шаров до удара; и – их массы.

1.1.3. Механика твёрдого тела

 

Основное уравнение  динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси –

,

где – момент силы, действующей на тело в течение времени dt; J – момент инерции тела; – угловая скорость; J – момент импульса.

Если момент силы и  момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

.

В случае постоянного  момента инерции 

,

где - угловое ускорение.

Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения –

,

где – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент инерции материальной точки –

,

где m – масса точки; r – расстояние от оси вращения до точки.

Моменты инерций некоторых  тел правильной геометрической формы  приведены в табл. 1.

                                                                                                             Таблица 1

Тело	Ось, относительно которой  определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой  m и длиной	Проходит через центр  тяжести стержня перпендикулярно ему Проходит через конец  стержня перпендикулярно ему
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, распределённой по ободу	Проходит через центр кольца, обруча, трубы, маховика перпендикулярно плоскости основаня
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр  диска перпендикулярно его плоскости
Однородный шар массой m и радиусом R	Проходит через центр  шара

Момент инерции твёрдого тела –

,

где r_i – расстояние от элемента массы Dm_i до оси вращения.

В интегральной форме  это выглядит так :

.

Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинаково по всему объёму, то

 и  ,

где V – объём тела.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен

,

где –  момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; m – масса тела; a – расстояние между осями.

Закон сохранения момента  импульса –

,

где - момент импульса тела под номером i, входящего в состав системы.

Закон сохранения момента  импульса для двух взаимодействующих тел –

,

где , , и - моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; , , и - те же величины после него.

Закон сохранения момента  импульса для одного тела, момент инерции  которого меняется, –

,

где и – начальный и конечный моменты инерции; и – начальная и конечная угловые скорости тела.

 

Работа постоянного  момента силы M, действующего на вращающееся     тело, –

,

где φ – угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела –

.

   Кинетическая  энергия вращающегося тела –

.

Кинетическая энергия  тела, катящегося по плоскости без  скольжения, –

,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; – кинетическая энергия вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Работа, совершаемая при  вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением

.

Величины, характеризующие  динамику вращательного движения, и  формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения (см. табл. 2).

 

                                                                                                           Таблица 2

Поступательное  движение		Вращательное движение	Поступательное движение	Вращательное движение
Основной закон динамики			Работа и мощность
Закон сохранения			Кинетическая энергия
импульса	момента       импульса