Ряды динамики

 

25

 

20

 

y_ⁱ

 

3

 

2

 

1

 

0

 

-1

 

-2

 

-3

 

t^у_i

 

1995

 

1994

 

1993

 

1992

 

1991

 

1990

 

1989

 

t_ⁱ

Если число уровней  ряда четное, условные переменные времени левой половины ряда (до середины) нумеруются: –1, -3, -5..., а, правой половины: +1, +3, +5 и.т.д. При этом t^уi  будет равна 0. Например:

 

37

 

35

 

30

 

34

 

26

 

25

 

y_ⁱ

 

5

 

3

 

1

 

-1

 

-3

 

-5

 

t^у_i

 

1995

 

1994

 

1993

 

1992

 

1991

 

1990

 

t_ⁱ

Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) для нахождения  параметров линейного уравнения f(t^y_i) = a+b∙t^y_i при введении условной переменной времени преобразуется к виду:

 

Отсюда параметры уравнения  рассчитываются по формулам:

 

! Данный подход можно  использовать, если уровни ряда  - равноотстоящие.

Оценивание параметров  уравнение тренда для показательной  функции y =a·b^t осуществляется также, как и в случае линейного тренда, с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Однако прежде чем использовать МНК, нелинейную функцию преобразуют к линейному виду путем логарифмирования и замены переменных. Если взять логарифмы (неважно по какому основанию) правой и левой частей уравнения: y =a·b^t , получим следующее:  
ln y = ln a + t· ln b. 
Теперь произведем замену переменных и параметров:  
z=ln y; A=ln a; B=ln b. 

В результате имеем  линейное уравнение с новыми  переменными и параметрами: z=A+B·t. 
Для оценки его параметров (A и B) можно использовать стандартные процедуры МНК. Параметры же исходного уравнения (a и b) определяются потенцированием параметров A и B. Так в случае натурального логарифмирования a=e^A; b=e^B.

Пример: подберем линейную функцию f(t)= a + b·t_ⁱ для тренда ряда ВВП РФ (в ценах 2000 года трлн. руб.)

 

Для упрощения расчета  параметров уравнения введем  условную переменную времени t^у .

 

0

 

8045,2

 

2003

 

5

 

11431,4

 

2008

 

-1

 

7684

 

2002

 

4

 

10574,9

 

2007

 

-2

 

7311,1

 

2001

 

3

 

9846,3

 

2006

 

-3

 

6646,5

 

2000

 

2

 

9254

 

2005

 

-4

 

6246,7

 

1999

 

1

 

8632,5

 

2004

 

-5

 

6596,3

 

1998

 

t^у_i

 

Y_ⁱ

 

Год -t_ⁱ

 

t^у_i

 

Y_ⁱ

 

Год -t_ⁱ

Для расчета параметров a и b  рассчитаем сумму t^уi∙Yⁱ и сумму (t^уi)²

 

110

 

55922

 

0

 

92268,9

 

ИТОГО

 

25

 

57157

 

5

 

11431,4

 

2008

 

16

 

42299,6

 

4

 

10574,9

 

2007

 

9

 

29538,9

 

3

 

9846,3

 

2006

 

4

 

18508

 

2

 

9254

 

2005

 

1

 

8632,5

 

1

 

8632,5

 

2004

 

0

 

0

 

0

 

8045,2

 

2003

 

1

 

-7684

 

-1

 

7684

 

2002

 

4

 

-14622,2

 

-2

 

7311,1

 

2001

 

9

 

-19939,5

 

-3

 

6646,5

 

2000

 

16

 

-24986,8

 

-4

 

6246,7

 

1999

 

25

 

-32981,5

 

-5

 

6596,3

 

1998

 

(t^у_i)²

 

t^у_i∙Y_ⁱ

 

t^у_i

 

Y_ⁱ

 

Год -t_ⁱ

Тогда параметры уравнения  тренда: f(t^у)=a + b∙t^у будут равны:

 

Окончательно уравнение  примет вид:

 f(t^уi)=8388,1 + 503,4·t^уi

Дадим интерпретацию параметров:

Параметр а=8388,1 показывает, что средний уровень ряда составляет 8388,1 трлн.руб.

Параметр b= 503,4 показывает, что  в среднем за год уровень  ряда увеличивается на 503,4 трлн.руб.

Нанесем график уравнения  тренда на линейную диаграмму

РАСЧЕТ СЕЗОННОГО КОМПОНЕНТА 
Для измерения сезонных колебаний используют следующие методы:  
а) метод абсолютных разностей (для аддитивной модели временного ряда);  
б) метод индексов сезонности (для мультипликативной модели временного ряда).  
Эти методы предполагают, что данные приведены не менее чем за три года. 
Пусть имеется сезонный ряд динамики y_^ij, где i – номер сезона (i=1;K, K –число сезонов в году); j- номер года (j=1;M, M- число лет в ряде динамики):

 

y_^iM

 

...

 

y_^iM

 

...

