Ряды динамики

   з) логистический тренд и др. 

• аналитическое выравнивание динамического  ряда: основная тенденция развития рассчитывается как функция времени. В этом случае фактические (эмпирические) уровни заменяются  теоретическими, вычисленными по соответствующему аналитическому уравнению.

   При расчёте параметров трендовых моделей  способом наименьших квадратов строятся и решаются системы нормальных уравнений:

    для прямой линии                                              для параболы 2-го порядка 

                             

                                   

                                                                 .

Для упрощения  решения систем применяется способ отсчёта от условного начала, при котором сумма показателей времени равна нулю. 

   При чётном  числе  уровней динамического ряда «t» обозначают  следующим образом:

и т.д.

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

и т.д.

 

   При  нечётном  числе  уровней динамического ряда «t» обозначают  следующим образом:

и т.д.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

и т.д.

 

 В  этом случае система уравнений  упрощается и приобретает вид              для уравнения прямой линии:                                 для уравнения параболы:

åy = a₀n;                                                                                     

åyt  = a₁åt².

Пример  аналитического выравнивания по уравнению прямой линии

Таблица 10– Расчет данных для нахождения параметров уравнения прямой

Годы	Обозначение периода t	Фактическая сумма  налогов, млн. руб. у	t2	уt	Теоретическая (выровненная) сумма налогов
1999	-4	576	16	-2304	624,1	2313,6
2000	-3	641	9	-1923	634,0	49
2001	-2	679	4	-1358	643,9	1232
2002	-1	665	1	-665	653,8	125,4
2003	0	658	0	0	663,7	32,5
2004	+1	699	1	699	673,6	645,2
2005	+2	670	4	1340	683,5	182,2
2006	+3	733	9	2199	693,4	1568,2
2007	+4	652	16	2608	703,3	2631,7
Итого	0	5973	60	596	5973	8779,8

     Подставим полученные суммы в систему уравнений:

                                             

                                                           

       ;

                                                                                        

   Синтезированная модель тренда имеет вид:

      

   Положительное значение параметра  «а₁» указывает на тенденцию к росту суммы налогов, уплаченных в местный бюджет, в среднем ежегодно на 9,9 млн. рублей за период 1999-2007 годы.

   Подставляя  значение t в уравнение, рассчитаем теоретические уровни ряда:

      для 1999 г. млн. руб.

      для 2000 г. млн. руб.

      и т. д. 
 

      Пример аналитического выравнивания по параболе второго порядка

Таблица 11–Расчет данных для нахождения параметров  уравнения параболы второго порядка

Годы	Фактич. сумма на-логов, млн. руб. (y)	Обоз-начение периода (t)		y t	y		Теоретич. сумма налогов, млн. руб.
1999	576	-4	16	-2304	9216	256	592,5	272,25
2000	641	-3	9	-1923	5769	81	629,2	139,24
2001	679	-2	4	-1358	2716	16	653,1	670,81
2002	665	-1	1	-665	665	1	673,2	67,24
2003	658	0	0	0	0	0	686,5	812,25
2004	699	+1	1	699	699	1	693	36
2005	670	+2	4	1340	2680	16	692,7	515,29
2006	733	+3	9	2199	6597	81	685,6	2246,76
2007	652	+4	16	2608	10432	256	671,7	388,09
Итого	5973	0	60	596	38774	708	5973	5147,93

 

     Поставим  полученные суммы в систему уравнений:

      

      

      663,7= + 6,7

      646,2= +11,8

      17,5= -5,1

    = -3,4

   

    Таким образом, уравнение параболы второго  порядка характеризующее тенденцию  изменения налогов, уплаченных в  местный бюджет хозяйствующими субъектами, имеет вид:

       .

      При данных значения параметров ( ) основная тенденция характеризуется как замедленный рост.

      Параметр  « » характеризует средний ежегодный размер увеличения суммы налогов в анализируемый период – 9,9 млн. рублей; скорость замедление роста суммы налогов при нечетном числе уровней составляет 2 - 6,8 млн. рублей.

      Определим величину стандартной  и относительной  ошибки аппроксимации, используя данные последней графы таблиц 10 и 11:

       ; 
 

      для линейного тренда:

        млн. руб.;

       .

      для параболического  тренда:

        млн. руб.

        .

      Сравнив полученные значения  ошибок для  уравнений прямой и параболы второго  порядка, можно сделать вывод  о том, что парабола более точно  описывает основную тенденцию ряда динамики суммы налогов, уплачиваемых хозяйствующих субъектов в местный бюджет.

Показатели  для измерения  силы колебаний

• амплитуда отклонений или размах колебаний:

, где

      – максимальное положительное отклонение уровней от тренда;

      – максимальное отрицательное отклонение уровней от тренда.

• среднее абсолютное отклонение:

, где

– фактический уровень ряда динамики;

–теоретический уровень ряда динамики;

– число уровней;

– число параметров в модели тренда. 

• среднее квадратическое отклонение:

. 

• относительное линейное отклонение:

• коэффициент колеблемости:

.

 

• показатель устойчивости ( коэффициент алиенации):

.

    Экстраполяция

• по среднему абсолютному приросту:

    

, где

     – экстраполируемый уровень;

     – конечный уровень базисного ряда динамики;

     – средний абсолютный прирост;

     – срок прогноза (период упреждения).

    Использование среднего абсолютного прироста возможно лишь при условии:

    

,где

     ;

     ;

     –цепные абсолютные приросты;

     – выровненные по среднему абсолютному приросту уровни.

• по среднему коэффициенту роста:

.

• на основе аналитического выражения тренда: в адекватную трендовую модель подставляются значения в будущие годы.

      Например, для прогнозирования уровня суммы  уплаченных налогов хозяйствующими субъектами в местный бюджет на 2008 год используем уравнения тренда, полученные при выравнивании данного показателя по прямой линии и параболе второго порядка (табл.10,11):

       ;

     Поставив  соответствующее для 2008 года значение t =5 в уравнение прямой линии, получим прогнозные значения суммы уплачиваемых налогов на 2008 год: