Моделирование динамических биологических систем

Карта поведения представляет собой простую и наглядную форму визуального представления смены поведений. В частном случае элемента с чисто дискретным поведением (рисунок 11), его карта поведения, всем узлам которой приписаны пустые поведения, вырождается в обычную карту состояний с некоторыми упрощениями. Упрощения связаны с запретом перехода в локальную карту поведения . Это связано с трактовкой поведения как параметризованного класса, конкретный экземпляр которого создается при входе в узел карты поведения и уничтожается при выходе. Элемент с чисто непрерывным поведением трактуется как гибридный с картой поведения, состоящей из единственного узла, которому приписано непрерывное поведение.[6.1]

С картой поведения связан гибридный интерпретатор поведений, объединяющий интерпретатор карт состояний, интерпретатор интерактивных воздействий и менеджер численных методов. В MVSTUDIUM имеется достаточно богатый набор численных методов предназначенных для воспроизведения поведения гибридных систем. Это программные реализации методов решения нелинейных алгебраических уравнений, систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем алгебро-дифференциальных уравнений. Для каждой группы задач имеется свой автоматический решатель, цель которого обеспечивать получение решения на заданном временном участке, любыми доступными, из числа имеющихся в пакете, методами. Любой автоматический решать начинает решать каждую новую задачу наименее трудоемких методом, а если при этом возникают какие-либо сложности, пытается подобрать метод, способный их преодолеть. Каждая смена поведения рассматривается как новая численная задача. Автоматический решатель может не справится с поставленной задачей, и тогда пользователь может попытаться управлять выбором метода самостоятельно. Пользователю доступны те же программные реализации численных методов, что и автоматическому решателю. Для отладки или первоначального решения задач в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, когда у пользователя нет отчетливого представления о свойствах решаемой задачи или в описании поведения допущена ошибка, которую и надо найти, предусмотрена группа отладочных численных методов.[2]

Для описания модели разработан специальный язык - Model Vision Language (MVL). Он имеет как графическую, так и текстовую формы. Все переменные это языка должны быть явно описаны. В MVL существуют следующие типы данных: скалярные, регулярные и комбинированные типы, а также типы, определяемые пользователем. Скалярные типы это - вещественные, целые, булевский, перечислимые, символьный и строковый типы. Регулярные типы представлены одномерными и двумерными массивами с произвольными элементами, матрицами и векторами с вещественными элементами, а также списками. К комбинированным типам относятся записи с полями различных типов.

Пакет MVSTUDIUM относится к компилирующим средам моделирования, т.е. выполняемая модель создается как некоторый исполняемый модуль операционной среды, который может запускаться и без интегрированной оболочки пакета. Возможны два вида выполняемой модели:

1) визуальная интерактивная  модель с отладочными возможностями;

2) "скрытая" модель  с максимальным быстродействием.[1]

Визуальная модель является имитацией некоторого виртуального испытательного стенда, где все можно  посмотреть и все изменить. Пользователь может наблюдать динамику процессов на временных и фазовых диаграммах в ходе моделирования, в окнах карт поведения, где отображаются текущий узел и срабатывающие переходы, в окнах структурных схем, где отображается прохождение сигналов по связям, в окнах фазового вектора, где динамически выводятся текущие значения переменных, а также  с помощью типовых 2D и 3D-анимационных элементов и анимационных окон, которые он сам может создать. Пользователь может в любой момент изменить значение любой переменной модели. а также менять значение непрерывно с помощью интерактивных анимационных элементов. Можно задать план прогона модели, в котором указывается последовательность изменений значений переменных и подач сигналов во времени. Можно задать останов по времени, по истинности логического условия, по срабатыванию перехода, по входу в указанный узел. При появлении ошибки в ходе вычислений диагностируется блок и поведение, где произошла ошибка, а в случае, если при создании выполняемой модели были установлены отладочные опции, то и выводится текст соответствующего уравнения или оператора. Имеется встроенный калькулятор, в котором можно задавать любые выражения с именами переменных модели.[8]

Таким образом, дискретные аспекты поведения отражаются с  помощью хорошо знакомого языка карт состояния, а непрерывные аспекты - с помощью привычного языка систем уравнений и формул.

