Шпаргалка по "Математике"

№25 а)Дифференцируемость ф-ции одной переменной.б) Связь  м/д дифференцируемостью и непрерывностью ф-ии (доказать теорему).

№26 Основные правила  дифференцирования ф-ций одной  переменной (одно из них доказать).

№27.а)Формулы производных  основных элементарных ф-ций (одну из них  вывести). б)Производная сложной  ф-ции.

№28 Теоремы Ролля и  Лагранжа (без док-ва). Геометрическая интерпретация этих теорем.

№29 Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

№30 а)Определение экстремума ф-ии одной переменной.б) Необходимый  признак экстремума (доказать).

№31 Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

№32 а)Понятие асимптоты  графика ф-ции. б)Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.в) Примеры.

№33 Общая схема исследования ф-ий и построения их графиков. Пример.

№34 а)Ф-ции нескольких переменных. Примеры.б)Частные производные (определение). в)Экстремум ф-ции  нескольких переменных и его необходимое  условие.

№35 а)Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.б) Подбор параметров линейной ф-ции( вывод  системы нормальных уравнений).

№36 а)Дифференциал ф-ции  и его геометрический смысл. б)Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

№37 а)Понятие первообразной ф-ции. б)Неопределенный интеграл и его св-ва (одно доказать).

№38 Метод замены переменной в неопределенном интеграле и  особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

№39 Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

№40 а)определенный интеграл как предел интегральной суммы. б)Св-ва определенного интеграла.

№41 а)Теорема о производной  определенного интеграла по переменному  верхнему пределу. б)ТФормула Ньютона-Лейбница.

№42 а)Несобственные интегралы  с бесконечными пределами интегрирования.б)Интеграл Пуассона(без док-ва)

№43 вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного  интеграла. Примеры.

№44 Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций.

№45 а)Понятие о дифференциальном уравнении.б)Общее и частное решения.в) Задача Коши.г)Задача о построении матеметической модели демографического процесса.

№46 Простейшие дифференциальные ур-ния 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющими переменными) и их решение. Примеры.

№47 Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка  и их решения. Примеры.

№48 а)Определение числового  ряда.б) Сходимость числового ряда.в) Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

№49 Гармонический ряд  и его расходимость (доказать).

№50 Признаки сравнения  Доламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.

№51 Интегральный признак  сходимости знакоположительных рядов. Пример.

№52 а)Знакочередующиеся ряды. б)признак Лейбнмца сходимости знакочередующихся рядов.в)Абсолютная и условная сходимость рядов.

№53 а)Условия разложения ф-ий в степенной ряд.б) Ряд Маклорена.в) Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=е^х(вывод).г) Интервал сходимости полученного ряда.

№54 Разложение в ряд  Маклорена ф-ии у=ln(1+x)(вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

№55 Разложение в ряд  Маклорена ф-ции у=(1+х)^п (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

№56 Приближенные вычисления значений ф-ий и определенных  интегралов с помощью рядов. Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№49 Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

Ряд 1+1/2+1/3+…+1/п+…, наз гармоническим. Необходимый признак сходимости выполнен: lim_n→∞u_n= lim_n→∞1/n=0. Докажем, что несмотря на это, гармонический ряд расходится.  Вначале получим вспомогательное неравенство. С этой целью запишем сумму первых 2п и п членов ряда: S_2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)+…+1/2n, S_n=1+1/2+1/3+…+1/n. Найдем разность: S_2n-S_n=1/(n+1)+…+1/2n. Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьши, равным 1/2n, придем к вспомогательному неравенству S_2n-S_n>1/1n+…+1/2n=n∙1/2n=1/2 или S_2n-S_n>1/2. Предположим противное, т е что гармонический ряд сходится, тогда lim_n→∞S_n= lim_n→∞S_2n=S и, переходя к пределу в неравенстве |f(x)-A|<ε, получим, что S-S≥1/2 или 0≥1/2. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т е гармонический ряд расходится.

 

№56 Приближенные вычисления значений ф-ий и определенных  интегралов с  помощью рядов. Примеры.

