Шпаргалка по "Математике"

№11 Теорема  и формулы Крамера решения  системы n линейных уравнений с n переменными (без вывода).

Теорема: Пусть ∆-определитель матрицы системы А, ∆_j-определитель матрицы полученный из матрицы А заменой j-столбца столбцом свободных членов, если определитель матрицы А не =0, то система имеет ед. решение, найденное по формуле x_j=∆j/∆. Формулы x_j=∆j/∆(j=1,2,…,n) получили название формул Крамера.

 

№12 Теорема  Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместных систем линейных уравнений.

Теорема: Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Если ранг системы равен числу  неизвестных r=n, то система имеет ед. решение и явл. определенной. Если ранг системы меньше числа неизвестных r<n, то система явл. неопределенной и имеет бесконечное множество рашений.

 

№13 Понятие  функции, способы задания ф-ций. Область  определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

Если каждому элементу х множества  Х соответствует вполне определенный элемент у из множества У, то говорят, что на множестве Х задана ф-ция у=f(x), при этом х- независимый аргумент, у- зависимая переменная. F означает, что над переменной х необходимо провести какие-то операции, чтобы получить значение у. Множество Х- область опред. или область существования ф-ции D(f), D(y), множество У –значения ф-ции E(f),E(y).

Способы задания ф-ций: 1. Аналитический, т е ф задается в виде у=f(х).2. Табличный, задается таблица содержащая значения аргумента х и соответствующие значения ф-ции у(х). 3.  Графический, состоит в том, что изображается график ф-ции, на числовой плоскости отмечаются точки, первая координата соответствует аргументу х, а вторая значения ф-ции у(х). Область определения может представлять собой: 1. интервал D(f)=(a;b); a<x<b.2.Отрезок D(f)=[a;b]; a<=x<=b. 3.полуинтервал D(f)=(a;b]; a<x<=b. D(f)=[a;b); a<=x<b.4.бесконечный интервал D(f)=(-∞;+∞);-∞<x<+∞. D(f)=(-∞;a];-∞<x<=a. D(f)=(b;+∞);b<x<+∞. 5.совокупность нескольких интервалов, полуинтервалов и отрезков.

Ф-ция у=f(x) наз четной, если для любого х из области определения выполняется у(-х)=у(х) и нечетной, если у(-х)=-у(х). Ф-ция  у=f(x) наз ограниченной(sinx,cosx) на промежутке х, если сущ. такое положительное число М, что для всех х из этого промежутка (х€Х). f(x) по модулю не превосходит М(|f (х)|<=М), в противном случае ф-ция называется неограниченной.

Ф-ция у=f(x) наз. возрастающей(убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее(меньшее) значение ф-ции. Возрастающие (убывающие) ф-ции называются монотонными. у=е^х, у=log_1/3х.

 

№1. а)Понятие матрицы. б)Виды матрицы. в)Транспонирование матрицы. г)Равенство матриц. д)Алгебраические операции над матрицами: умножение  на число, сложение, умножение матриц.

а)Матрицей размера m×n наз прямоугольная таблица сост из m-строк и n-столбцов.

        ⌠а₁₁а₁₂а_13……а_1n ⌠                           

  А=  |a₂₁a₂₂a_33……a_2n   |=(a_ij)_m×n=[a_ij]_m×n.  

         |……………… |                             

        ⌡a_m1a_m2a_m3…a_mn⌡

a_ij-элементы матрицы. i-номер строки j-номер столбца

б)Матрица сост из одной строки наз матрицей строкой(вектором строкой):В=(b₁₁b_12…b_1n).

Матрица сост из одного столбца наз матрицей-столбцом(вектором-столбцом).

     [c₁₁] 

C=| c₂₁ |

     | … |

     [c_m1]

Если кол-во строк = кол-ву столбцов, то матрица наз квадратной размера m×n (матрица порядка m). Диагональная матрица-матрица все элементы кот, кроме диагональных =0.

Элементы матрицы у  кот номер столбца = номеру строки наз диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы =1, то она наз единичной. (Е=(…)). Матрица любого размера называется нулевой если все ее элементы равны 0.

в)Транспонирование матрицы- переход от матрицы А к матрице А^/, в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А^/ наз транспонированной относительно матрицы  А. Св-ва: 1) (А^/)^/=А, 2) (λА^/)^/=λА^/, 3) (А+В)^/=А^/+В^/.4) (АВ)^/=А^/В^/.

г)Две матрицы А и В одного размера наз равными,если они совпадают поэлементно, т е a_ij=b_ij для любых i=1,2,…m; j= 1,2,…,n.

д)1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ наз матрица В=λА, элементы кот b_ij=λa_ij для i=1,2,…,m;  j=1,2,…,n. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Произведение матрицы А на число 0, равно нулевой матрице. (0А=0).

2. сложение  матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m×n наз матрица С=А+В, элементы кот c_ij=a_ij+b_ij  для i=1,2,…,m;  j=1,2,…,n. ( т е матрицы складываются поэлементно). В частности А+0=А.

3. Вычетание  матриц. Разность двух матриц одинакового размера опред ч/з предыдущие операции А-В= А+(-1)В.

4. Умножение  матриц.  Умножение матрицы А на матрицу В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А размера m×k на матрицу В размера k×n наз матрица С размера m×n, каждый элемент кот = сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_ik.

 

 

№4. а)Понятие минора к-го порядка. б)Ранг матрицы(определение).в)Вычисление ранга матрицы с помощию элементарных преодразований.Пример.

а)В матрице А размера т×п вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы к-го порядка, где к<=min(m;n). Определители таких подматриц наз минорами к-го порядка матрицы А.

б)Рангом матрицы А наз наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

в)Элементарные преобразования: 1) отбрасывание нулевой строки(столбца). 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное 0. 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов др строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы.

Пример. (0 -1   3  0  2)

         А= (2 -4   1  5  3)= (2 -4 1 5 3)

               (-4 5 7 -10 0)    (0 -1 3 0 2).

               (-2 1 8  -5  3)

r(A)=2. Матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры 2-го порядка, не =0, например |2 -4|

                  |0 -1|=-2 не=0.

 

№5. а)Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. б)Теорема о ранге матрицы.

а) Если линейная комбинация строк λ₁е₁+ λ₂е₂+… +λ_ме_м=0, тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ_i =0, т е λ₁=λ₂=…= λ_м=0,то строки е_1,е₂,…,е_т наз линейно независимыми.  λ-число, е₁=а₁₁а₁₂а₁₃…_, е₂=а₂₁а₂₂а_23.

б)Ранг матрицы = максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, ч/з кот линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

 

 

 

 

2. а)Определители 2-го,3-го и п-го  порядков (определения и из св-ва). б)Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

а) Определителем матрицы 2-го порядка наз число, кот вычисляется по формуле:

 ∆₂=|А|=|а₁₁а₁₂|=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.-члены определителя.

             |а₂₁а₂₂ |

Определителем матрицы 3-го порядка кот вычисляется по формуле: ∆₃=|А|=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₂+а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₂а₂₁а₃₃-а₃₂а₂₃а₁₁.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка наз число =алгебраической сумме п! членов, каждый из кот явл произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J)где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: ∆=|А|=∑_(J)(-1)^r(J)a_1j1a_2j2…a_njn.

C-ва:1) если какая-либо строка (столбец) матрицы сост из одних нулей, то ее определитель=0. 2) если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число. 3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется |A^/|=|A|. 4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5) если квадратная матрица содержит две одинаковые строки(столбца), то ее определитель=0.  6) если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7) сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраичские дополнения элементов др строки (столбца) этой матрицы равна 0. 8) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы др строки(столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число. 9) Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) = определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа b₁,b₂,…,b_n. 10) определитель произведения двух квадратных матриц= произведению их определителей.

б)Определитель п-го порядка = сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по  строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.

 

№3.а)Квадратная матрица и ее определитель. б)Особенная  и неособенная квадратные матрицы. в)Присоединенная матрица. г)Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

а)Если кол-во строк= кол-ву столбцов, то такая матрица наз квадратной размером m×m(матрица порядка m). Понятие определитель приминяется только для квадратных матриц, detA,(А),∆. Определителем кв матрицы А наз число, кот вычисляется по след правилам: 1) А=(а₁₁) detA=а_11. 2) А=(а₁₁а₁₂) detA=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.

                                                              (а₂₁а₂₂)

3) А=(а₁₁а₁₂а₁₃)

         (а₂₁а₂₂а₂₃)

         (а₃₁а₃₂а₃₃)

Для 3) правилом ∆(Саррюса). detA=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₃а₂₁а₃₂+а₃₁а₁₂а₂₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₁а₃₂а₂₃-а₃₃а₂₁а_12.

4) Определитель п-го порядка – сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по  строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.А_ij=(-1)^i+jM_ij- алгеброическое дополнение.

в,г)Пусть матрица А- кв. Матрица А^-1-наз обратной к матрице А, если выполняется усл: А^-1А=АА^-1=Е. Мариица наз невыражденной, если ее определитель не =0, в противнос случае матрица-выражденная. Теорема(необходимое и достаточное усл сущ обратной матрицы):Обратная матрица А^-1сущ единственно тогда и только тогда, когда исходная матрица невыражденная и вычисляется по формуле А^-1= 1/ detA×А^~, А^~-присоединенная матрица сост из алгебраических дополнений транспонированной матрицы

А^~= (А₁₁А₂₁…А_п1/А₁₂А₂₂…А_п2/…/А_1пА_2п…А_пп). Схема вычисления обр матрицы:

1) вычисляем определитель матрицы.  Если определитель равен нулю , то матрица вырожденная и  обратной матрицы не сущ. Если  detA не=0, то: 2) вычисляем алгебраические дополнения и составляем присоединенную матрицу А^~. 3) Составляем обратную матрицу по формуле: А^-1= 1/ detA×А^~. 4) Выполняем проверку: А^-1А=Е.

 

№8. а)Система т линейных уравнений  с п переменными (общий вид). б)Матричная  форма записи такой системы. в)Решение системы(определение).г)Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

а) Система т линейных ур-ний с п переменными имеет вид:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_т1х₁+а_т2х₂+а_т3х₃+…+а_тпх_п=b_т

б) Систему Ур-ний ↑ можно записать в матричной форме: А- матрица системы сост из коэффициентов при неизвестных. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

     (а₁₁  а₁₂   а₁₃  …а_1п)         (х₁)         (b₁)

А=( а₂₁  а₂₂  а₂₃  …а_2п)   Х= (х₂)   В= (b₂)

     (…………………..)        (…)         (…)

     ( а_т1  а_т2 а_т3… а_тп)        (х_п)          (b_n)

  Система ур-ния  в матричной форме  имеет  вид Ах=В.

в)Решением системы наз такая совокупность п чисел (х₁=к_1,х₂=к_2,…, х_п=к_п), при подстановке кот каждое ур-ние системы обращается в верное равенство.

г)Система ур-ний наз совместной,если она имеет хотя бы одно  решение, несовместной, если не имеет решений. Совместная система ур-ний наз определенной,если имеет ед решение, и неопределенной,если имеет более 1 решения.

 

№9. а) метод Гаусса решения системы  п-линейных ур-ний с п переменными. б)Понятие о методе Жордана-Гаусса.

а) Метод последовательного исключения переменных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов исходная система ур-ний приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из кот последовательно находятся все неизвестные переменные. Вычисление удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов.

 

№10. Решение систем п линейных уравнений  с п переменными с помощью  обратной матрицы (вывод формулы  Х=А^-1В.

Рассм систему линейных ур-ний состоящую из п-ур-ний и п неизвестных:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_1пх_п=b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_2пх_п=b₂

{……………………………….

{ а_п1х₁+а_п2х₂+а_п3х₃+…+а_ппх_п=b_п

Если матрица системы  невырожденная (detA ≠0), то систему можно решить:1)матричным способом (метод обратной матрицы),2)По правилу Крамера, 3) методом Гаусса. Рассм 1 метод: Данная система в матричной форме имеет вид Ах=В, где А- матрица системы. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

 

     (а₁₁  а₁₂   а₁₃  …а_1п)         (х₁)         (b₁)

А=( а₂₁  а₂₂  а₂₃  …а_2п)   Х= (х₂)   В= (b₂)