Шпаргалка по "Высшей математике"

Док-во: в соотв. с усл. и по определ. произв-ой т.к. то y`_x=

Некот. положения  произв-й

Т1 (Лагранжа). Если f(x) непрер. на отр. [a;b] и имеет конеч. произ-ую  в интервале (a;b), то в этом интерв. найд-ся одна точка С, такая что

При исслед. ф-ий может появ. необход. нахождения предела дроби  , числит и знаменат кот при х сирем-ся к 0 или . Нахождение таких пределов наз раскрытием неопределён-ти соответств вида.

Основой явл. правило Лайпиталия выраж-й след Т: если ф-ия f(x) и диф-ием в окрестности, то х=а обращ-ся в 0. , то сущ предел отношений самих ф-ий равносильно пределу.

 

20) ПРИЗНАКИ ПОСТОЯНСТВА, ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ Ф-ИИ.

Т1 пусть ф-ия f(x) имеет конечную произв-ую в интервале (a;b). Чтобы f(x) была постоянной в интервале (a;b) необход. и достаточно f`(x)=0 в этом интерв.

Док-во: если f(х)=const, то f`(x)=0. Докажем достаточность, т.е. если f`(x)=0 в интервале (a;b), то f(х)=const. Возьмём в интервале любые 2 значения х₁ и х (х₁ х) и применим ф-лу Лагранжа f(x)- f(x₁)=(х-х₁) f`(с). Точка С лежит между х и х<sub>1.</sub> Отсюда т.к. f`(x)=0, то f(x)- f(x₁)=0. f(x)-=f(x₁) при люб знач х(a;b); f(х)=const. Т.Д.

Т2 пусть ф-ия f(x) непрер на (a;b) и меет на нём конечную произв-ую, тогда: 1) если f`(x)>0 на (a;b), то ф-ия возр на этом интерв. 2) если f`(x)<0, то ф-ия убыв.

Док-во 1: возьмём в интерв (a;b)люб знач х₁ и х₂ ( х₁ х₂) и применим Т. Лагранжа, получим , т.е. и по усл , то - это и означавет, что ф-ия возр на (a;b). Для 2т. аналогично.

 

21) Max И min Ф-ИИ НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА

 ф-ия f(x) имеет в точке f(x₀) max, если в некот окрестности этой точке (при х х₀) выполн-ся нерав-во f(x) f(x₀). ф-ия f(x) имеет в точке x₀ min  - f(x₀) если в некот окрестности этой точке (при х х₀) выполн-ся нерав-во f(x) f(x₀). Ф-ия f(x) в точке (x₁) имеет max f(x₁)=А₁М₁ а в точке х₂ min f(x₂)=А₂М₂. (рис.1)

Max и min ф-ии наз экстремумами ф-ий. Точка в кот имеет max или min наз точкой экстремума ф-ий. Необход усл экстремума даёт след Т: если ф-ия f(x) в точке х₀(a;b) имеет экстремум и в этой точке сущ конечная произв-ая, то она =0

Достаточное усл экстремума 

Т1 если в точке х х₀ произв-я ф-ии у= f(x)=0 меняет знак при переходе через точку, то х₀ явл точкой экстремума, причём: 1) х₀ – точка max, если знак мен-ся с + на -; 2) х₀ – точка min, если знак мен-ся с – на +. Достаточно усл экстремума можно выразить с помощью 2-й прозв-й.

Т2 если в точке х х₀ произв-я ф-ии у= f(x)=0, а 2-я отличная от 0, то х₀ явл точкой экстремума, причём: 1) х₀ – точка min, если f``(x<sub>0</sub>)>0; 2) х<sub>0</sub> – точка max, если f``(x₀)<0

 

22) ВЫПУКЛОСТЬ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

Гр-к ф-ии у= f(x) наз выпуклым вниз (вверх) в данном промежутке, если он целиком расположен выше (ниже) касат в его произвол-ой точке. (рис1,2)

Т1 если 2-я произв-я ф-ии у= f(x) в данном промеж «+», то гр-к её явл выпуклым вниз в этом промеж; если  f``(x)<0, то гр-к ф-ии явл выпуклым вверх в соотв промеж.

О.Точкой перегиба графика ф-ии у= f(x) наз такая его точка М₀ в кот выпуклость мен-ся на вогнутость (по отнош к одному и тому же напрвл вверх или вниз)(рис.3)

Т2 если в точке х х₀ 2-я произв-я ф-ии у= f(x) обращ-ся в 0 и меняет знак при переходе ч-з неё, то М₀ (х₀, у₀) – точка перегиба гр-ка это ф-ии.

 

 

23) АСИМПТОМЫ.

Асимптота – прямая, к кот неограниченна приближ-ся данная линия, когда её точка неограниченно удал-ся от начала координат.

О.Прямая х=а наз вертик асимпт гр-ка ф-ии  у= f(x), если хотя бы одно из предельных значений явл . (напр. прямая х=а вертик асимпт гр-ка ф-ии )

О.Прямая наз наклонной асимпт гр-ка ф-ии у= f(x), если эта ф-ии представлена виде +0(x)

Т.гр-к ф-ии у= f(x) имеет при наклонную асимпт , тогда сущ 2 конеч предела

 

24) СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ Ф-ИИ.

Исследов ф-ий и построение гр-ков  можно проводить след образом: 1)найти  обл опред ф-ий, её точки разрыва; 2) изучить изменение ф-ий пристремлении аргкмента к концам промеж обл опред; 3) н-ти точки экстремумов в промеж возр и убыв ф-ий; 4) выч-ть значение экстремумов, построить соответств точки; 5) опред-ть промеж выпукл и вогнут гр-ка, н-ти точки перегиба; 6) н-ти точки пересечения с координ осями; 7) н-ти асимптоты гр-ка ф-ии

 

25) НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕРГРАЛ И ЕГО СВ-ВА.

О.Неопред-й интеграл от даннйо ф-ии наз мн-во всех её первообр-х. , где F(x)=f(x), знак неопред-й интеграл, ф-ия F(x) – подинтегр-ая ф-ия, выражение - подинтегр выраж. Операция нахождения первообр данной ф-ии наз интегриров-ем. Св-ва неопр-го интеграла: 1) произв-я неопр-го интегр =подинтегр-й ф-ии. Дифференциал неопр-го интегр =подинтегр выраж. . 2) неопред интегр от дифферен-ла некот ф-ии = этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого .  3) постоянный мн-ль можно выносить за знак неопред интегр (k=const, k) 4) если ф-ии f₁(x) и f₂(x) имеют первообр-е, то ф-ии f₁(x) + f₂(x) тоже имеют первообр, причём

 

26) ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

1)               6)

2)                      7)

3)                     8)

4)                                      9)

5)                       10)

 

27) ПОНЯТИЕ ОБ ОСНОВНЫХ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

К наиболее важным методам интегр относ-ся методы: непосредств-го интегр, замены переменной и интегрир по частям. Метод непосредств-го интегр – основан на св-ве 4 неопр-го интеграла. Если ф-ии f₁(x), f₂(x)…f_n(x) имеют первообр в некот промеж, то ф-ия f(x)= f₁(x),+f₂(x)+…+f_n(x) также имеют первообр в том же промеж, причём , т.е. неопр интеграл от алгебраич суммы конеч числа ф-ий равен такой же алгебраич сумме неопред интеграла от слагаемых. Метод замены переменной основан на след Т: если F(x) – первообр ф-ии f(x), а - дифференцируемая ф-ия, то также имеет первообр, причём . Док-во: по правилу диф сложной ф-ии , т.е ф-ия имеет в кач-ве одной из своих первообр ф-ию . Т.Д.

 - по этой ф-ле осущ-ся замена переменной в неопред интеграле. Метод интегрир по частям основан на след ф-ле: , поскольку

 

28) ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА, ЕГОГЕОМЕТР. СМЫСЛ.

Пусть дана ф-ия y=f(x) определ на отр [a;b] где a<b. Отр [a;b] точками а=х₀<x₁, <x₂…<x_n-1 <x_n=b разобьём на n элементар отр [a, x₁], [x₁, x₂]…[x_k-1,x_k]…[ x_n-1, b] длины кот обозначены ч-з . В каждом их элементарных отр[x_k+1,x_k] выберим произвольную одну точку умножим на длину отр получим произвед .  Составим сумму всех таких произвед.  
. Эта сумма наз интегр-ой суммой  на отр [a;b]. Обозначим ч-з длину наиб из элементар отр[x_k-1,x_k] при данном n, т.е. =max (

О.Определ интегр от ф-ии y=f(x) на отр [a;b]наз конечный предел её интегральной суммы, когда число элементар отрезков неогр возр,  адлина наиб из них стремится к 0. Опред интеграл обозн-ся символом (чит-ся опред интеграл от .  наз подинтегр ф-ей, х – переменное интегрирование, b – верхний. по опред . Ф-ия для кот сущ такой предел наз интегрир-ие  на отр [a;b].

Геом смысл. Опред интегр от ф-ии y=f(x)на [a;b] = площади криволин трапеции, огранич-й сверху гр-ка ф-ии y=f(x) слева и справа отр прямых x=a, x=b, отр оси О_х снизу или сверху.(рис.1,2)

 

 

 

29) ОСНОВНЫЕ СВ-ВА ОПРЕДЕЛЁН. ИНТЕГРАЛА.

При введении понятия опред интегр предполагалось что a<b. Рассм случай когда a=b и a>b. Пологаем по опред где - любая ф-ия. , где - ф-ия интегрир-ая на отр [a;b] (a>b)

Св-ва:  1) если ф-ия f(x) интегрир-ая на отр [a;b], то ф-ия К* f(x), где к – const также интегрируема на этом отрезке, причём .

2) если ф-ия f(x) интегрир-ая на наиб из отр [a;b], [a,c],[c,b], то она интегрируема на 2-х др отр, причём при любом положении точек a,b,c.

3) если f(x) и ф-ии интегрир-ые на отр [a;b], то их сумма и разность также интегрируемы на этом отр, причём  

4) если ф-ия f(x) интегрир-ая на отр [a;b],где a<b и f(x), т.е. ф-ия «+» для всех х , тогда

5) если f(x) и ф-ии интегрир-ые на отр [a;b], где a<b и f(x) для всех х,  , тогда

6) если ф-ия f(x) интегрир-ая на отр [a;b],где a<b, то ф-ия также интегрируемв на [a;b], причём ⎥

 

30) Ф-ЛА НЬЮТАНА-ЛЕЙБНИЦА

Связь между опред и неопред  интегралом выражает след Т: опред интегр от непрерывной ф-ии =разности знач-й любой её первообр-й для верхн и нижн предела интегрирования . Док-во: рассм интегр с переменной верхн пределом: Ф(х)=, в кот – непрерывно, Ф`(х)=f(x). Пусть F(x) – первообр-е ф-ии f(x). т.е.  F`(x)= f(x). Итак ф-ии Ф(х)и F(x) имеют одинаковые производ-е на основании св-ва первообр заключаем что Ф(х)= F(x)+С. Поскольку F(а)=0, при х=а из послед рав-ва получаем 0= F(x)+С, откуда С=- F(а). Ф(х)= F(x)- F(а).

, где  F`(x)= f(x). В частности при х=b - ф-ла Ньютона-Лейбница.

Напр

 

 

31) НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ.

При введении понятия опред интегр предполаг-сь, что выполн-ся усл: 1) пределы  интегрир-ия а и b явл конечными; 2) подинтегр ф-ия f(x) ограничена на [a;b]. В этом случае опред интегр наз собственным. Если хотя бы одно из усл не выполн-ся, то интегр наз несобств.

Пусть ф-ия  у=f(x) непрерывна при любом x>a. Рассм интегр с переменным весрзн пределом. I(b)= (1) как было показано ранее интегр (1) явл диф ф-ей верхн предела. Предположим, что при b ф-ия (1) имеет конечн предел; этот предел наз сходящимся несобств интегр от ф-ии  по промеж от [a; + и обозн-ся Если этот предел не сущ или =, то несобств интегр наз расходящимся.

Геом несобств интегр от неотрицат ф-ии выраж-т площадь криволин трапеции, ограниченная сверху гр-ка ф-ии у=f(x), слева отр прямой х=а, снизу осью О_х ( в случае сходящегося интегр площадь явл конечн, в случае расходящ-ся )(рис.1).

Аналогично определ-ся несобств интегр с  нижним пределом . И несобст интегр с обоими пределами , где с – любая точка из (-).

Приведём без док-ва 2 теор, с  их помощью можно исслед-ть вопрос о сходимости некот несобств интегр. Т1: если при ха выполн-ся нерав-во сход-ся то сход-ся и . Причём расх-ся то и расх-ся . (рис.2)

Т2: если в промеж [a; + ф-ия у=f(x) меняет знак и cход-ся, то сход-ся и

 

32) ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ Ф-ИЙ.

Если ф-ия у=f(x) неограниченна в окрестностях точки С из отр [a;b]и непрер при , то несобств интегр от этой ф-ии опред-ся след обр:  (2) где . В случае с=b или с=а получаем (3) или (4). Несобст интегр (3) или (4) наз сходящ-ся, если сущ конечн предел соответств-го опред интегр, в противном случае интегр наз расход-ся. Несобств интегр (2) наз сходящ-ся если сущ и конечн оба предела в правой части. Для интегр от неогран-ых ф-ий справедливы теор аналогичны теор о сходимости некот несобств интегр, они примен-ся для исслед-ия вопроса о сходим-ти несобств интегр и оценки их значений. В кач-ве ф-ий с кот сравнивают подинтегр ф-ию часто выбирают Легко видеть что   сход-ся при , расх-ся при . Например: исслед-ть сход-ся ли , х=0. Подинтегр ф-ия не ограничена в окрест-ти точки х=0. и ; cход-ся , сход-ся и исходный интегр.

 

33) МАТ. МОДЕЛЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА.

Рассм демографич-ий пр-сс, мат ахр-ки кот привели к диф ур-ию. Из статистич данных известно, что число  новорожд за единицу вр, напр за единицу в год, пропорц-но числу населения в данном регионе с коэф-ом пропорции к₁, а число измеренных также пропорц-но числу населения с коэф-ом пропорц-ти к₂. Треб-ся устан-ть з-н, по кот определять числен-ть населения данного региона в завис-ти от вр. Обозначим ч-з у число жителей региона. Очевидно, что величина у явл ф-ией вр, т.е. y=y(t). Тогда по усл з-чи число родив-ся за ед вр = к₁*у, а число умер-ых за ед вр = к₂*у. прирост населения за ед вр будет к₁*у- к₂*у=( к₁- к₂)у. Разность к= к₁- к₂ наз коэф-ом естеств-го прироста.

Используя диф вычисл-я, т.е. , получаем, что за малый промежуток вр df прирост нас-ия постоянный Так обр получаем мат модель димограф-го пр-са.

 

34) ОСН. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕР. УР-Й 1-ГО ПОРЯДКА.

Диф ур-ем 1-го пор наз ур-е вида: (1) или (2) где - независимая переменная, - неизв-ая ф-ия, = её производная.

О.Решение диф ур-ий (1)или(2) наз ф-ия такая что

О.Общим реш диф ур-ия 1-го пор наз такое его реш, зависящая от произвольной С, из кот получ-ся люб частное реш, в частности и соотв-е допустимое нач усл з-чи Коши.

З-чи Коши для диф ур-ий 1-го пор  сост в след: необходимо н-ти реш у=(х), ур-ие (1) или (2) удовлетв-т усл у(х₀)=у₀ называемому нач усл.

Общее реш диф ур-ий 1-го пор имеет  вид: . Т. Коша: если в ур-ие y`=F(x;y) и её частная производная F`(x;y) непрер-на в некот замкнутой об-ти D  и точка (х₀; у₀), то сущ ед реш этого ур-ия удовлетв-го нач историю при х=х₀, у=у₀.

О.Реш получ-ые из общ реш диф ур-ия путём залания произвольной постоянной опред-го числ-го знач-я наз частными .На практике частное реш получ-ся из общего непрям, задним значений производной постоянной, а сходя из тех усл, кот должны удовл-ть искомое частное реш. Задание таких усл наз заданием нач усл и запис-ся F(x₀)=y₀).

З-ча нахождения частного реш удовлетв-го им нач усл  у=у₀, наз з-чей Коша. С геом точки зрения общ реш предоставл-ет семейство кривых, а частное реш – отдельные кривые этого семейства. Среди диф ур-ий встреч-ся такие, кот имеют реш, не получ-ся из общ реш не при каких значениях С. Такое реш наз особым. Напр ур-ие имеет вид имеет общ реш В тоже вр ф-ия у=1 также явл реш этого ур-ия, хотя это реш не может быть получено из общ ни при каких значениях С, т.е. явл особым реш.

 

35) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УР-Я 1-ГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

О.: Ур-е вида наз-ся ур-м с раздел-ми переменными оно может быть приведено к ур-ю с раздел-ми перем-ми  путем деления обеих его частей на вырожение получаем

  откуда

Равенство (1) можно считать суммой 2х диффер-лов и интегрируя его  получим . Выражение (2) явл. Общ-м реш-я ур-я (1).

 

36) ОДНОРОДНЫЕ ДИФ-Е УР-Я 1-ГО ПОРЯДКА.

О.: Ур-е наз-ся однородн-е ур-е 1-го пор-ка, если ф-я F(x;y) мож. быть предс-на как ф-я отнош-я своих элементов        (3). Однор-е диф-е ур-е (3) прив. к виду ур-я с раз-ми перем-ми подстановкой где u – нов. неизв-я ф-я. Произведя замену y=xu мы мы придем к ур-ю с раздел-ми перем-ми. и ур (3) примет вид . Разделим в посл. ур. переменные . Выполняя интегр-е найдем или =. Взять интеграл посл-го равенства и выполнив замену получ. общ. решение однородного ур-я. 

 

37) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 ПОРЯДКА.

О. Лин. дифф. уравнением 1 порядка наз. уравнение, содержащ. у и y’ 1 степени  и содерж. их произведение.