Ряды динамики

 

Показывает во сколько  раз текущий уровень превышает  базисный 

 

 

 

Кр^iц=yⁱ /y^i-1

 

 

 

Кр^iб =yⁱ / y¹

 

Цепного показателя

 

Базисного показателя

 

Свойства

 

Интерпретация

 

Формула расчета 

Темп роста – Трⁱ  

 

Показывает сколько процентов  составляет текущий уровень от  базисного 

 

 

 

Тр^iц=Кр^цi∙100%

 

 

 

Тр^iб=Кр^бi∙100%

 

Цепного показателя

 

Базисного показателя

 

Свойства

 

Интерпретация

 

Формула расчета 

Темп прироста – Тпрⁱ  

 

Показывает на сколько  процентов текущий уровень 

больше (меньше) базисного 

 

 

Тпр^цi=

 

 

Тпр^iб=

 

Цепного показателя

 

Базисного показателя

 

Свойства

 

Интерпретация

 

Формула расчета 

Абсолютное значение одного  процента прироста – Aⁱ

 

Показывает, какое абсолютное  значение скрывается за относительным  показателем 1% прироста 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цепного показателя

 

Базисного показателя

 

Интерпретация

 

Формула расчета 

Пункт роста – Рⁱ

 

Показывает на сколько  изменился базисный темп роста  за период 

 

 

 

 

 

 

 

Интерпретация

 

Формула расчета 

 

Область допустимых значений коэффициента роста и темпа роста от нуля до плюс бесконечности. Область допустимых значений абсолютного прироста, темпа прироста, абсолютного ускорения от минус бесконечности до плюс бесконечности.  
Абсолютные показатели динамики (абсолютный прирост, абсолютное ускорение, абсолютное значение одного процента прироста)  – именованные величины; имеют те же единицы измерения, что и уровень ряда. Относительные показатели динамики выражены в процентах или в долях единицы.  
Если уровень ряда принимает разнознаковые значения, например, y - результат деятельности предприятия (прибыль или убыток), то рассчитывать относительные показатели динамики (Кр, Тр, Тпр, Р) нельзя, т.к. получаются величины, неподдающиеся интерпретации.

СВОДНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ  РЯДА  ДИНАМИКИ 
Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние  показатели динамики: средний уровень ряда и средние показатели изменения уровней ряда.  
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ РЯДА 
Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от вида временного ряда. 
Для интервального ряда средний уровень рассчитывается по формуле среднего арифметического. В случае равноотстоящих интервалов - по формуле простого среднего арифметического:

 

При неравноотстоящих  интервалах - по формуле взвешенного  арифметического с весами равными  расстоянию между уровнями по  времени.

Средний уровень моментного ряда определяется по формуле среднего хронологического. Для моментных рядов с равноотстоящими уровнями средний уровень моментного ряда будет равен простому среднему хронологическому:

 

При расчете среднего  уровня моментный ряд преобразуется  в условно интервальный. Интервалы  образуют соседние моменты. Уровни  такого ряда определяются как  средние из уровней на начало  и конец интервала. Например, (y1+y2)/2 - средний уровень за период  времени между моментами t1 и t2; (y2+y3)/2 – средний уровень за период  между моментами t2 и t3 и т.д. Средний  уровень ряда за весь рассматриваемый  промежуток времени (t_¹ - t_^N) определяется как простое среднее арифметическое из средних, исчисленных за отдельные периоды между датами (всего их будет N -1).

Средний уровень моментного  ряда с неравноотстоящими уровнями  определяется по формуле среднего  хронологического взвешенного c весами - T_ⁱ, равными продолжительность промежутков времени между моментами i и (i+1):

Пример: На основании следующих данных о численности безработных региона -Y, тыс.чел. 
На 01.01.2005 .................................1,5 
На 01.06.2005..................................0,8 
На 01.08.2005..................................0,9 
На 01.10.2005..................................1,2 
На 01.01.2006..................................1,7 
Определите среднегодовую численность безработных. 
Решение: Так как ряд моментный с неравноотстоящими уровнями, то воспользуемся формулой средней хронологической взвешенной с весами равными продолжительности периодов между датами:

При определении средних  уровней временного ряда нужно  иметь в виду, что средняя будет  достаточно надежной характеристикой  ряда динамики, если она характеризует  период с более или менее  стабильными уровнями развития. Если же за исследуемый период  можно выделить этапы, в течение  которых условия развития существенно  менялись, то пользоваться общей  средней не всегда целесообразно, а предпочтение нужно отдать  средним, рассчитанным для отдельных  этапов.

СРЕДНИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ  УРОВНЕЙ РЯДА 
Средние показатели изменения уровней ряда рассчитываются усреднением цепных показателей динамики. 
 
Средний абсолютный прирост рассчитывается как простая средняя арифметическая из показателей абсолютных цепных приростов:

 

Средний абсолютный прирост  показывает, насколько в среднем  изменяется уровень ряда за  единичный промежуток времени.

Средний коэффициент роста (сила роста ) -  рассчитывается по формуле среднего геометрического  из показателей цепных коэффициентов роста:

 

Средний коэффициент роста  показывает, во сколько раз в  среднем изменяется уровень ряда  за единичный промежуток времени.

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

 

и показывает, сколько  процентов в среднем за единичный  промежуток времени составляет  уровень ряда от предыдущего  уровня.

Средний темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем за единичный промежуток времени изменяется уровень ряда. Рассчитывается он на основе среднего темпа роста, вычитанием из последнего 100%:

 

Если уровни ряда динамики  снижаются, то средний темп роста  будет меньше 100%, а средний темп  прироста будет отрицательной  величиной.

                      СТРУКТУРА РЯДА ДИНАМИКИ.  
Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием  множества факторов, различных по характеру и силе воздействия: 
1) Факторов эволюционного характера, которые оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики основную тенденцию (тренд). 
2) Факторов осциллятивного  характера, воздействие которых периодическое. Влияние факторов осциллятивного характера вызывает циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Под колебаниями понимают отклонения от тренда.  
Сезонные колебания – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный году.  
Конъюнктурные колебания связаны с большими экономическими циклами, период таких колебаний – несколько лет. 

3) Факторов нерегулярного воздействия, вызывающие нерегулярные колебания, которые делятся на: а) спорадически наступающие изменения, вызванные, например, войной, экологической катастрофой; б) случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа относительно слабых второстепенных факторов. 
 
Модель ряда динамики : Y = f (T, K, S, E), 
где Y – уровень ряда; 
T- трендовый компонент; 
K - циклический компонент; 
S - сезонный компонент; 
E- случайный компонент. 
 
Аддитивная модель                     Мультпликативная модель 
Y =T+ K + S + E Y = T ∙ K ∙ S ∙ E

Выявление основной тенденции (тренда) или трендового компонента Т называется в статистике выравниванием ряда динамики. При этом предполагается, что через время можно выразить влияние всех основных факторов на уровень ряда. 
Методы выявления основной тенденции (Т): 
1) сглаживание или механическое выравнивание; 
2) аналитическое выравнивание - выравнивание с применением аналитической модели (формулы): Т= f(t) 
 
К методам первой группы относятся: 
1.1) Графический метод. Данный метод основан на визуальном анализе графика, характеризующего ряд динамики. Наиболее распространенным видом графического изображения является линейная диаграмма. Анализ линейной диаграммы позволяет делать вывод о присутствии (отсутствии) тренда в уровнях ряда динамики.

Например, в уровнях ряда, изображенном на рисунке, присутствует  возрастающий тренд;

В уровнях ряда, изображенном  на рисунке, присутствует понижающийся  тренд

В уровнях, соответствующих  рисунку,  тренд отсутствует.