 

y_^1M

 

...

 

y_^ij

 

...

 

y_^ij

 

...

 

y_^1j

 

...

 

y_ⁱ¹

 

...

 

y_ⁱ¹

 

...

 

y_¹¹

 

K

 

...

 

i

 

...

 

1 

 

...

 

K

 

...

 

i

 

...

 

1 

 

...

 

K

 

...

 

i

 

...

 

1 

 

m год

сезоны:

 

...

 

j год

сезоны:

 

...

 

1 год

сезоны:

 

Ряд содержит K·М уровней.

Метод абсолютных разностей предполагает определение для каждого сезона (месяца, квартала, декады) средней разности между фактическим (y_^ij) и выровненным (аналитическим или эмпирическим способом) уровнями:

 

где  i – номер сезона (i=1;K);  j – номер года;  m- число  лет, за которые приведены данные  в динамическом ряду.

 

Учитывают сезонность  прибавлением i-ого абсолютного отклонения  к выровненному уровню, относящемуся  к i-ой единице времени внутри  года:         + Sa_ⁱ.

Индекс сезонности может быть рассчитан разными способами. 
Для рядов, в которых практически отсутствует повышающийся или понижающийся тренд, i-ый индекс сезонности может быть рассчитан как отношение среднего уровня, соответствующего i-ому сезону, к общему среднему уровню ряда динамики:

 

где i- номер сезона; K·M –  число элементов в ряду динамики.

Для рядов динамики  с ярко выраженной основной  тенденцией, индекс сезонности для i-ого сезона определяется как  среднее отношение фактического  уровня к выровненному (относящихся  к i-ому сезону):

 

Учитывается сезонность  умножением i-ого индекса сезонности  на выровненный уровень, относящийся  к i-ому сезону.

Пример: Имеются поквартальные данные об объеме продаж Y_^ji за период с 2003 по 2005гг (первые 3 столбца таблицы). Требуется построить аддитивную модель временного ряда: Y‘_^ji=T_^ji + S_ⁱ .

 

3 (2005)

 

2 (2004)

 

1 (2003)

 

J - год

 

220

 

250

 

240

 

190

 

260

 

280

 

230

 

200

 

290

 

310

 

310

 

230

 

Y_^ji

 

4

 

3

 

2

 

1

 

4

 

3

 

2

 

1

 

4

 

3

 

2

 

1

 

I -сезон 

 

Сперва рассчитаем значения  сезонных компонентов. Для этого  выровняем ряд методом скользящей  средней

 

3 (2005)

 

2 (2004)

 

1 (2003)

 

j

 

-

 

236,7

 

226,7

 

230,0

 

243,3

 

256,7

 

236,7

 

240,0

 

266,7

 

303,3

 

283,3

 

-

 

Y^c 

 

220

 

250

 

240

 

190

 

260

 

280

 

230

 

200

 

290

 

310

 

310

 

230

 

Y

 

4

 

3

 

2

 

1

 

4

 

3

 

2

 

1

 

4

 

3

 

2

 

1

 

I  

Для расчета сезонных  компонентов (абсолютных разностей) вычтем из фактических уровней  ряда выровненные.

 

-

 

236,7

 

226,7

 

230,0

 

243,3

 

256,7

 

236,7

 

240,0

 

266,7

 

303,3

 

283,3

 

-

 

Y^c 

 

-

 

13,3

 

13,3

 

-40

 

16,7

 

23,3

 

-6,7

 

-40

 

23,3

 

6,7

 

26,7

 

-

 

Y-Y^c

 

3 (2005)

 

2 (2004)

 

1 (2003)

 

j

 

220

 

250

 

240

 

190

 

260

 

280

 

230

 

200

 

290

 

310

 

310

 

230

 

Y

 

4

 

3

 

2

 

1

 

4

 

3

 

2

 

1

 

4

 

3

 

2

 

1

 

I  

 

Полученные значения перенесем  во вспомогательную табл.:

 

0

 

5,55

 

ИТОГО

 

18,61

 

20

 

-

 

16,67

 

23,33

 

4

 

13,06

 

14,44

 

13,33

 

23,33

 

6,67

 

3

 

9,72

 

11,11

 

13,33

 

-6,67

 

26,67

 

2

 

-41,39

 

-40

 

-40

 

-40

 

-

 

1

 

Среднее - Ci

 

2005

 

2004

 

2003

 

i

Теперь перейдем к построению  уравнения тренда, т.е. трендового  компонента модели. 
Для этого устраним влияние сезонных колебаний, вычтя из исходных уровней соответствующие значения сезонных компонентов (Y^s):

 

201,4

 

236,9

 

230,3

 

231,4

 

241,4

 

266,9

 

220,3

 

241,4

 

271,4

 

296,9

 

300,3

 

271,4

 

Y^s

 

3 (2005)

 

2 (2004)

 

1 (2003)

 

j

 

220

 

250

 

240

 

190

 

260

 

280

 

230

 

200

 

290