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью то точности значения ф-ий, определенных интегралов, кот слишком сложны для вычисления, интегрируются дифференциальные ур-ия.

Вычислить приближенно с точностью  до 0,0001:

А)  36^1/5; Представим 36^1/5 в виде 36^1/5=(32+4)^1/5=2(1+1/8)^1/5. Т к х=1/8 входит в область сходимости степенного ряда (-1;1), то при х=1/8, м=1/5, учитывая u_n≤v_n, получим 36^1/5=2(1+1/5∙1/8+(1/5(1/5-1))/2!∙1/8²+…+(1/5(1/5-1)…(1/5-п+1))/п!∙1/8^п+…=2+0,05-0,0025+0,000188-0,000016+…=2,0477. (Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, т к по следствию из признака Лейбниза для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность |R_n|<0,000016<0,0001).

B) 1/e^3/5. Для вычисления 1/e^3/5= e ^-3/5,запишем ряд е^х=1+х+х²/2!+х³/3!+…+х^п/п!+… . при х= -3/5, принадлежащем области сходимости (-∞;∞):

е^-3/5=1-3/5+3²/52∙2!-3³/5³∙3!+…+(-1)^п/5^п∙п!+…=1-0,6+0,18-0,036+0,0054-0,000648+0,0000648-… . Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность |R_n|, меньшую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т е |R_n|<0,0000648<0,0001. Итак, 1/e^3/5=1-0,6+0,18-0,036+0,0054-0,000648=0,548752=0,5488.

 

№46 Простейшие дифференциальные ур-ния 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющими переменными) и их решение. Примеры.

Определение: ДУ 1-го порядка назыв ур-ние в кот входит неизвестная ф-ия, независимая переменная и производная ф-ии, F(x,y,y^/)=0. Общим решением ДУ 1-го порядка явл ф-ия y=φ(x;c). Основные типы ДУ 1-го порядка.

С разделяющимися переменными: а) y^/=f(x)g(x), б)P(x)Q(y)dx+N(x)M(y)dy=0,Решение: Необходимо преобразовать исходные ур-ия, т о чтобы ф-ии зависящие от х и dx были в одной части равенства, а ф-ии зависящие от у, dy-в др.(процедура разделения переменных). Далее необходимо про интегрировать обе части равенства: а) y^/=dy/dx. Dy/dx=f(x)g(x), dy/g(y)=f(x)dx, ∫dy/d(y)=f(x)dx. Б)P(x)Q(y)dx+N(x)M(y)dy=0, P(x)dx/N(x)= -M(y)dy/Q(y). ∫P(x)dx/N(x)=-∫M(y)dy/Q(y). Примеры: 3x²ydx+2(4-x³)1/2dy=0- С разделяющимися переменными.(3x²dx)/(4-x³)^1/2=-2dy/y. ∫(3x²dx)/(4-x³)^1/2=-∫2dy/y. ∫(3x²dx)/(4-x³)^1/2=|4-x³=t,-3x²dx=dt|=-∫dt/t^1/2=-2t^1/2= -2(4-x³)^1/2+C. -2(4-x³)^1/2+C₁= -2ln|y|+C₂ или  -2(4-x³)^1/2+C= -2ln|y|. ln|Cy|=(4-x³)^1/2. Cy=e^(4-x3)1/2. y=C₁∙ e^(4-x3)1/2.

Однородные: у^/=f(y/x). Решение: Выполняем замену у=и(х)х. у^/=и^/х+х^/и=и^/х+и. и^/х+и=f(их/х).Получили уравнение с разделяющими переменными: и^/х=f(и)и. хdи/х=f(и)-и. Пример: (ху-х²)у^/=у²-уравнение с разделяющими переменными у^/=у²/(ху-х²)=у²/х²(у/х-1)=(у/х)²/(у/х-1)-однородное уравнение. и^/х+и=f(их/х)=(их/х)²/(их/х-1); и^/х+и=и²/(и-1); dи/dx∙х=(и²/(и-1))-и; dи/dx∙х=и/(и-1); dи∙х=и(и-1) dx; (и-1)/и dи=dх/х; ∫(и-1)/и dи =∫ dх/х; ∫(и-1)/и=∫и/и-∫1/и=и-ln|и|; и=ln|u|+C=lnx; u=ln|u|+ln|x|+ln|C|; u=ln|cux|; y|x=ln|c∙y/x∙x|; y/x=ln|cy|; y=xln|cy|.