 

(Тренд на рисунках изображен  пунктирной линией)

1.2) Метод скользящей средней. Суть данного метода состоит в следующем: вычисляется средний уровень из L первых по порядку уровней ряда (y¹, ...y^L), затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго (y², ...y^L+1), затем - начиная с третьего (y³, ...y^L+2) и т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по ряду динамики, каждый раз сдвигаясь на один уровень. Полученная средняя относится к середине интервала сглаживания. Поэтому технически удобнее составлять интервал из нечетного числа уровней ряда (L=3, 5, или 7). 

Нахождение скользящей  средней по четному числу уровней  ряда несколько сложнее, так как  средняя может быть отнесена  только к середине интервала, т.е. попадает между двумя средними  датами.  В этом случае прибегают  к центрированию. Центрирование  заключается в нахождении средней  из двух соседних  скользящих  средних для отнесения полученной  средней к определенной дате.

Проблема выбора интервала  сглаживания: 
 
при использовании приема скользящей средней сглаженный ряд сокращается по сравнению с исходным рядом на число уровней, равное (L-1), т.е. происходит потеря информации; 
вместе с тем, чем продолжительнее интервал сглаживания, тем сильнее усреднение, а потому выявляемая тенденция развития получается более плавной.

Построим сглаженный ряд ВВП РФ (в ценах 2000 года трлн. руб.) за период с 1998 по 2008гг   с помощью трехлетней скользящей средней.

 

-

 

11431,4

 

2008

 

10617,5

 

10574,9

 

2007

 

9891,7

 

9846,3

 

2006

 

9244,3

 

9254

 

2005

 

8643,9

 

8632,5

 

2004

 

8120,6

 

8045,2

 

2003

 

7680,1= (7311,1+ 7684+8045,2)/3

 

7684

 

2002

 

7213,9 =(6646,5+7311,1+7684)/3

 

7311,1

 

2001

 

6734,7= (6246,7+6646,5+7311,1)/3

 

6646,5

 

2000

 

6496,5= (6596,3+6246,7+6646,5)/3

 

6246,7

 

1999

 

-

 

6596,3

 

1998

 

Скользящее среднее

 

Y_ⁱ

 

Год -t_ⁱ

Линейные диаграммы исходного  и выровненных (скользящей средней) уровней ряда представлены на  рисунке 

2)  аналитическое выравнивание - наиболее эффективный метод выравнивания.  
Оно предполагает представление уровней ряда динамики в виде функции времени (уравнения тренда) – f(t).    
 
Задача та же, что и в регрессионном анализе: построить уравнение, которое описывало бы зависимость уровня ряда y от фактора – времени t.  
 
Уравнение тренда может быть линейной функцией,  гиперболой, параболой, показательной функцией, логистической кривой и т.п. 

Выбор вида функции (f)  должен быть основан на содержательном  анализе сущности развития данного  явления. На практике для этих  целей прибегают: 
- к графическому изображению уровней динамического ряда (линейная диаграмма), а также к графическому изображению сглаженных уровней, в которых случайные волны и колебания в некоторой степени оказываются погашенными; 
- перебору всевозможных функций и выбору наилучшей (наиболее качественной). Критерием качества может служить сумма квадратов отклонений фактических значений, рассчитанных по уравнению тренда. Чем сумма меньше, тем уравнение более качественное.

Расчет параметров уравнения  тренда. 
Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Согласно данному методу наилучшим считается такое приближение выровненных данных  - f(t) к фактическим  - y, при котором сумма квадратов их отклонений является минимальной:

Поиск параметров для  линейного уравнения тренда:  
f(t) = a+b∙t можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю.  
 
При этом вводится новая условная переменная времени t^уi, такая, что  t^уi = 0.  
 

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения t^уi=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (значению t^уi, соответствующему данному уровню присваивается ноль). Значения переменной времени t^уi, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1  –2  –3 ...), а, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс  
(+1, +2,  +3 ...). Например:

 

37

 

35

 

30

 

34

 

26