Шпаргалки по "Математике"

17. 1)1 банка-3л 9л=3б 12л=4б 15л=5б

             3*3    3*4     3*5

2)24 кг помидоров  

1*24-24 пакета

3*8-8пакетов

4*6-6пакетов

883-3пакета

24:в-кол-во пакетов

Числовой функцией называется соответствие между элементами множества  Х и множества R действительных чисел, при котором каждому элементу из множества Х ставится в соответствии только одно действит.число У.при этом Х-обл.опр

числовая функция —  это функция, области определения  и значений которой являются подмножествами числовых множеств.

линейная функция-ф-ия которую можно задать при помощи формулы вида y=kx+b, где x-независимая переменная,а k и b-заданные действительные числа.

Прямой пропорциональностью  назыв ф-ия,которая может быть задана при помощи формулы вида y=kx,где х-независимая переменная,а k-не равное нулю действительное число.

1)график прямая,проходит ч\з начало коорд 2)при k>0 ф-ия y=kx возрастает на всей обл определения, а при k<0 убывает.

С увеличением(уменьш)знач переменной х в несколько раз соответствующее знач переменной у увел(уменьш)во столько же раз.

При k>0(возр) ветви в 1 и 3 четв, при k<0 ф-ия убыв ветви 2 и 4 четв

Обратная пропорциональность-ф-ия,котор можно задать при помощи форм вида y=k\x, где х-независимая переменная,а к-не равное нулю число.График-гипербола.При k>0 ветви нах-ся в 1 и 3 четв, при k<0 во 2 и 4.С увеличением(уменьш)знач переменной х в несколько раз соответств знач переменной у уменьш(увел)во столько же раз

 

 

18. 3(x-2)-4(x+1)<2(x-3)-2

по распред закону

3x-6-4x-4<2x-6-2 приводим подобные

-x-2x<-8+10

-3x<2

x>-2\3   (-2\3;бесконечность)

Пусть f(x) и g(x) - два выраж с переменной х и областью определения Х.Тогда нер-во вида f(x)>g(x) или f(x)<g(x)наз-ся нер-вом с одной переменной.

Теоремы о равносильности ур

Теорема 3.

Пусть нер-во f(x)>g(x) задано на мн-ве X и h(x)-выражение,определенное на том же мн-ве.Тогда нер-ва f(x)>g(x) и f(x)+h(x)>f(x)+h(x) равносильны на мне-ве Х.

Следствия:1)Если к обеим  частям нер-ва f(x)>g(x) прибавить одно и то же действительное число а, то получим нер-во f(x)+a>g(x)+a, равносильное исходному.

2)Если какое либо слагаемое  (числовое выраж или выраж с переменной)перенести из одной части нер-ва в др,поменяв знак слагаемого на противоположный,то получим нер-во равносильное данному.

 

Теорема 4

Пусть нер-во f(x)>g(x) задано на мн-ве х и h(x) выраж.,определенное на том же мн-ве и для всех х из мн-ва х h(x)>0. Тогда нер-ва f(x)>g(x) и f(x)*h(x)>g(x)*h(x) равносильны на мн-ве х.

Следствие:Если обе части нер-ва f(x)>g(x) умнож на одно и то же положит действительное число а,то получим нер-во f(x)*d>g(x)*d,равносильное исходному.

 

Теорема 5

Пусть нер-во f(x)>g(x) задано на мн-ве X и h(x)-вырадение,определенное на том же мн-ве и для всех х из мн-ва х h(x)<0. Тогда нер-ва f(x)>g(x) и f(x)*h(x)<g(x)*h(x) равносильны на мн-ве х.

Следствие:Если обе части нер-ва f(x)>g(x) умнож на одно и тоже отриц действит число а и знакнер-ва поменять на противоположный,то получим нер-ва f(x)*d<g(x)*d,равносильное данному.

 

19. 1)дробь 3\8 явл записью некоторого рац числа-верно,т.к. 3 и 8 целые чила 8 не равно 0

2)17\5-дробь -верно это неправильная дробь 17>5

3)17\5-положит рац числ -верно.Во множ-ве рац чисел деление вегда возможно кроме деления на 0.Положительное рац число-это мн-во равных дробей,а каждая дробь,принадлежащая этому мн-ву,есть запись этого числа.Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е1,причем отрезок е явл суммой n отрезков,равных е1.Если отрезок а состоит из m отрезков,равных е1,то его длина млжет быть представл в виде m\n*e. Символ m\n назыв дробью,в нем m,n натур числа.УпорядоченностьПусть а и в-полож рац числа.Тогда a<b,если существует такое полож рац число с,что а+с=в. Для того чтобы разность положит рац чисел а и в существовала,необх и достат чтобы b<a.

1.Если а=m\n, b=p\n,то а<b тогда и только тогда,когда m<p

2.Если а=m\n, b=p\q, то а<в  тогда и только тогда,когда mq<np

m\n=mq\nq,   p\q=pn\qn (привели к общ знамен)

если mq>pn, то a>b; если mq<pn, то a<b.Отношение "меньше"транзитивно и антисимметрично,т.е.явл отн-ем порядка на мн-ве полож рац чисел,а само это мн-во явл упорядоченным мн-вом.В мн-ве полож рац чисел:1)нет наименьшего числа 2)м\у любыми 2-мя различн положит рац числ бесконечно много чисел мн-ва Q+.

 

20. 1)12375 кратно 5 и 9  2)41 кратно 3   3)4522 кратно 2 и не кратно 4.Признак делимости на 2.Для того чтобы число х делилось на 2,необходимо и достаточно,чтобы его дес запись оканчивалась одной из цифр 0,2,4,6,8.Признак делимости на 5.Для того чтобы число х делилось на 5,необходимо и достаточно,чтобы его дес запись оканчивалась цифрой 0 или 5.Признак делимости на 9.Для того чтобы число х делилось на 9,необходимо и достаточно,чтобы сумма цифр его дес записи делилась на 9.Признак делимости на 3.дЛя того чтобы число х делилось на 3,необходимо и достаточно,чтобы сумма цифр его дес записи делилась на 3.Признак делимости на 12.Для того чтобы число х делилось на 12, необходимо и достаточно,чтобы оно делилось на 2 и на 4.Признак делимости на 15.Для того чтобы число х делилось на 15 необходимо и достаточно,чтобы оно делилось на 3 и на 5.Признак делимости на 6.Для того чтобы число х делилось на 6,необходимо и достаточно,чтобы оно делилось на 2 и на 3.Док-во.Пусть число х делится на 6.Тогда из того,что х кратно 6 и 6 кратно2,следует,что х кратно 2,а из того,что х кратно 6 и 6 кратно 3,следует,что х кратно 3.Мы показали,что,для того чтобы число делилось на 6,необходимо,чтобы оно делилось на 2 и на 3.

21. 7-5=2 7=n(A)  5=n(B)  A={x,y,z,p,r,s}  B={x.y,z,t,p}  A\B={r,s}  n(A\B)=2=>7-5=2

Разностью двух целых неотрицательных  чисел а и в называется целое  неотрицательное число с, которое  является численностью дополнения к  множеству В до множества А, если число элементов множества А = а, число элементов множества В = в и множество В принадлежит множеству А. а - в = с Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое в сумме с в = а. а - в = с, если с + в = а(разностьчерез сумму)Условие существов раз на мн-ве целых неотриц чисел.Разность целых неотрицательных чисел а и в существует тогда и только тогда, когда b<=a. Док-во:Если а=в,то а-в=0,и,следов,разность а-в существует.Если в меньше а,то по опрелел отношения меньше существует такое натур число с,что а=в+с.Тогда по определ разности с=а-в,т.е.разность а-в существует.Если разность а-в существует,то по опред разности найдется такое целое неотриц число с,что а=в+с.Если с=0,то а=в; если с меньше 0,то в меньше а по определ меньше.Итак, в меньше или равно а.Правило вычитания числа из суммы.Чтобы вычесть число из суммы,достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному рез-ту прибавить другое слагаемое. Если а,в,с-целые неотриц числа то:1)при а>=с имеем,что (а+в)-с=(а-с)+в 2)при в больше или равно с имеем что (а+в)-с=а+(в-с)   3)при а>=c и в>=с можно использовать любую из данных формул.Правило вычитания из числа суммы.Чтобы вычесть из числа сумму чисел,достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим,т.е.если а,в,с-целые неотриц числа,то при а>=в+с имеем а-(в+с)=(а-в)-с

