Формирование понятий на уроках математики в начальной школе

В каждом предмете имеются, с одной стороны, существенные признаки, общие для класса предметов, а с другой – специфические, характерные для отдельной группы предметов.

Понятия, отражающие существенные общие признаки класса предметов, называются родовыми или родами. Объем родового понятия включает объем нескольких понятий меньшей степени общности. Общий признак родового понятия называется родовым признаком. Родовой признак определяет существенно общее (тождественное) в содержании класса предметов, явлений действительности.

Понятия меньшей степени общности, отражающие свойства отдельных предметов (явлений), входящих в объем родового понятия, называются видовыми или видами. Содержание видовых понятий отражает специфические, характерные свойства групп предметов; оно выражается в так называемых видовых признаках. Признак, по которому один вид отличается от других видов одного и того же рода, называется признаком видового отличия. Объёмы видовых понятий полностью входят в объем родового понятия, являются его частью.

Видовые понятия, объем которых составляет часть родового понятия, называются подчинёнными. По отношению к родовому, подчиняющему понятию они находятся в подчинении, а по отношению друг к другу – в соподчинении. А сами видовые понятия, имеющие общий ближайший род, называют соподчинёнными.

При отношении  подчинения понятия подчиняются  друг другу, как по объёму, так и по содержанию. Подчинение по объёму рассмотрено выше. По содержанию это отношение устанавливается на основе общего родового признака, содержащегося в видовом понятии (как части его содержания). Определяющую роль играет связь по содержанию, потому что отношение по объёму устанавливается на основе родового признака, содержащегося во всех видовых понятиях, имеющих общий род. Но необходимо иметь в виду, что установление отношения между понятиями, как по объёму, так и по содержанию – единый неразделимый процесс.

Отношение подчинения – очень важный вид отношения между понятиями. Невозможно дать ни одного определения, не подчинив видовое понятие родовому». «…»

«При оперировании понятиями, находящимися в отношении подчинения, часто допускаются ошибки, являющиеся следствием неправильного подведения видового понятия под родовое или нахождения видовых понятий какого-либо родового понятия. Чтобы не допускать подобных ошибок, необходимо знать следующие правила:

1. Подчинённое понятие – это видовое понятие, а подчиняющее понятие – это родовое понятие.

2. То, что присуще подчиняющему понятию, то присуще и подчинённому понятию, но не все, что присуще подчинённому понятию, можно найти в подчиняющем понятии.

Например, все, что присуще понятию «дерево» (подчиняющее понятие), то свойственно  и понятию «хвойное дерево» (подчинённое понятие). Однако не все, что присуще хвойным деревьям, будет присуще всем деревьям. То, что присуще хвойному дереву и что отличает этот вид деревьев от лиственных, не входит в содержание родового понятия «дерево» (это видовой признак)». [6, с. 14-19]

«Определённому родовому понятию, как правило, соответствуют не одно видовое понятие, а несколько. Так, понятию «лиственные деревья» соответствует – берёза, клён, дуб, ясень, осина и т. д.; понятию «планеты» – Земля, Марс, Юпитер и т. д.

Мыслительная  операция, в результате которой раскрывается объем родового понятия, т. е. определяются его виды, называется в логике делением объёма понятия.

Понятие, объем которого делится, называется делимым, а понятия, получающиеся в результате деления, называются членами деления.

Деление объёма понятия производится не произвольно, а на основе какого-либо признака, присущего родовому и видовым понятиям. Признак, по которому производится деление объёма родового понятия на виды, называется основанием деления». [6, с. 20]

 «Операцию деления понятий дети учатся выполнять начиная с I класса. Например, они делят такие понятия, как:

«Учебные  вещи»: «книга», «тетрадь», «карандаш» и т. д.;

«Одежда»: «пальто», «костюм», «платье» и т. д.;

«Рыба»: «щука», «ёрш», «окунь» и т. д.;

«Дерево»: «берёза», «сосна», «ель» и т. д.;

Подобного рода логические операции производятся на каждом уроке уже в начальной  школе. «…»

При осуществлении  операции деления объёма понятия необходимо следовать определённым правилам:

1. Члены деления (видовые понятия) должны исключать друг друга, т. е. каждый предмет входит в объем только одного видового понятия.

2. При одном и том же делении нужно пользоваться одним основанием деления.

Любое понятие можно разделить по разным основаниям, но в каждом отдельном  случае деления понятия должен выдерживаться  один признак в качестве основания  деления.

Примеры деления по разным признакам понятия  «число»: 1) положительное и отрицательное; 2) целое и дробное; 3) простое и составное; 4) именованное и отвлечённое; 5) чётное и нечётное; 6) рациональное и иррациональное; 7) мнимое и действительное.

1. Члены деления (видовые понятия) должны быть ближайшими видовыми понятиями данного родового, иначе говоря, деление должно быть непрерывным, не перескакивать через виды, а переходить от рода к его ближайшим видам.

Неверно деление типа: «Животные – кошка, собака, верблюд, слон, бегемот и т. д.». Верно: «Животные – хищные и нехищные, дикие и домашние и т. д.».

Нарушение этого правила называется скачком в делении. «…»

2. Деление должно быть соразмерным, т. е. сумма объёмов видовых понятий должна равняться объёму делимого родового понятия». [6, с. 21-23]

«С точки зрения операции сравнения все понятия в логике делят на сравнимые и несравнимые.

Сравнимыми называются понятия, имеющие какой-либо общий признак. Общим у сравнимых понятий является родовое понятие (родовой признак), в объем которого они входят. Например, «атом» и «молекула», «чёрный» и «белый», «ель» и «берёза» имеют общий род: «структурные формы вещества», «цвет», «дерево».

Несравнимыми называются понятия, которые невозможно сравнить ни по объёму, ни по содержанию. Несравнимые понятия не имеют общего рода, и их содержание существенно различно. Например: «стол» и «верблюд», «соловей» и «карандаш». «…»

По  характеру отношений сравнимые  понятия делятся на две группы: совместимые и несовместимые.

Совместимыми  называются понятия, имеющие общее  ближайшее родовое понятие (родовой признак). Их видовые признаки совпадают частично или полностью. Отсюда следует, что объёмы совместимых понятий могут совпадать частично, например: «Планета» – «Земля» или полностью, например: «Столица России» – «Москва».

Совместимые понятия делятся на 3 вида: равнозначные, перекрещивающиеся, подчинённые».[6, с. 25]

«Равнозначные понятия (тождественные) – это совместимые понятия об одном и том же предмете (т. е. понятия, имеющие общий родовой признак) и отличающиеся по видовым признакам, характеризующим различные стороны данного предмета. «…»

Перекрещивающимися  понятиями называются видовые понятия, имеющие общий род, а видовые признаки каждого из них отражают как специфические, так и частично общие стороны (свойства) предметов и явлений». [6, с. 27-28]

«Несовместимыми называются понятия, имеющие общее ближайшее родовое понятие (родовой признак) и исключающие друг друга видовые признаки, например: «смелый» – «несмелый», «белый» – «чёрный», «глубокий» – «мелкий». Объёмы совместимых понятий не содержат в себе общих элементов. В основе отношения несовместимых понятий лежит исключение их друг другом по объёму и по содержанию. Общим же для совместимых и несовместимых понятий является то, что они имеют общее ближайшее родовое понятие (являются сравнимыми).

К несовместимым  относятся противные и противоречащие понятия. Несовместимыми могут быть и соподчинённые понятия.

Соподчинённые понятия отображают виды одного общего для них и подчиняющего их рода. Объёмы соподчинённых понятий составляют самостоятельные части объёма родового понятия. Отношение между видами, подчинёнными одному общему для них роду, называется отношением соподчинения». [6, с. 30]

«Противными называются несовместимые (соподчинённые) понятия, видовые признаки которых обусловливают наибольшее различие их в содержании и полное исключение их совпадения по объёму. Если при делении родового понятия на виды по определённому основанию располагать видовые понятия по степени различия их признаков, то образуется ряд соподчинённых понятий. При этом крайние в данном ряду понятия будут иметь наибольшие отличия между собой. Говорят, что эти два понятия находятся в отношении противности. «…»

Примеры: 1) белый, белёсый, светло-серый, серый, темно-серый, черноватый, чёрный.

Содержание обоих противных понятий носит вполне определённый, положительный, утвердительный характер, и эти понятия не могут существовать одно без другого. Так, без верха нет низа, без белого – чёрного и т. д. Слова, выражающие противные понятия, называются антонимами. «…»

Противоречащими понятиями называются два несовместимых соподчинённых понятия, сумма объёмов которых полностью исчерпывает объём общего родового понятия, а видовые признаки имеют противоположный характер (признаки одного понятия полностью отрицают другое, и наоборот), например: «белый»–«небелый», «высокий» – «невысокий». Эти понятия от противных отличаются тем, что сумма их объёмов равна объёму родового понятия». [6, с. 33-36]

«Все рассмотренные выше виды понятий по их отношениям можно представить схематично, как показано на схеме 1.2.». [6, с. 37]

Схема 1.2. Виды отношений между понятиями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

1.2. Определение  понятий.

«Появление в математике новых понятий, а значит и новых  терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение» [5, с. 48]

«Определение – логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Способы определения различны: (схема 1.3.):

                                    Схема 1.3. Определение понятий.

      

 

 

 

 

 

 

 

Явные определения  имеют форму совпадения двух понятий. Например, периметр – это сумма сторон какой-нибудь геометрической фигуры.

Периметр    Сумма          

а = в, а есть в

      а                 в

Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий.

В начальной  школе в основном встречаются неявные определения: остенсивные и контекстуальные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации. Например: 3 + х = 9

х – неизвестное число, которое надо найти. Какое из чисел 2, 3, 6, 7 надо поставить вместо x, чтобы равенство было верным? Это число – 6.

Остенсивные определения используются для введения терминов, путём демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения называют ещё определения путём показа. Например, таким способом определяются в начальной школе равенства и неравенства:

2 ∙ 7 > 2 ∙ 6   9 ∙ 3 = 27

78 – 9 < 78   6 ∙ 4 = 4 ∙ 6

37 + 6 > 37   17 – 5 = 8 + 4

Это неравенства  Это равенства

Иногда встречаются  определения сочетающие контекст и показ». [2, с. 50]

На следующих ступенях обучения, появляются явные определения, в которых, отождествляются два понятия. Одно из них называют определяемым понятием, другое – определяющим. Через определяющее понятие раскрывается содержание определяемого понятия. Структуру таких определений можно представить рисунком: (рис. 1.2.)

 

 +     Рис.1.2. 

  

        Определяющее понятие

 

Например: прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые: (рис 1.3.)

 

    Рис.1.3. 

= ,   +

                       [2]

Так как определение понятия  через род и видовое отличие  является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил:

1. Определение должно быть соразмерным.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

3. Определение должно быть ясным.

4. Одно и тоже понятие через род и видовое отличие можно определить по-разному.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются два разных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включённых в одно определение, вытекают свойства, включённые в другое, и наоборот. [5]