Моделирование динамических биологических систем

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО  «КубГУ»)

Физико-технический  факультет

 

Кафедра физики и информационных систем

 

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

 

 

 

Работу выполнил _____________________Литвинов Николай Александрович

Курс 4

Специальность 200402 – Инженерное дело в медико-биологической практике

Научный руководитель

канд. физ.-мат. наук, доцент _____________________________В. В. Супрунов

 

Нормоконтролер      

канд. физ.-мат. наук, доцент_____________________________ В. Ф. Савченко

 

 

 

 

                                                   Краснодар 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………..……………………………….5

1 Исследование устойчивости бистабильных систем……………..……………6

1.1 Условие устойчивости бистабильной системы……………………….....6

1.2 Результаты выполнения……………………...…………………………..11

2 Моделирование системы в пакете Model Vision Studium……….…………..13

2.1 Условие устойчивости динамической системы………………………..13

2.2 Результаты выполнения………………………………………………….19

Заключение……………………………………...……………………………….24

Список используемых источников…………………………………… ……….25

 

РЕФЕРАТ

 

Литвинов Н.А. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Курсовая работа: 25 страниц, 14 рисунков, 0 таблиц, 8 источников

 БИСТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ, ДОМЕН, MVS, КАРТА ПОВЕДЕНИЯ, ЭКЗЕМПЛЯР КЛАССА, ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ.

Целью курсовой работы является более подробное, углубленное и в, некоторой степени исследовательское изучение наиболее важных разделов курса с помощью программного обеспечения персональных ЭВМ (математические инструментальные среды MathCAD, пакет моделирования систем Model Vision Studium).

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В настоящее время  нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той  или иной степени не использовались бы методы моделирования.

Компьютерное моделирование используют для исследования системы до того, как она спроектирована, с целью определения чувствительности ее характеристик к изменениям структуры и параметров объекта моделирования и внешней среды. На этом этапе проектирования системы компьютерное моделирование используют для анализа и синтеза различных вариантов и выбора максимально эффективного при принятых ограничениях.

         Программный комплекс Model Vision Studium (MVS)  предназначен для моделирования сложных динамических систем. MVS является представителем подхода к решению проблемы моделирования сложных динамических систем, основанного на использовании схемы гибридного автомата.  
Использование карты поведения при описании переключений состояний, а также непосредственное описание непрерывных поведений системы системами алгебро-дифференциальных уравнений предоставляет большие возможности в описании гибридного поведения со сложной логикой переключений.

Сложные по внутренним связям и большие по количеству элементов  системы экономически трудно поддаются  прямым способам моделирования и  зачастую для построения и изучения переходят к имитационным методам. Появление новейших информационных технологий увеличивает не только возможности моделирующих систем, но и позволяет применять большее многообразие моделей и способов его реализации. Совершенствование вычислительной и телекоммуникационной техники привело к дальнейшему развитию методов машинного моделирования, без которых невозможно  изучение процессов и явлений, а также построение больших и сложных систем.

Вычислительная техника  облегчает задачи исследователей, связанных с математическими расчетами. Построение математической и компьютерной моделей системы, работать в этой области стало проще, поскольку математические расчеты и выкладки без применения ЭВМ занимают много времени.

 Передо мной была поставлена задача: исследовать модели устойчивости бистабильной и динамической систем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ИССЛЕДОВАНИЕ  УСТОЙЧИВОСТИ БИСТАБИЛЬНЫХ СИСТЕМ

1.1  Условие  устойчивости бистабильной системы

Бистабильная система – это система с двумя положениями устойчивого равновесия. Бистабильный элемент обладает двумя стационарными состояниями (1 и 2), в каждом из которых он может находиться неограниченно долго ( Рисунок 1). Внешние воздействия могут приводить к переходам из одного состояния в другое. Чтобы вызвать переход, интенсивность воздействия должна превысить некоторый пороговый уровень.

                                        Рисунок 1  - Стационарные состояния

Простейший бистабильный элемент описывается дифферинциальным уравнением:          

в котором нелинейная функция f(u) имеет характерный вид, изображенный на рисунке . Поведение малых отклонений подчиняется линеаризованному уравнению:       

Следовательно, значение  u = u`  отвечает устойчивому стационарному состоянию элемента, лишь если производная f`(u) в этой точке отрицательна. Поэтому для функции f(u), изображенной на рисунке, значения u=u1, u=u3 соответствуют устойчивым состояниям, тогда как стационарное состояние со значение u=u2 абсолютно не устойчиво. [2]

Приведем несколько  примеров различных систем, поведение которых действительно характеризуется уравнением вида (1) с двумя устойчивыми состояниями.

Пусть элемент  представляет собой ячейку, внутри которой может протекать процесс  горения. При этом будем считать, что имеющийся запас горючей смеси в этой ячейке поддерживается постоянным за счет непрерывного притока от внешнего источника либо он настолько велик, что его расходом в ходе реакции можно пренебречь.

   Рисунок 2 – Типичный вид функции f(u)

Рисунок 3 – Зависимость количества теплоты от температуры

Предположим, что  при горении в единицу времени  выделяется количество теплоты q(Q), которое зависит от температуры Q, при которой происходит горение. Ясно, что зависимость имеет ступенчатый характер.

Если элемент  изолирован от внешней среды, то вся выделяющаяся при горении теплота расходуется на его нагрев, т.е.

где   - приращение температуры за время а С – теплоемкость элемента. Поэтому изменение температуры со временем подчиняется уравнению

          

Поскольку функция  неотрицательна, то температура элемента неограниченно возрастает с течением времени.

В данном случае устойчивые по отношению к малым  возмещениям стационарные состояния  имеют особенно простую интерпретацию (Рисунок 4): состояние Q=Q1 отвечает отсутствию горения, так что температура элемента совпадает с температурой окружающей среды, а состояние Q=Q3 соответствует установившемуся стационарному режиму, когда выделяющаяся при горении теплота полностью отводится в окружающую среду.

Рисунок 4 – Бистабильный режим

Оба состояния  устойчивы по отношению к малым  возмещениям, однако воздействия достаточно большой интенсивности могут  приводить к переходам между  двумя состояниями – элемент  можно «зажечь» или «погасить».

До этого шла  речь только о бистабильных системах. Однако недавно было осознанно,что это явление совершенно общего плана,и оно может возникать и в системах, отличных от бистабильных. Главное требование – это наличие какого-либо порога. Примеров такой системы может служить потенциал, изображенный на(рисунок 5). В этом случае перескоки происходят не между двумя устойчивыми положениями равновесия,а между «основным» и «возбужденным» состояниями системы [4]

 

  

                                Рисунок 5  - Потенциал бистабильной системы

Еще одним механическим  примером бистабильной системы может являться движение материальной точки в потенциале с двумя минимумами. Если на частицу действует еще и сила трения, то какие бы мы не выбрали начальные условия, колебания затухнут, частица упадет в одну и потенциальных ям и будет находится там неограниченно долго.

 

 

 

 

б)

 

 Рисунок 6 – Бистабильная система и перескок  под действием внешней силы

 

Для того, чтобы частица  все-таки попала в другую потенциальную  яму, надо приложить внешнюю силу. Если эта сила достаточно велика, то она "вытащит" частицу из первой ямы и перекинет ее во вторую.

Если V(x) - бистабильный потенциал, то внешняя сила должна превосходить величину F₀ = |V'(x)|, взятой в точке перегиба, т.е. там, где возвращающая сила, создаваемая потенциалом, самая большая. Тогда суммарный потенциал модифицируется так, как показано на рисунке, и частица скатится во вторую яму.

Если теперь внешняя сила будет  периодична по времени, то в результате наша частица будет "скакать" из одной ямы в другую и обратно. Итак, наша бистабильная система откликается на сильное внешнее воздействие. При этом частота, с которой система перескакивает из одного устойчивого состояния в другое, совпадает с частотой внешнего воздействия. У бистабильной системы существует некий порог чувствительности к внешним воздействиям. Слишком слабые воздействия остаются для системы незамеченными.

 

 

 

Имеется система «нагреватель – охлаждающая жидкость». Дано дифференциальное уравнение температурного поля этой системы:

,                                                                   (1)

где W – тепловая нагрузка;

u, s – периметр и  площадь сечения нагревателя;

c, r, l – теплоемкость, плотность, теплопроводность нагревателя;

Q(T) – плотность теплового  потока в охладитель;

а).Найти соответствующие  температуру и размер домена: Tmax, ∆L и построить профиль «горячего» домена.

б).Построить фазовый  портрет стационарных решений уравнения.

в).Для  случая     W не const, а прямой, имеющей  уравнение  W=a×(T-T₀),  (система «сверхпроводник- жидкий  гелий»)  найти   значение коэффициента  теплоотдачи  a.

Данные по варианту: a = 1,  λ = 1, c = 1, ρ = 1.

Номер моего варианта – 5, следовательно:

T1 =5, T2=9, Т3 =21

 

 

 

 

         1.2  Результаты выполнения

 

Для того, чтобы выполнить  эту задачу, во-первых, нужно решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка:

                                                                                     (2)

Во-вторых, изменяя начальные  условия необходимо  наблюдать  за  графиком   решения,  отслеживая   качественное  изменение   его  фазового  портрета.

                                                (3)

Окончательный результат выглядит следующим образом (Рисунок 7):

                                          Рисунок 7 – фазовый портрет

Температура в центре домена: Т0 := 10.9

Тепловой поток в  центре домена нулевой: Т(0)=0

В результате получим  следующий график (Рисунок 8 )

 

                                                Рисунок 8 - График функции

 

Анализируя полученный фазовый портрет стационарных состояний нагревателя и график, получим следующее:

температура домена T_max  = 10.9;

размер домена ∆L  = 0.5 

2. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ В ПАКЕТЕ MODEL VISION STUDIUM

 

1. Условие устойчивости динамической системы

 

Model Vision Studium - это интегрированная графическая оболочка для быстрого создания интерактивных визуальных моделей сложных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов с ними.[2]

Пакет предназначен для численного моделирования гибридных систем. Гибридная система - это специальная математическая модель реальных объектов, обладающих одновременно "непрерывными" и "дискретными" свойствами. Такие системы достаточно трудно формализовать, так как необходим единый язык для описания как непрерывных и так и дискретных аспектов поведения, но еще труднее  корректно численно решить возникающую при этом математическую задачу.[2.1]

Моделирование является основным методом исследований во всех областях знаний и научно обоснованным методом оценок характеристик сложных  систем, используемым для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. [1]

Карта поведения - это ориентированный граф, в котором узлам приписываются некоторые локальные поведения, а дуги интерпретируются как переходы от одного поведения к другому. В каждый момент времени один из узлов является текущим. Один из узлов должен быть помечен как начальный, он становится текущим при создании карты состояний. Смена текущего узла происходит в результате срабатывания переходов. Локальные поведения являются экземплярами соответствующих классов. Когда узел становится текущим, создается экземпляр приписанного ему локального поведения, который уничтожается, когда узел перестает быть текущим. Начальное поведение проявляется при создании экземпляра блока.[6]