Метод решения логических задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧЕРЕЖДЕНИЕ                                            ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ              ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра математики

 

Реферат

по математической логике

 

на тему:

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ  ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса ФФМиКН

специальность ПМИ

Тюпенкина О. И.

Научный руководитель:

к.п.н, доцент  Ершова А.А

 

 

 

Липецк 2013

СОДЕРЖАНИЕ:

 

1. Введение
2. §1. Метод таблиц
3. §2. Метод блок-схем
4. §3. Метод математического бильярда
5. Заключение
6. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль

Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде  бы нет никакой математики - нет  ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы  и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них  чувствуется ярче всего - половина решения  любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит  в том, чтобы как следует разобраться  в условии, распутать все связи  между участвующими объектами.

Есть люди, для которых  решение логической задачи - увлекательная , но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом они не могут объяснить, как они пришли к решению. "Ну это же очевидно, ясно", - говорят они. "Ведь если ... " - и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. "Действительно, все ясно", - говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения. Согласитесь, что такое же ощущение часто возникает при чтении детективов.

Итак, мы узнаем, как разными  способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов  несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Познакомившись подробно, поймете в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод.

 

 

 

 

 

 

§1. Метод таблиц

Основной прием, который  используется при решении текстовых  логических задач, заключается в  построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить  условие задачи или ее ответ, но в  значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

 

Задача. 

Три клоуна Бим, Бам  и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли  были тех же цветов. У Бима цвета  рубашки и туфель совпадали. У  Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а  в рубашке другого цвета. Как  были одеты клоуны?

Решение. 

Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета  рубашек и туфель клоунов (буквами  К, З и С обозначены красный, зеленый  и синий цвета).

Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли  Бама зеленые, а рубашка не является зеленой. Ставим знак  +  в клетку 2-й строки и 5-го столбца, и знак - в клетку 2-й строки и 2-го столбца. Следовательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными.

Отметим все это в таблице (см. табл. 1).

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1.

	Рубашки			Туфли
Бим				+	-	-
Бам		-		-	+	-
Бом	-			-	-	+
	К	З	С	К	З	С

 

Далее, туфли и рубашка  Бома не являются красными, отметим  соответствующие ячейки таблицы  знаком – . Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома - синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл.1). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки - Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета.

Мы полностью заполнили  таблицу, в которой однозначно устанавливаются цвета туфель и рубашек клоунов (см. табл. 2): Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

 

 

 

 

 

Таблица 2.

	Рубашки			Туфли
Бим	+	-	-	+	-	-
Бам	-	-	+	-	+	-
Бом	-	+	-	-	-	+
	К	З	С	К	З	С

 

 

Ответ:

Бим одет в красную рубашку  и красные туфли, Бам в синей  рубашке и зеленых туфлях, Бом  в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

 

 

Идея метода:

Оформлять результаты логических рассуждений в виде таблицы.

Преимущества  метода:

• Наглядность.
• Возможность контролировать процесс рассуждений.
• Возможность формализовать некоторые логические рассуждения.

 

 

 

 

 

§2. Метод блок-схем

Рассмотрим еще один тип  логических задач.

Это задачи, в которых  с помощью сосудов известных  емкостей требуется отмерить некоторое  количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания  на чашечных весах. Простейший прием  решения задач этого класса состоит  в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения  не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению  других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании  блок-схем. Суть этого метода состоит  в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам  точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается  последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется  в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема  является программой, выполнение которой  может привести нас к решению  поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют  отдельную таблицу, в которую  заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Задача. 

Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В  нашем распоряжении водопроводный  кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение.

Перечислим все возможные  операции, которые могут быть использованы нами, и введем для них следующие  сокращенные обозначения: НБ — наполнить  больший сосуд водой из-под  крана;

НМ — наполнить меньший  сосуд водой из-под крана;

ОБ — опорожнить больший  сосуд, вылив воду в раковину;

ОМ — опорожнить меньший  сосуд, вылив воду в раковину;

Б→М — перелить из большего в меньший, пока больший сосуд  не опустеет или меньший сосуд  не наполнится;

 М→Б — перелить  из меньшего в больший, пока  меньший сосуд не опустеет  или больший сосуд не наполнится.

Выделим среди перечисленных  команд только три: НБ, Б→М, ОМ. Кроме  этих трех команд рассмотрим еще две  вспомогательные команды: Б = 0 ? — посмотреть, пуст ли больший сосуд; М = З ? — посмотреть, наполнен ли малый сосуд.

В зависимости от результатов  этого осмотра мы переходим к  выполнению следующей команды по одному из двух ключей - "да" или "нет". Такие команды в программировании принято называть командами "условного  перехода" и изображать в блок-схемах в виде ромбика с двумя ключами-выходами.

Договоримся теперь о последовательности выполнения выделенных команд. После  Б→М будем выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается  наполненным, и НБ всякий раз, как  больший сосуд будет опорожнен. Последовательность команд изобразим  в виде блок-схемы (Рис. 1). Начнем выполнение программы. Будем фиксировать, как  меняется количество воды в сосудах, если действовать по приведенной  схеме. Результаты оформим в виде таблицы (табл.).

Рис.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица.

Б	0	5	2	2	0	5	4	4	1	1	0	5	3	3	0	0
М	0	0	3	0	2	2	3	0	3	0	1	1	3	0	3	0

 

Дальше эта последовательность будет полностью повторяться. Из таблицы видим, что количество воды в обоих сосудах вместе образует следующую последовательность: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т.д. Таким образом, действуя по приведенной схеме, можно отмерить любое количество литров от 1 до 7. Чтобы  отмерить еще и 8 литров, надо наполнить  оба сосуда.

 

Идея метода:

Описать последовательность выполнения операций, определить порядок  их выполнения  и фиксировать  состояния.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Метод математического  бильярда

Появившись до нашей эры  в Индии и Китае, бильярд через  много веков перекочевал в  европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд  стал известен и распространился  при Петре I. Подобно тому, как  азартная игра в кости вызвала  к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом  серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте  себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому  столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь  от бортов стола. Спрашивается, какой  может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили  появлению теории математического  бильярда или теории траекторий.

В этом параграфе мы приведем одно изящное применение математического бильярда к решению задач на переливание.

Задачи на переливание  жидкостей можно очень легко  решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Рассмотрим туже задачу, что и в предыдущем разделе (Метод блок-схем).

Задача. 

Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В  нашем распоряжении водопроводный  кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение. 

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали  будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка  из одинаковых равносторонних треугольников (см. рис.1).

Рис. 1.

 

 

 

 

 

Бильярдный шар может  перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма  шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При  этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько  воды находится в каждом из сосудов.