Особенности решения текстовых задач в 5-6 классах

 

2. Деление числа на части обратно пропорционально данному ряду чисел.     

 

    Рассмотрим примеры  двух задач со схожими сюжетами. Одна задача на деление числа  прямо пропорционально данному  ряду чисел, а вторая задача  окажется новой. При ее решении  нужно делить данное число  на части обратно пропорционально  данному ряду чисел.

Задача 1. Две бригады школьников, работая с одинаковой производительностью, пропололи морковь на участке, площадь  которого составляет 15 соток. Причем одна бригада работала 2 часа, а другая 3 часа. Сколько соток прополола  каждая бригада? [17]

          Выполним графическую иллюстрацию  к условию задачи:

 

       1-ая  бригада                                                             2-ая бригада

                 2 части                                                                    3 части

 

Бригады работали с одинаковой производительностью. Первая, работая 2 часа, прополола меньше, чем вторая, работавшая 3 часа. Следовательно, 15 соток, прополотых обеими бригадами, нужно  разделить прямо пропорционально  времени их работы, т. е. 2:3.

Решение: 1) (ч), всего частей; 2) (сотки) составляет одна часть; 3) (соток) прополола первая бригада; 4) (соток) прополола вторая бригада.

Ответ: 6 соток, 9 соток.

Задача 2. Группа школьников из 15 человек разбилась на 2 бригады  для прополки моркови так, что  одна бригада смогла бы выполнить  всю работу за 2 часа, а другая за 3 часа. Сколько школьников в каждой бригаде, если известно, что все они  работали в одном темпе? [17]

Так как все школьники  работают в одном темпе, то, в той  бригаде, которая работает быстрее  – больше человек, а медленнее  меньше. Следовательно, общее число  школьников (15 человек) нужно распределить прямо пропорционально темпу  работы бригад. Но темп работы бригад не известен.

Так как по условию первая бригада за 2 часа пропалывает весь участок, то за один час –  участка, рассуждая аналогично, получим, что вторая бригада за один час – участка. Теперь данное число 15 разделим в отношении : . Ряд чисел ; – это ряд чисел, обратных числам ряда 2; 3, а следовательно, задача свелась к делению данного числа на части прямо пропорционально ряду чисел, обратных данным.

Говорят, в данной задаче нужно 15 разделить на части обратно  пропорционально данному ряду чисел.

Вывод: чтобы разделить число на части обратно пропорционально данному ряду чисел, надо разделить его на части прямо пропорционально ряду чисел, обратным данным.

Решение.

1.Заменим ряд данных  чисел: 2; 3 рядом чисел, им обратным – ; .

2.Разделим 15 в отношении  : . Упростим это отношение: : =3:2.

 

       2-ая  бригада                                                             1-ая бригада

        2 части                                                                    3 части

Всего 15 человек

 

1) – всего частей;

2) (человека) составляют одну часть;

3) (человек) в первой бригаде;

4) (человек) во второй бригаде.

Ответ: 9 человек и 6 человек.

 

2.2.3 Задачи на сложные пропорциональные деления

 

Задача 1. Две бригады школьников получили за сбор клубники 2725 рублей. Причем в одной бригаде было 11 человек, а в другой 9 человек. Первая бригада  работала, а вторая 6 дней. Как распределить между бригадами полученную сумму, если все школьники работали в  одинаковых условиях? [3]

Если бы обе бригады  работали одно и то же число дней, то 2725 руб. нужно бы разделить в  отношении 11:9. Если бы число школьников в обеих бригадах было бы одинаково, то 2725 руб. нужно бы разделить в  отношении 5:6. А бригады отличаются и по количеству школьников и по времени их работы, значит и при  распределении денег необходимо учитывать одновременно оба условия, поэтому удобно предварительно вычислить  число рабочих дней каждой бригады.

Решение. 1. Вычислим число  рабочих дней каждой бригады.

1. (рабочих дней) – у первой бригады;
2. (рабочих дня) – у второй бригады.

 

3. Разделим 2725 руб. в отношении 55:54.
1. (частей) всего;
2. (руб.) составляет одна часть;
3. (руб.) получила первая бригада;
4. (руб.) получила вторая бригада.

Ответ: 1375 рублей, 1350 рублей.

В задаче требовалось разделить  число пропорционально двум данным ряда чисел. Решая задачу, делили данное число пропорционально произведениям  соответствующих чисел этих двух рядов.

 

2.2.4 Задачи на дроби и проценты

 

В объяснительном тексте учебников  Н. Я. Виленкина и др, и под редакцией Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина и др., и Э. Р. Нурка, А. Э. Нурка, А. Э. Тельгмаа нет краткой записи условий данных задач, а это может привести учащихся к непониманию того, что происходит. И почему в одном случае выполняем деление, а в другом умножение. Нужно, чтобы дети видели, что в условии задачи является целым, а что его частью.

1. Нахождение дроби от числа.

Задача 1. Расстояние между  двумя селами 24км. За первую неделю бригада заасфальтировала 5/8 этого  расстояния. Сколько километров заасфальтировали? [1]

Прежде всего запишем краткое условие:

 

                                     5/8 заасфальтировали

                        24км–это 1.

 

В задаче известно расстояние между селами (целое–1). Необходимо найти часть его (5/8).

24 км составляют восемь восьмых долей. Сколько км приходится на 1/8 долю?   (км)

За первую неделю заасфальтировали 5 таких долей. Сколько километров заасфальтировали? (км)

Ответ:15 км заасфальтировали за первую неделю.

Запись выражением:  (км).

24 разделили на знаменатель  дроби и полученный результат  умножили на числитель.

     .

Вывод: для нахождения дроби от числа, нужно число умножить на данную дробь.

 

 

 

 

2. Нахождение числа по его дроби (обратная задача)

Задача 2. За первую неделю бригада  заасфальтировала 15км, что составило 5/8 расстояния между двумя селами. Каково расстояние между двумя селами? [1]

Запишем краткое условие:

Все расстояние– это 1.

 

5/8 – это 15км.

 

15км – это 5 долей. Сколько км в одной доле?   (км)

Так как  все расстояние содержит 8 таких долей, то найдем его: (км).

Ответ: расстояние между  селами 24 км.

Запишем выражение: (км) или

.

Вывод: для нахождения числа по его дроби, можно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Так как проценты можно  записать в виде дроби, то нахождение процентов от числа и числа  по его процентам находятся аналогично. Для успешного решения задач  такого типа нужно научиться различать  их, для этого тщательно разобраться  в условии.

Советы: 1) Сделать рисунок. На этом рисунке: а) изобразите произвольный отрезок прямой, который изображает известное или неизвестное целое;

б) приблизительно (или точно) изобразите отрезок– известную или неизвестную часть этого целого;

в) над отрезками укажите  известные или неизвестные величины, которые они изображают; под ними – соответствующие им известные или неизвестные дроби.

2) Найдите, чему равна  одна часть целого.

3) Найдите искомую величину. Запишите ответ.

 

3. Изменение величины в процентах

Часто встречаются величины, значения которых меняются: производительность труда, заработная плата; цена товара, масса детали при обработке и  т.д. Изменения величин принято  характеризовать с помощью процентов.

Задача. Завод выпустил 884 трактора вместо 850 тракторов, намеченных по плану. На сколько процентов завод  перевыполнил план? [3]

Краткое условие:

 

 

План–100%, 850 тр.

                                                              

?%

                              Факт– 884 тр.

На какое количество тракторов  завод выпустил больше, чем по плану?  884–850=34(тр)

Какой процент от плана  составляет полученная разность?   34/850=2/50=4/100=4%

Ответ: завод перевыполнил план на 4 %

Вывод: чтобы узнать изменение величины в процентах,  нужно узнать, на какое число единиц изменилась эта величина, а затем найти процентное отношение полученной разности к первоначальному значению величины.

 

4. Процентное отношение

1. Решить задачу: «Расстояние  между двумя селами 24км. За первую  неделю бригада заасфальтировала  15 км. Какую часть всего расстояния заасфальтировала бригада за первую неделю?

Так как 24 км составляют целое, то 1 км составляет 1/24 от всего расстояния. По условию бригада заасфальтировала 15 км, следовательно, они составляют 15/24 всего расстояния, т.е. 5/8.

Решение задачи свелось к  вычислению величины отношения числа  заасфальтированной части к длине  всего расстояния между селами.

2.Решим эту же задачу, но зададим другой вопрос: «Сколько  процентов  составляет заасфальтированная  дорога от всего расстояния?

Для ответа достаточно полученное в предыдущей задаче отношение выразить в процентах.  5/8 = 62,5%  Ответ: заасфальтированная дорога составляет 62,5% от всего расстояния.

Отношение, выраженное в  процентах, называют процентным отношением.

2.2.5 Типовые арифметические  задачи

 

Если в задачах зависимости  между заданными величинами сходны. То задачи являются аналогичными и  ход их решения тоже аналогичны. Рассмотрим наиболее типичные зависимости  величин, встречающиеся в задачах.

 

1. Задачи на  нахождение чисел по их сумме  и разности

Перед решением  задач  такого типа можно решить задачу: «В двух пачках было 40 тетрадей. Сколько  тетрадей было в каждой пачке, если в обеих пачках тетрадей было поровну?»   Решение: 40:2=20(тет.) в каждой пачке.

Затем перейти к решению  такой задачи: « В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки  взяли 10 тетрадей, то в двух пачках тетрадей стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально? [17]

Рассмотрим два способа  решения.

1 способ. Чтобы решить  задачу как предыдущую, нужно  уравнять количество тетрадей  в пачках, «убрав» из первой  пачки 10 тетрадей.

1) (тет.)

Теперь количество тетрадей в пачках стало одинаковым, общее  число равно 30 тетрадям. В каждой пачке станет по 15 тетрадей, а это  соответствует числу тетрадей во второй пачке.   2) (тет.)

Ответ: во второй пачке первоначально  было 15 тетрадей.

2 способ. Предположим, что  во вторую пачку добавили 10 тетрадей. Тогда число тетрадей в пачках  станет одинаковым, но общее количество  увеличится и станет равным:  1) (тет.)

В каждой пачке окажется по 25 тетрадей, а это соответствует  числу тетрадей в первой папке:  2) (тет.)

Узнаем, сколько тетрадей было во второй пачке:  3) (тет.)

Ответ: во второй пачке первоначально  было 15 тетрадей.

Задача: « Периметр прямоугольника равен 48см., длина на 4см. больше ширины. Найдите стороны прямоугольника».

Чтобы свести к способу  решения предыдущей задачи, учащиеся, вспомнив понятие периметра прямоугольника, находят сумму двух смежных сторон.