Задачи по "Математике"

Задание 1. Исследовать на сходимость числовой ряд.

№21 

Решение

1) Используем признак  Даламбера:

 

, поэтому ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.

№32 

Решение

1) Составим ряд из  модулей:

2) Сравним с рядом - гармонический ряд, , расходится.

(1)

     (2)

Из записей видно, что  справедливо следующее неравенство: . Поэтому из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1) – по признаку сравнения рядов.

Ответ: Ряд расходится.

 

Задание 2. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

№6 

Решение

1) Составим ряд из  модулей:

2) Используем признак  Даламбера:

 

 следовательно ; − интервал сходимости ряда.

3) Исследуем на сходимость  концы интервала:

Составим ряд из модулей:

Сравним с рядом  - гармонический ряд, , сходится:

, исходный ряд тоже сходится, принадлежит интервалу сходимости.

 - ряд сходится (см. выше), поэтому принадлежит интервалу сходимости.

Ответ: − интервал сходимости ряда.

 

Задание 3. Разложить в степенной ряд функцию и установить интервал сходимости полученного ряда (ряд Маклорена).

№21 

Решение

1) Воспользуемся разложением:

2) Найдем интервал сходимости полученного ряда.

Составим ряд из модулей:

По признаку Даламбера:

 

 ряд из модулей сходится  при всех действительных значениях  поэтому исходный ряд имеет абсолютную сходимость при .

Ответ: ; .

 

Задание 4.1. Приближенно с помощью ряда вычислить с точностью до 0,001.

№6 

Решение

Воспользуемся биноминальным  рядом:

  ; 

 

Оценим 3-й член:

Так как  (точность), то для вычисления значения выражения достаточно найти сумму первых двух членов ряда:

Ответ:

 

Задание 4.2. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

№47    .

 

Решение

1) Запишем общий вид  ряда Маклорена:

;

    

2) Подставим найденные  значения в формулу:

Ответ: