Шпаргалка по "Высшей математике"

1) ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА.

Понятие множества относ. к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие более простые.  Мн-во еще наз. совокупность, собрание предметов. Предметы составляющие данное мн-во наз. элементами данного мн-ва.

Теорию конечных мн-в иногда наз. Комбинаторикой.

В матем. Допускаются к рассмотрению мн-ва не содержащие элементов-пустые мн-ва. – а есть элемент мн-ва Х

О.Мн-во В наз. подмн-вом мн-ва А, если каждый элемент мн-ва В явл. элементом мн-ва А.

Каждый отдельный элемент мн-ва А образует подмн-во, состоящее из этого элемента. Пустое мн-во явл. подмн-вом всякого мн-ва. 
Подмн-во мн-ва А наз. несобственным, если оно совпадает с мн-вом А. Если мн-во В есть подмн-во мн-ва А, значит В содержится в А

Подмн-во В мн-ва А наз. собственным, если В не пусто и не совпадает с А.

 

2) ОПЕРАЦИИ НАД МН-ВАМИ.

Пусть А и В – произв. мн-ва.

О.Объедин. двух мн-в А и В наз. мн-вом , состоящ. Из всех элементов принадлежащ. хотя бы одному элементу А и В.    
Аналогично определяется определение любого (конечн. или бесконечн.)числа мн-в: если  Аі – произв. мн-ва, то і и есть совокупность элем-в, каждый из которых принадлежит  одному из мн-в  Аі.

О.Перечисление мн-в А и В наз. мн-во , сост. из всех элементов, принадлежащих как к А, так и к В.

Пересечением любого (конечного или бескон.) числа мн-в Аі  наз. мн-во элемент пренадлежащий к  каждому из мн-в Аі. Операции обьед. и пересеч. мн-в по опред. ассоциативных и коммутативных.

 ;

 ;;.  

Эти операции взаимно дистрибутивны  

 

О. Разностью мн-в А и В наз. мн-во тех элементов из А, которые не содерж. в В. (А/В)

 

 

 

3) ОТОБРАЖЕНИЕ МН-В. ПОНЯТИЕ  Ф-И. 
Пусть M и N – 2 произвольных мн-ва. О. На M определенна функц. F, принимающ. значение из N, если каждому элементу х*М поставлен один из у*N, M наз. областью определен. данной ф-ции, а N – ее обл. значения. Для мн-в произвольной природы вместо термина  функция часто польз. термином  отображение, говоря об отображении одного мн-ва в другое. 
Если а – элемент М, то соответств. ему элемент b=F(a) из N наз. образом a при отображении F. Совокупность всех тех элементов а из М, образом кот. явл. данный элемент b из N, наз. прообразом b и обознач. P^-1(b). 
Пусть А - некот. мн-во из М совокупность всех элементов F(a), где (а*А) наз. образом А(обозн. F(A)). В свою очередь для каждого мн-ва B из N опред. его полный прообраз P^-1(B), а именно F^-1(B) есть совокупность всех элементов из M, образы кот. принадлежат В. 
О. Будем говорить, что F есть отображение мн-ва М на N, если F(M)=N ,  такое отображение мн-ва  наз. сюръекцией. Если для любых различных элементов х₁, х₂ из M их образы у₁=F(x₁), y₂=F(x₂) их образы также различны , то F наз. инъекцией. Отображение F из M в N (F:M→N), кот. одновр. явл. сюръекцией и инъекцией наз. взаимно однозначным соответствием между M и N.

 

5) РАЗБИЕНИЕ НА КЛАССЫ. ОТНОШЕНИЕ К ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. 
В самых различных вопросах  втреч. разбиение тех или иных мн-в на попарно непересекающ. подмн-ва . Напр., плоскость можно разбить на  прямые параллельные оси Х, жителей данного города можно разбить на группы по их году рожд. и т. д.  
Каждый раз, когда некот. мн-во М представл. тем или иным способом как сумма попарно непересек. подмн-в, мы говорим о различии мн-ва М на классы. 
Пусть М – некот. мн-во и пусть некот. из пар (а,b) элементов из этого мн-ва явл. выделенными. Если (а,b) выдел. пара, то мы говорим, элемент а связан с b отношением * и обознач. его символом а* b означает имеет ту же площадь, что и . 
О. Отношением * наз. отношение эквивалентности, если оно обладает след. свойствами: 
1. Рефлексивность: а*а  для любого а*М 
2. Симметричность: если а*b,то b*a. 
3. Транзитивность: если a*b и b*c,то a*c. 
Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение * (признак) позволяло разбить мн-во М на классы. Прямым (декартовым) произведением мн-в А₁, А₂, А₃ … А_n наз мн-во А₁×А₂×…А_n=. 
Если А₁=А₂=…=А_n, то мн-во А₁×А₂×…А_n наз. прямой степенью мн-ва А и обозн_. Аⁿ. 
Бинарным отношением между эл-ми мн-в А и В наз. подмн-вом R мн-ва А×В. Если А=В, то отношение R наз. бинарным отношением на А. Вместо (x,y)*R часто пишут xRy. 
Примером бин. отношения может служить отношение тождества Е:(a,b)*E в том и только том случае, когда a=b. Иначе говоря, это отношение вида (а;а). 
Обл. определения бинар. отношения R наз. мн-во *_R={х│существует y такое, что (х;у)*R}. 
Обл. значений бинар. отнош. R наз. мн-во *_R={x│существует y такое, что (y,x) *R}. 
Для бинар. отношений определены обычным образом теоретико-множественные операции, обьедин. перечисления и т. д. 
Дополнением бинарн. отношения наз. R между элементами А и В наз. мн-во   -R=(A×B)\R. 
Обратным отношением для бинарн. отношения R наз. мн-во R^-1={(x,y)│(y,x)*R}. 
Образом мн-ва х относительно R наз. мн-во  R(x)={y│существует x*X  такое, что (х;у)*R}. 
Произведением отношения R₁⊆A×B  и R₂⊆B×C наз. отношением R₁∙R₂={(х;у) существует Z такое, что (х;z)*R  (z;у)*R₂}.

 

6) МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

О.Матрица – система m∙n чисел распол-ых в прямоуг. таблице из m строк и n столбцов. Числа этой табл. наз элементами матрицы.  
Матр. обозн-ют .Элементы а_i1 ,а_i2 ,…а_in – i-ю строку (i=1,2,..,m), эл-т: а_1к а_2к а_mk – k-ий столбец. а_ik - эл-т принадл-ий i-той строке к-тому столбцу матр, i и к – индексы эл-ов. Матр. все эл-ты кот =0 наз нулевой матр, обоз-ся 0 по опр. . Квадр. матр – матр, у кот число строк=числу столбцов (m=n):   (1). 
Порядком кв.матр.наз. число её строк или столбцов. Кв.матр. 1-го порядка отождеств-ся со своим единст. эл-том. Выпишем кв.матр. 1-х 3-ёх порядков: (а_1.1); ; . Будем говорить что эл-ты а_1.1 а_2.2....а_n.n кв.матр.(1) образуют её глав. диагональ, а эл-ты а_1.n а_2n-1 а_n2 – побочную диагональ. Диагон. матр.- кв.матр, у кот.все эл-ты не принадлеж-ие гл.диагонали=0, т.е. это матр. . Единичная матр – диагон.матр. у кот все эл-ты глав. диагонали=1. Обозначим их Е, тогда. Треуг.матр. – кв.матр. все эл-ты кот. расположены на одну сторону от глав.диагонали=0. Различают верхнюю и нижнюю треуг.матр.

                                                           

7) ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 
Линейные действия над матрицей – сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число. 
Сложение и вычитание матриц определены только для матриц одинаковых размеров. 
О.Суммой двух матриц  A=(a_ik)_mn и B=(b_ik)_mn наз. такая матрица C=(c _ik)_mn, что c _ik=a_ik+b_ik  (i=1,2,3….m; k=1,2,3….n), т. е. матрица, элементы которой = суммам соответствующих элем. матрицы слагаемых. Сумма двух матриц A и B обозн. A+B. 
Под суммой A+B+C трёх матриц A,B,C понимается матр., полученная в результ. последоват. сложения этих матриц, т. е. A+B+C=(A+B)+C. Аналогично определ. сумма матриц для большого числа слагаемых. 
О.Разностью A-B двух матриц A=(a_ik)_mn и B=(b_ik)_mn наз. матрица D=(d_ik)_mn , такая что d_ik=a_ik+b_ik. 
О.Произведением матрицы A=(a_ik)_mn на число α наз. матрица B=(b_ik)_mn, для которой b_ik= α a_ik (i=1,2,3….m; k=1,2,3….n), т. е. матрица, полученная из данной умножением всех её элем. на число α. Обозначается A α или α A. 
Матрицу (-1)A будем наз. матр., противоположной матрице A и обозначать –A. 
Умножение матриц. Это действие определ. для согласованных матриц. Матрица A наз. согласованной с матр. B, если число столбцов матр. A = числу строк матр. B. (Матрица A_mn согласована с матрицей B_nl – «ширина» матрицы A= «высоте» матрицы B). 
Следует отметить, что: 
- Из согласованности матрицы A с матр. B не следует согласованности матр. B с матр. A. 
- Если A и B кв. матрицы одного порядка,то они взаимно согласованы(матр. A соглас. с матр. B, матр. B соглас. с матр. A. 
О.Произведением матрицы A_mn =(a_ik)_mn на матрицу B_nl=(b_ik)_nl наз. матр. C_ml=(c _ik)_ml, для которой c_ik=a_i1b_1k+ a_i2b_2k+….+ a_inb_nk, т.е. c_ik матрицы C_ml равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A_mn на соответствующие элементы k-того столбца матрицы B_nl. Матрица C_ml имеет m строк (как матрица A_mn) и l столбцов (как матрица B_nl).

 

8) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 
О.Определителем квадратной матрицы 2-ого порядка  A = наз. число, равное - и обозначается символом , т. е. =-.  
Определитель матрицы называется также детерминантом. Для определителя матрицы A используются след. обозначения ,, detA, det(ajk). 
О.Определителем кВ. матрицы третьего порядка A= называется число, равное =+. 
Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы правой части данной формулы представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.  
Этому произведению прописывается соответствующий знак. Чтобы запомнить что с +, а что с -, полезно следующее правило.  
ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА.   +   -    =1*5*9+2*6*7+4*8*3-3*5*7-2*4*9-6*8*1.

Минор - определитель, полученный с данного вычёркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a_jk обозначается M_jk. 
О. Алгебраическое дополнение элемента a_ik определителя наз. его минор, взятый со знаком (-1)^i+k. Алгебраическое дополн. элемента a_ik обозн. A_ik. В соответствие с определителем A_ik=(-1)^i+k M_ik

ТЕОРЕМА. Определитель равен сумме произведений элем-ов любой строки (столбца) на их алгебр. дополнен.

 

9) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n-ОГО ПОРЯДКА. 
О. Минором эл-та aik матрицы n-ого порядка наз. определитель порядка n-1 соответств. той матрице, кот. получ. из данной матрицы, в результате вычеркивания i-той строки и k-того столбца. 
Минор эл-та aik обозн. Міk. Алгебр. дополн. эл-та aik наз. его минор, взятый со знаком (-1)^i+k и обозн. через Aik, т.е. Aik=(-1)^i+k Міk. 
О. Определитель порядка n наз. число равное и обозн. *, detA.

 

10) СИСТЕМЫ m ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ. 
О.Сист. m линейных урав-й с n неизвестными с x₁, x₂,…., x_n назыв. система вида , где a_ik, - числа.  Числа a_ik (i=1,2,…m) (k=1,2,…n) – коэффициенты.  Числа (i=1,2,…n) – свободные члены. 
О.Решением линейной системы наз.упорядоченная совокупность из n чисел c₁, c₂,… c_n, постановка которых вместо  x₁, x₂, … x_n обращает в тождество каждое и уравнений этой системы.

 

11) РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. 
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, … x_n

 

Определ. системы наз. определ. матрицы A, сост. из коэффициентов урав-ий этой системы. Обозначим его .

Обозначим через k определитель, полученный заменой в определителе столбца из коэффициента при неизвестной x_k , столбцом свободных членов системы, т.е.

  k= , k – одно и чисел 1,2,…n

ТЕОРЕМА. Если определитель системы отличен от 0, то система имеет единственное решение  x₁= , x₂= ,  x_n=  
Метод решения системы по правилам, описанным в Теореме называется методом Крамера.

 

 

 

 

 

17) НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ.

О.Ф-ия наз. непрер. на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Если ф-ия определена при х=а и при этом , то говорят что f(x) в точке α непрерывна справа. Аналогично если , то говорят, что в точке а эта ф-ия непрерывна слева.

О.Ф-ия наз. непрер. на отрезке [а;b], если она непрер. в каждой его точке. Наибольшим значением ф-ии у=f(х) на отрезке [a;b] наз. такое его значение f(x₁), что f(x) f(x₁) для всех х.

Наим. значение ф-ии у=f(х) на отрезке [а;b] наз. такое её знач. f(x₂), что f(x) f(x₂) для всех х.

Ф-ии непрер-е. на отрезке обладают рядом важных св-в, кот. выраж-ся след. теоремами:

Т1 ф-ия непрер. на отрезке [а;b] достигает на нём своего наимен. значения m и наиб. значения  М, т.е. сущ. такие точки х₁ и х₂ этого отрезка, что f(х₁)=m, f(х₂)=M. Теорема имеет простой геом. смысл (рис.1) 
Т2 если ф-ия у=f(х) непрер. на отрезке [а;b] и на его концах принимает неравное значение f(a)=A, f(b)=B, AB, то какого бы ни было число С заключ-ое между такими А и В, найд-ся точка с, такая, что f(с)=С

Сл. Если ф-ия непрер. на отр.и на его концах принимает значение разных знаков, то на этом отр. найд-ся хотя бы одна точка , в кот. ф-ия превращ-ся в 0.(рис 2,3)

 

 

 

18) ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ, ЕЁ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Рассм. ф-ию у=f(х) заданную на интервале (a;b), пусть х₀ (a;b) и х (a;b), тогда преращение ф-ии в точке х₀ выраж-ся формулой ₀ +₀ ), ₀ + - приращение аргумента.

О.Производной ф-ии у=f(х) в точке ₀ наз. предел отношения приращения этой ф-ии к приращению аргумента, когда последнее стрем-ся к 0.   F` (x<sub>0</sub>)=  или у`(х₀) =

Геом. смысл: произв-я от данной ф-ии в точке равной tg угла между осью О_х и касат-ой к графику этой ф-ии в соотв-ей точке. . (рис.1)

 

Уравн. касат-ой у=f(х) в точке М₀( х₀;у₀)имеет вид у-у₀=f`(x₀)(x-x₀)

Физич. Смысл: произв-я от пути по времени равна скорости прямолин-го движения точки x`(t₀)=

Ф-ия имеющая произв-ую в данной точке наз. дифференцируемой в данной точке. Ф-ия имеющая произв-ую в данной точке данного промеж. наз. диффер. в этом промежутке.

Зависимость между непрер. и диф-нием ф-ии выраж-ся след. теоремой:

Т: если ф-ия  у=f(х) диф. в данной точке, то она непрерывна в этой точке.

Док-во: пусть ф-ия у=f(х) диф. В точке х₀, т.е. сущ. предел у`( х₀)=, т.к. , то => . Т. доказана.

 

19) ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕР-ИЯ. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ Ф-ИИ.НЕКОТ. ПОЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ .

Т1: производная «+» («-») 2-ух диф. ф-ий равна «+» («-») в произв-ой этих ф-ий

Док-во: пусть , где и диф. ф-ии. Поскольку , то =тогда . Т. доказана

Т2: произв-ая произведений 2-ух дифер-ых ф-ий равна произвед. 1-ой ф-ии на произ-ую 2-ой + произв-ая 2-ой на произв-ую 1-ой

Док-во: пусть , где = и - диф. ф-ии, т.к. , тогда . Согласно Т , тогда получим, что

Следствие: постоянный множит. можно выносить за знак производной

Т3: произв-ая частнuой 2-ух диф. ф-ий  определ-ся формулой

Док-во: если , где – диф. ф-ии, причём

   распишем: ;  т.к.  . Т. доказана

Если  у=f(х) и х=  (у) – взаимообратные ф-ии и у`, тогда х_у= действительно, т.к. т.е. откуда х_у=

Производные сложной ф-ии.

Рассм. сложную ф-ию , где в том случае - промежут. аргумент,  х – независимая переменная

Т1 Если и - диф. ф-ия своих аргум., то произв-я сущ. и равна произведению произв-ой той ф-ии по промежут. аргум. На произв-ую промежут. аргум.; но независ. переменной. y`x=y`_u-u`_x