Контрольная работа по «Финансовая математика»

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Ноября 2014 в 16:16, контрольная работа

Краткое описание

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;

Прикрепленные файлы: 1 файл

Финансовая математика.doc

— 335.50 Кб (Скачать документ)



Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

(Финуниверситет)

Тульский филиал Финуниверситета

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Финансовая  математика»

Вариант: 3

       

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент  4 курса

                                                    факультета  ФиК

                                                    специальности  ФиК

                                                    группы дневной

                                                    Казакова Д.С

                                                     № л.д. 10ффд12123

                                           Проверил:  Манохин Е.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 Тула 2013.

Задание 1

В табл. 1.1 представлены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

Таблица 1.1

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Y(t)

31

40

47

31

34

44

54

33

37

48

57

35

42

52

62

39


 

  1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3;     α2 = 0,6; α3 = 0,3.
  2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
  3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
        • случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
        • независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения      r1 = 0,32;
  • нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
  1. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
  2. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

 

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения   по формулам:

Таблица 1.2

t

Y(t)

t-t

(t-t

)

Y-Y

(Y-Y

)
(t-t
)

1

31

-3,5

12,25

-8,3

28,9

2

40

-2,5

6,25

0,8

-1,9

3

47

-1,5

2,25

7,8

-11,6

4

31

-0,5

0,25

-8,3

4,1

5

34

0,5

0,25

-5,3

-2,6

6

44

1,5

2,25

4,8

7,1

7

54

2,5

6,25

14,8

36,9

8

33

3,5

12,25

-6,3

-21,9

36

314

0

42

0

39


 

Произведем расчет:

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3

t

1

2

3

4

5

6

7

8

Y(t)

31

40

47

31

34

44

54

33

Yp(t)

36,00

36,93

37,86

38,79

39,72

40,65

41,58

42,51


 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 1.4) используя следующие формулы:

Таблица 1.4

Модель Хольта-Уинтерса

 

t

Y(t)

a(t)

b(t)

F(t)

Y

(t)

Абс. погр.,

E(t)

Отн. погр.,

в %

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-

35,07

0,93

0,7879

-

 

-

1

31

36,03

0,94

0,8597

30,91

0,09

0,29

2

40

36,96

0,94

1,0825

40,03

-0,03

0,08

3

47

37,63

0,85

1,2576

48,14

-1,14

2,42

4

31

38,74

0,93

0,7953

30,32

0,68

2,20

5

34

39,64

0,92

0,8585

34,11

-0,11

0,31

6

44

40,58

0,93

1,0835

43,90

0,10

0,22

7

54

41,94

1,06

1,2755

52,21

1,79

3,32

8

33

42,55

0,92

0,7835

34,20

-1,20

3,62

9

37

43,36

0,89

0,8554

37,32

-0,32

0,87

10

48

44,26

0,89

1,0840

47,94

0,06

0,12

11

57

45,02

0,85

1,2699

57,60

-0,60

1,05

12

35

45,51

0,74

0,7748

35,94

-0,94

2,67

13

42

47,11

1,00

0,8771

39,57

2,43

5,79

14

52

48,07

0,99

1,0827

52,15

-0,15

0,29

15

62

48,98

0,97

1,2674

62,29

-0,29

0,47

16

39

50,07

1,00

0,7773

38,70

0,30

0,76

             

24,50


 

 

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

 

t

E(t)

Точка поворота

E(t)2

[E(t)-E(t-1)]2

E(t)xE(t-1)

1

0,09

ххх

0,008

-

-

2

-0,03

0

0,00

0,02

0,00

3

-1,14

1

1,29

1,22

0,04

4

0,68

1

0,46

3,30

-0,77

5

-0,11

1

0,01

0,62

-0,07

6

0,10

0

0,01

0,04

-0,01

7

1,79

1

3,22

2,88

0,17

8

-1,20

1

1,43

8,94

-2,14

9

-0,32

1

0,10

0,76

0,38

10

0,06

1

0,00

0,14

-0,02

11

-0,60

0

0,36

0,43

-0,03

12

-0,94

0

0,87

0,11

0,56

13

2,43

1

5,92

11,35

-2,28

14

-0,15

1

0,02

6,68

-0,37

15

-0,29

1

0,09

0,02

0,04

16

0,30

ххх

0,09

0,35

-0,09

Сумма

0,68

10,00

13,89

36,86

-4,59


 

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 1.4) составляет 24,50, что дает среднюю величину 24,50/16 = 1,53%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

 

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 1.5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=10.

Рассчитаем значение :

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.

Так как количество поворотных точек р=10 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

1,10<1,35<1,37 – критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда. В этом случае проверим независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции.

2) по первому коэффициенту  автокорреляции r(1):

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: =0,33 > rтабл. = 0,32 – значит уровни зависимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

,

где   - максимальное значение уровней ряда остатков ;

Информация о работе Контрольная работа по «Финансовая математика»