Решение краевой задачи методом конечных разностей

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный  архитектурно-строительный университет

 

Кафедра прикладной математики и информатики

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

«Решение краевой задачи методом конечных разностей»

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил студент

Группы 13-С-1 Бреннер Д. А.

Работу принял преподаватель

Кокорин А. М.

 

 

 

 

 

 

 

2013

 

Задание

Решить дифференциальное уравнение y'' - xy' + 2y = 4,

при y(0)=0 , y(1)=2 , n=5

Решение

Теоретическое обоснование

Дифференциальное уравнение  в общем виде выглядит так:

y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)

для нашего исходного уравнения  находим:

P(x)= -x

Q(x)= 2

f(x)= 4

Так как в общем случае найти аналитический вид функции y(x)  в виде формулы невозможно, сделаем упрощение: будем искать значение у в некоторой точке x_i . Разобьем интервал [x_n ; x_k] на n-равных частей с шагом h:

 

h=

 

Используя обозначения y(x_i) = y_i , заменим y'(x_i) и y''(x_i) конечно-разностными выражениями для производных:

 

 

С помощью данных выражений  для производных заменим исходное дифференциальное уравнение на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных:

i = 1,2,3,…,n - 1

P(x)= p_i

Q(x)= q_i

f(x)= f_i

+ p_i + q_i y_{i =} f_i

умножим полученное уравнение  на h²:

y_{i-1 +} y_{i + yi+1 =} f_i

введем следующие обозначения:

A_i = ; B_i = _; C_i =

получаем следующее уравнение:

y_{i-1 -} y_i + y_{i+1 =} f_i

составляем систему (n-1)-уравнений:

x₀:   y₀                                                                                           =y_n

x₁:   A₁y₀-C₁y₁+B₁y₂                                                        =f₁h²

x₂:             A₂y₁-C₂y₂+B₂y₃                                         =f₂h²

x₃:                      A₃y₂-C₃y₃+B₃y₄                           =f₃h²

x₄:                               A₄y₃-C₄y₄+B₄y₅            =f₄h²

x₅:                                                       y₅          =y_n

 

получаем систему, которая  имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов. При решении такой системы можно применить метод прогонки.

Подставим во второе уравнение  системы y_o из первого уравнения и выразим из полученного y₁ :

 

y₁ = y₂ + ,

тогда можно вывести следующие  коэффициенты:

 

a₁ = ; b₁ = ;

затем подставим в третье уравнение системы выражение  для y₁ и выразим из этого уравнения y₂ , проделав аналогичные действия (n-1) раз, получим формулы для остальных неизвестных в общем виде:

 

a_i = a ; b_i = ba

 

основное уравнение для  выражения y_i:

y_{i =} a_iy_i+1 + b_i

затем выполняем обратный ход прогонки, вычисляя y_i .

 

Практическая  часть

1. Метод прогонки

Из исходных данных  y(0)=0 , y(1)=2 , n=5 найдем шаг сетки h:

 

h = 0,2

для заданного дифференциального  уравнения:

P(x)= -x

Q(x)= 2

f(x)= 4

далее рассчитываем коэффициенты А, В и С :

 

A_i = 1-(-x_i) ; B_i = 1+(-x_i) ; C_i = 2-2

из исходных данных и полученных результатов, построим таблицу следующих  значений:

 

№ узла	Xi	p(x)	q(x)	f(x)	A	B	C	F
0	0				0	0	-1	0
1	0,2	-0,2	2	4	1,02	0,98	1,92	0,16
2	0,4	-0,4	2	4	1,04	0,96	1,92	0,16
3	0,6	-0,6	2	4	1,06	0,94	1,92	0,16
4	0,8	-0,8	2	4	1,08	0,92	1,92	0,16
5	1				0	0	-1	2

 

 

Система уравнений записывается в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь полученными данными  можно рассчитать прогоночные коэффициенты: прямой ход:

 

a	b
0	0
0,510416667	-0,083333333
0,691061788	-0,177564487
0,791595942	-0,293242806
0,863787814	-0,447575628
0	2

 

 

Пользуясь формулой  y_{i =} a_iy_i+1 + b_i и полученными прогоночными коэффициентами, сделаем обратный ход прогонки для вычисления значений искомой функции:

 

Xi	Y
0	0
0,2	0,08
0,4	0,32
0,6	0,72
0,8	1,28
1	2

 

Полученные точки нанесем  на координатные оси:

 

 

 

Проверка:

 

0=0

1,02*0-1,92*0,08+0,98*0,32=0,16

1,04*0,08-1,92*0,32+0,96*0,72=0,16

1,06*0,32-1,92*0,72+0,94*1,28=0,16

1,08*0,72-1,92*1,28+0,92*2=0,16

2=2

Аналитический метод:

Составим аналитическую  модель решения в виде y=ax²+bx+c

 

a	2
b	0
c	-8,88178E-16

 

 Для проверки возьмем  точку (1;2)

y'=4x

y''=4

Подставляя эти значения в формулу y'' - xy' + 2y = 4 получаем:

4-1*(4*1)+2*2=4    =>    4=4