Задачи по "Фнансовой математике"

 

                                   ГОУ ВПО «РЭУ им. Г.В. Плеханова»

                                                Финансовый Факультет 
 

                                            Кафедра высшей математики 
 
 

                                               Расчетное задание №2.

               Портфель рискованных активов.  Множество инвестиционных

                 возможностей. Эффективная граница.  Касательный портфель.

                                                   6 вариант. 
 
 

                                                                                          
 

                                                                                       Выполнила:

                                                                                            Гайнулина Р.

                                                                                           Студентка группы 2412 ФФ

                                                                                           Проверил:

                                                                                           Шомахов А.Ю.

                                                        

                                                           Москва-2011 

Вариант 6

Дано:

ковариационная  матрица ожидаемых доходностей  Λ= 

ожидаемые доходности трех рисковых активов: r₁=0,12  r₂=0,25  r₃=0,42  

  Задание 1

Сформировать  допустимый портфель с наименьшим риском и вычислить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности этого портфеля.

Решение:

Используя функцию Лагранжа и теорему  Куна-Таккера составим систему линейных уравнений:

    0,2 ϴ₁+0,2ϴ₂+λ=0

    0,2 ϴ₁+0,4 ϴ₂+0,2 ϴ₃+λ=0

    0,2 ϴ₂+0,4 ϴ₃+λ=0

 ϴ₁+ ϴ₂ + ϴ₃=1

 Из первого  уравнения вычтем второе и третье. Получим:

     -0,2 ϴ₂-0,2 ϴ₃=0              ϴ₂= - ϴ₃                                       ϴ₁=1

   0,2 ϴ₁-0,4 ϴ₃=0    =>      ϴ₁= 2 ϴ₃              =>        ϴ₂=

    ϴ₁+ ϴ₂ + ϴ₃=1                2 ϴ₃ - ϴ₃+ ϴ₃=1               ϴ₃=   

Так как короткие продажи разрешены (Ω₃), то ϴ_min=(1, - , )

Найдем ожидаемую доходность сформированного портфеля:

r_p= r₁ ϴ₁+ r₂ ϴ₂+ r₃ ϴ₃+0,12*1-0,25*0,5+0,42*0,5= 0,205

Вычислим дисперсию портфеля: 

 σ²=σ₁² ϴ₁²+ σ₂² ϴ₂²+ σ₃² ϴ₃²+2σ₁₂ ϴ₁ϴ₂+2 σ₁₃ ϴ₁ ϴ₃+2σ₂₃ ϴ₂ ϴ₃=0,1*1+0,2*0,25+0,2*0,25

-2*0,1*0,5-0,2*0,25=0,05

Среднеквадратическое  отклонение σ=0,2236 
 

Задание 2

 Указать множество  допустимых портфелей, определяющих эффективную  границу множества инвестиционных возможностей, составить уравнение  эффективной границы и построить  её.

      0,2 ϴ₁+0,2ϴ₂+λ₁+0,12λ₂=0

     0,2 ϴ₁+0,4 ϴ₂+0,2 ϴ₃+λ₁+ 0,25λ₂ =0

     0,2 ϴ₂+0,4 ϴ₃+λ₁+0,42 λ₂=0

      ϴ₁+ ϴ₂ + ϴ₃=1               

     0,12 ϴ₁ +0,25 ϴ₂ +0,42 ϴ₃=r

 
 

Чтобы найти  уравнение  ,определяющее множество инвестиционных возможностей, определим коэффициенты А, В и С. 
 
 

 
 

Наименьшее значение функции достигается при  (ожидаемая доходность портфеля с наименьшим риском)

Эффективная граница  определяется уравнением:  , r≥0,205

 

 Задание 3

Найти касательные  портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам r_f1 r_f2.

r_f1=0,06  r_f2=0,09

Решение:

Сначала вычислим ожидаемые доходности касательных  портфелей по формуле: 
 
 

Находим касательные  портфели, подставляя полученные значения доходностей в: 

Таким образом,

; .

Задание 4

Определить эффективную  границу множества инвестиционных возможностей, если инвесторы могут  предоставлять кредиты под безрисковую процентную ставку r_f1, а брать кредиты под безрисковую процентную ставку r_f2

Решение:

Определим условия, определяющие эффективную границу, по формуле: 

    

  0,295426896                         

0,330549179    

Таким образом, эффективная  граница МИВ определяется следующими условиями: 
 

Задание 5

Построить стратегию  инвестирования для обеспечения  ожидаемых доходностей портфеля:

1)R₁=15% < =0,3599

R₁=

0,15=0,3599w₀+(1-w₀)*0,06

w₀=0,265

26,5 % от имеющихся  средств следует вложить в рисковый актив, т.е. портфель, соответствующий ставке r . 73,5%-отдать в кредит под безрисковую ставку 6 %.

2)

 

21,3% средств  инвестор должен вложить в  рискованные ценные бумаги на  формирование касательного портфеля  ; 78,7% средств инвестор должен вложить в рискованные ценные бумаги на формирование касательного портфеля .

3)

   

Инвестор  должен взять ссуду на 6,8% от имеющихся  средств  под безрисковую ставку 9% и общую сумму вложить в рискованные ценные бумаги на формирование касательного портфеля .