Линейные: у^/+Р(х)у=Q(x). Решение: Замена у=u(x)∙v(x) или y=uv. y^/=u^/v+v^/u, y=u(x)v(x). u(v^/+P(x) v)+u^/v= Q(x). Пусть { v^/+P(x) v =0; u^/v= Q(x)}. Каждое уравнение системы явл дифференциальным уравнением с разделяющими переменными. Решаем их и записываем общее решение, как у=u v. Пример: у^/-2у=е^2х, у= u(x)∙v(x), y^/=u^/v+v^/u, u^/v+v^/u-2 uv=е^2х; u(v^/-2v)+u^/v=e^2x; {u^/-2v=0,u^/v=e^2x}; dv/dx=2v; dv=2vdx; dv/v=2dx; ∫dv/v=2∫dx; ln|v|=2x+C (C=0); v=e^2x. u^/v=e^2x; u^/e^2x=e^2x; u^/=1; du/dx=1; du=dx; ∫du=∫dx; u=x+C; y=uv=(x+C)e^2x-общее решение.

 

№53 а)Условия разложения ф-ий в степенной  ряд.б) Ряд Маклорена.в) Разложение в  ряд Маклорена ф-ии у=е^х(вывод).г) Интервал сходимости полученного ряда.

a) Если ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница (знакочередующейся и его значения должны по абсолютной величине убывать), то ошибки при замене суммы ряда несколькими его первыми слагаемыми не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемого членов ряда.

Б)Предположим, что ф-ия f(x), определена и п раз дифференцируемая в окрестности точки х=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, др словами , может быть разложена в степенной ряд f(x)=c_o+c₁x+c₂x²+c₃x³+C₄x⁴+…+C_пХ^п+… Выразим коэффициенты ряда ч/з f(x). Найдем производные ф-ии f(х), почленно дифференцируя ряд п раз: f ^/(x)= c₁+2c₂x+3c₃x²+4C₄x³+…+nC_пХ^п-1+…,f ^//(x)= 2c₂x+3∙2c₃x+4∙3∙C₄x²+…+n(n-1)C_пХ^п-2+…, f ^///(x)= 3∙2c₃+4∙3∙2∙C₄x+…+n(n-1)(n-2)C_пХ^п-3+…,…….. f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)∙3∙2c_n+… . Полагая в полученных равенствах х=0, получим f(0)=c_o, f ^/(0)=c₁, f ^//(0)=2∙1∙c₂=2! c₂, f ^///(x)= 3∙2c₃=3!c_3,…, f⁽ⁿ⁾(0)=n!c_n, откуда  С_о= f(0), с₁= f ^/(0), с₂= f ^//(0)/2!, с₃= f ^///(0)/3!,…, с_п= f⁽ⁿ⁾(0)/п!. Подставляя значения коэффициентов с_о, с₁, с₂, с₃,…, с_п, получим ряд  f(x)=f(0)+f ^/(0)x+ f ^//(0)/2! X²+ f ^///(0)/3!x³+…+f⁽ⁿ⁾(0)/n!xⁿ+…- называемый рядом Маклорена.

В) у=е^х. Имеем f(x)=f ^/(x)=f ^//(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)= е^х; f(0)=f ^/(0)=f ^//(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)= е^o=1. По формуле 1/1∙2+1/2∙3+…+1/3∙4+…+1/п(п+1)+…. е^х =1+х+х²/2!+х³/3!+…+х^п/п!+…. Область сходимости ряда (-∞;+∞).