Наиболее конструктивным средством решения инженерных задач  на базе моделирования в настоящее  время стали ЭВМ. Компьютерное моделирование  используют для реализации различных имитационных моделей. При использовании компьютерного моделирования разрабатывается алгоритм расчета характеристик, в соответствии с которыми составляются программы, дающие возможность осуществлять расчеты по требуемым аналитическим соотношениям. Основная задача исследователя заключается в том, чтобы попытаться описать поведение реального объекта одной из известных математических моделей.[7]

Объектно-ориентированный  подход к моделированию сложных  динамических систем был предложен авторами языка SIMULA-67.  Именно они стали использовать специальные модели – классы, описывающие сразу все множество близких по своим свойствам объектов, обладающих внутренней структурой и поведением.  Разрабатываемая программная система сначала моделируется с помощью специального объектно-ориентированного языка моделирования, а только затем превращается в реальный программный комплекс. Наиболее известным является унифицированный язык моделирования (UML). Модификации объектно-ориентированной технологии применительно к моделированию сложных динамических систем возникли сравнительно недавно и называются объектно-ориентированным моделированием. Они представлены языком моделирования Modelica, реализованы в явном виде в пакетах AnyLogic, MvStudium, Ptolemy II, неявно – в Simulink, Stateflow и других компонентах пакета Mathlab.[8]

Динамическая система - системы, под действием внешних и внутренних сил изменяющие во времени свои состояния. Представления о динамических системах возникли как обобщение понятия механической системы, поведение которой описывается законами динамики Ньютона. В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы—физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией—жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся.[4]

Важнейшим свойством  динамических систем является их устойчивость, т. е. сохранение системой своей базовой структуры и основных выполняемых функций в течение определенного времени и при относительно небольших и разнообразных внешних воздействях и внутренних возмущениях. Устойчивость есть внутреннее свойство систем, а не результат внешнего воздействия. Представления же о развитии этих систем отражают такие изменения их структурной организации, которые ведут к более эффективному выполнению системой своих основных функций. Качественные перестройки систем анализируются в теории катастроф, которая рассматривается как ветвь общей теории динамических систем.

Развитие представлений  о динамических системах связано  с переходом к познанию все  более сложных систем. При этом особую роль приобретает изучение динамики внутренних свойств систем. В случае механических систем действие внутренних факторов сводилось к силам инерции. По мере усложнения систем возрастает значение внутренних факторов. На первый план выходят проблемы изучения источников внутренней активности систем и природы их целенаправленного функционирования и поведения.[4.1] 

Среди всех динамических систем, прежде всего, можно выделить такие, которые в процессе своего движения не изменяют свою динамическую симметрию. Это консервативные системы  не способные к развитию. Отличительной  чертой таких систем является их замкнутость и изолированность.

 

 

 

Создадим в пакете MVS модель следующей системы:

 

Дана система из двух тел с массами m₁ и m₂, соединенных двумя пружинами, жёсткости которых равны c₁ и с₂ (Рисунок 9):

 

 

Рисунок 9 – Колебания грузов

 

Пусть m₁ = 1кг, m₂ = 1кг, c₁ = 1кг/с², с₂ = 1кг/с².

 

На левый груз системы  действует гармоническая возмущающая  сила Q, задаваемая с интервалом в 10 секунд то законом (1), то законом (2):

 

Q = H₁×Sin(w×t)                                                   (4)

   Q = H₂×Cos(w×t)                                                 (5)

 

 

где H₁ и H₂ - амплитуды колебаний, w - частота колебаний.

 Пусть H₁ = 1м, H₂ = 1,5м, w = 2с^-1.  Частота колебаний вне зависимости от закона колебаний каждые 15 секунд то уменьшается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Пусть x₁ и x₂ - горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия (в начальный момент времени отсутствующее). Тогда уравнениями движения будут:

 

                                         (6)

                                                  (7)

 

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем типа "два  груза", несвязанных друг с другом. Вторая система "два груза" идентична первой, за исключением того, что в ней левый груз имеет другую массу (между m₂  и m₁), а правая пружина имеет другую жёсткость (выше с₂).

 

2.2  Результаты  выполнения

 

Для решения задачи №2 в MVS был создан один класс Class_1 (рисунок 10).

 

Рисунок 10 – Класс Class_1

 

Начальные значения объявим  в разделе Параметры. Все переменные, которые используются в процессе вычислений, описаны в разделе Внутренние переменные. Также были созданы локальная карта поведения Карта_поведения_1 и 2 системы уравнений.

После описания всех переменных и констант проект kursovik выглядит следующим образом (рисунок 11):

 

       Рисунок 11 – Проект kursovik

 

Алгоритм поведения системы я отобразил на Карте поведения (Рисунок 11). Система имеет 11 состояний:

Состояние, в котором вычисляется горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия, при действии на левый груз системы гармонической возмущающей силы Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом   Q = H₁×Sin(w×t) (Node_1)

Состояние, в котором вычисляется горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия, при действии на левый груз системы гармонической возмущающей силы Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом Q = H₂×Cos(w×t) (Node_3)

Состояние, в котором  происходит уменьшение частоты колебаний на 50% (Node_4)

Состояние, в котором вычисляется горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия, при действии на левый груз системы гармонической возмущающей силы Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом   Q = H₁×Sin(w×t) (Node_5)

Состояние, в котором  происходит увеличение частоты колебаний на 50%. А также вычисляется горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия, при действии на левый груз системы гармонической возмущающей силы Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом Q = H₂×Cos(w×t) (Node_7)

Состояние, в котором вычисляется горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия, при действии на левый груз системы гармонической возмущающей силы Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом   Q = H₁×Sin(w×t) (Node_8).

Состояние, в котором  происходит уменьшение частоты колебаний на 50% (Node_9)

Состояние, в котором  вычисляется горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия, при действии на левый груз системы гармонической возмущающей силы Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом Q = H₂×Cos(w×t) (Node_10)

Состояние, в котором  происходит увеличение частоты колебаний на 50%. А также вычисляется горизонтальное отклонение грузов от положения равновесия, при действии на левый груз системы гармонической возмущающей силы Q, задаваемая с интервалом в 20 секунд то законом Q = H₁×Sin(w×t) (Node_11)

 

 

Рисунок 12 – Карта поведения системы

 

 

Переход в каждое из состояний происходит через каждые 5 секунд. При этом по условию задачи каждые 10 секунд на левый груз системы действует гармоническая возмущающая сила Q, задаваемая то законом (1), то законом (2):

 

Q = H₁×Sin(w×t)                                                   (8)

   Q = H₂×Cos(w×t)                                                  (9)

 

Частота колебаний вне  зависимости от закона колебаний  каждые 15 секунд то уменьшается на 50%, то возвращается к прежнему значению.

Для каждого состояния  описана своя система уравнений, по которым происходит изменение переменных системы (рисунок 13).

 

Рисунок 13 – Системы уравнений состояний класса Class_1

 

 

Графически эту модель можно представить в виде 3D-анимации (рисунок 14), которая будет включать в себя 4 бруска, прикрепленных к пружинам.

 

            Рисунок 14 – 3D-анимация системы kursovik

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Процесс проектирования информационных систем, реализующих  новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем. Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем. Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ЭВМ.

Современные вычислительные средства позволили существенно увеличить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась возможность построения комбинированных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных системах.