 

 

22. Дадим теоретико-множественное обоснование равенству     6 : 3 = 2.Решение. Возьмем множество А, в котором 6 элементов, например  А = {a, b, c, d, e, f}. Разобьем множество А на 3 попарно непересекающихся равномощных множества, например А1={a, b}, А2= {c, d},  А3= {e, f}.  В каждом  подмножестве  по 2 элемента: n(А1) = n(А2) = n(А3) = 2.Следовательно, 6 : 3 = 2.Справедливость данного равенства можно объяснить и так. Возьмем данное нам множество А и разобьем его на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента, например: А1= {a, b, с}, А2= {d, e, f}. Таких подмножеств в разбиении будет два. Следовательно, 6 : 3 = 2.

 

23.

 

24. 1)2\15+1,5\13+3,1\5+4,3\26=(2\15+3,1\5)+(1,5\13+4,3/26)=0,76+0,29=1,05

2)10,59\63-8,37\45=0,168-0,186=-0,018

3)3\5-3,1\2*5\3=0,6-2,6=-2Сокращение дробей-замена данной дроби другой,равной данной,но с меньшим числ и знамен.Привидение дробей к общему знаменателю-это замена дробей равными им дробями,имеющими одинак знам-ли.Если положит рац числа а и в представлены дробями m\n и p\n, то суммой чисел а и в наз-ся число,представляемое дробью (m+p)\n.Разностью положит рац чисел а и в наз-ся такое полож рац число с,что а=в+с.Если положит рац числа представл дробями m\n и p\q, то их произв есть число,представляемое дробью (mp)\(n\q):   m\n* p\q=mp\nq

Частным 2х положит рац чисел а и в наз-ся такое число с, что а=всПереместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и в выполняется рав-во а+в=в+аПусть а-число элементов в мн-ве А, в-число элементов в мн-ве А и А/\В=0 зачеркн. Тогда по определен суммы целых неотриц чисел а+в есть число элементов объединения мн-в А и В: а+в=n(AUB). Но мн-во АUВ равно мн-ву ВUА согл-но переместит св-ву объединения мн-в,и,значит n(AUB)=n(BUA). По определ суммы n(BUA)=b+a, поэтому а+в=в+а для любых целых неотриц чисел а и в.Переместительный закон:для любых целых неотриц чисел а и в справедливо рав-во а*в=в*а. Пусть a=n(A), b=n(B).Тогда по определ произв a*b=n(AxB).Но мн-ва АхВ и ВхА равномощны:каждой паре(а,в)из мн-ва АхВ можно поставить в соответствие единственную пару (b,a) из мн-ва BxA,и наоборот. Значит, n(AxB)=n(BxA), и поэтому a*b=n(AxB)=n(BxA)=a*bраспред зак отн-но сложения:для любых целых неотриц чисел а,в,с справедливо равенство (a+b)*c=ac+bcЭтот закон выводится из рав-ва   (AUB)xC=(AxC)U(BxC)(*) Пусть a=n(A), b=n(B), с=n(C) и A/\В= 0 зачеркн. Тогда по определ произв имеем (а+в)*с=n((AUB)xC). Откуда на основании равенства(*) получаем n((AUB)xC)=n((AxC)U(BxC)=n(AxC)+n(BxC)=ac+bc.Распр зак отн-но вычит:для любых целых неотр чисел а,в и с и а>=в справедливо рав-во (а-в)с=ас-вс.

 

25. "Пять"

А-мн-во вершин в пятиугольнике

A1~A, A2~A, A3~A, A4~A, A5~A

А1-мн-во углов в 5-ке

А2-мн-во сторон

А3-мн-во будней

А4-мн-во пальцев на одной  руке

А5-мн-во лучей у звезды

1)3<6

Iсп

A:000

  |||

B:000000

  ---

   B1

IIсп

a+c=b  3+c=b  c=3  ч\з натур ряд N{1,2,3}  N{1,2,3,4,5,6}

 

2)0<5

Iсп А:

    В:00000

IIсп(ч\з определение меньше)

а+с=в

о+с=5

с=5

IIIсп(ч\з натур ряд)

N   N{1,2,3,4,5}