Контрольная работа по "Финансовой математике"

1. Получен кредит в размере 1 млн. руб. под 9% ежемесячно. Какая сумма должна быть возвращена через 10 месяцев при простом проценте? Какая должна быть процентная ставка при сложном проценте, чтобы за это же время возвращаемая сумма была та же, что при простом проценте?

А) сумма кредита через 10 месяцев при простом проценте

Р= 1 млн. руб.; n= 10 месяцев; i= 9%=0,09

S= P∙(1+n∙i) = 1∙(1+10∙0,09)= 1,9 млн. руб.

Б) каков будет сложный  процент, чтобы за 10 месяцев отдать 1,9 млн. руб. получив кредит в размере 1,9 млн. руб.

S= P∙(1+i_сл)ⁿ, i_сл=?

1,9=1∙(1+i_сл)¹⁰

1,9= (1+i_сл)¹⁰

  1

 

1,9=(1+i_сл)¹⁰

= 1+i_сл

1,020=1+i_сл

1,020-1= i_сл

i_сл= 0,020 (2%)

Сложный процент будет  составлять 2%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Заемщик должен кредитору три различные суммы: 1 тыс. руб. с выплатой через три месяца, 9 тыс. руб. с выплатой через 4 месяца, 10 тыс. руб. с выплатой через 6 месяцев. Через какой срок заемщик может погасить весь долг сразу, если кредиты брались под простую годовую ставку 11%?

Возвращаемы суммы:

S₁= 1 тыс. руб., n= 3 месяца

S₂= 9 тыс. руб., n= 4 месяца

S₃= 10 тыс. руб., n= 6 месяцев

i= 11% (годовая простая)

Вычислим современные  стоимости по ставке простого процента:

1= P₁∙(1+0,11∙ ) = P₁∙1,02, P₁₌ = 0,98

9= P₂∙(1+0,11∙ ) = P₂∙1,03, P₁₌ = 8,73

10= P₃∙(1+0,11∙ ) = P₃∙1,05, P₃₌ = 9,52

Современная стоимость всего  долга:

Р=Р₁+Р₂+Р₃= 0,98+8,73+9,52=19,23

S= P∙(1+ ∙i_пр)

S= S₁+S₂+S₃= 1+9+10= 20 тыс.руб.

20= 19,23∙(1+ ∙0,11)

1+ ∙0,11= = 1,040

∙0,11= 0,040

n= 4%

 

 

 

 

3   Фирме требуется накопить 200 тыс.руб. для покупки оборудования через 2 года. Для этого в конце каждого полугодия на счет в банке собираются делать взнос. Какова должна быть величина этого взноса, если банк начисляет проценты ежеквартально по ставке сложных 19% годовых? Найти современную стоимость этой ренты.

      S= 200000 руб.; n=2; i=19%=0,19.;

      P= 2 – число платежей в году;

      m= 4 – число начислений процентов в году;

      S= ∙ = ∙ = ∙ = ∙ = ∙42,9

     = = = 4662 – величина взноса

      А= S∙(1+ ) - современная стоимость

      А = 200000∙(1+ ) = 200000∙(1+0,02) = = 170706,72 руб.

       Величина  взноса составляет около 4662 руб., современная стоимость ренты  – 170706,72 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4    Некто хочет  вложить определенную сумму в  финансовую операцию на срок 6 месяцев. Он рассматривает следующие  варианты:

      А) положить  в банк под простые 29% годовых;

      Б) положить  в банк под сложные 29% годовых с начислением в конце каждых двух месяцев;

      В) купить  облигацию по курсу 81% с тем  же сроком погашения 

      Какой из  вариантов выбрать?

А) наращенная сумма

S₁= P∙(1+i∙t) = P∙(1+0,29∙ ) = Р∙1,145

Б) наращенная сумма

S₂= P∙(1+i) = P∙(1+0,29) = Р∙1,065

В) номинал облигации S, курс 81%

S∙0,81=Р

S= = Р∙1,29

В случае: а) сумма Р увеличилась на 14,5%

                 б) увеличилась на 6,5%

                 в) 29%

Выбираем вариант в.

      Вкладывать  определенную сумму выгоднее  под сложный процент на большой  срок, на небольшой срок (менее  года) выгоднее купить облигацию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5   Банк учел вексель по простой учетной ставке d=9% годовых за 101 день до срока   выплаты и кроме того удержал комиссионные в размере 0,1% от   номинала. Оценить доходность этой операции в виде годовой ставки: а) простых б) сложных процентов.

      Уч. Ставка 9%, до срока выплаты 101 день, комиссионные  к=0,1%=0,001, S – цена векселя

      Стоимость  операции : Р=S∙(1-t∙d)-S∙k

      P=S∙(1-0,09∙ ) - S∙0,001= S∙0,995-S∙0,001= S∙0,994 (99,4% от номинала)

      а) по  ставке простого процента

      =Р∙(1+i_пр∙t₁₀₁)

       1,006= 1+ i_пр∙

            0,006= i_пр∙0,280

        i_пр= =0,021=21%

         Доходность этой операции за  год 2,1%

         Б) по ставке сложного процента

          = Р∙(1+i_сл)

           1,006= (1+ i_сл)

           1,006 = 1+ i_сл

                  1,006^3,57=1+ i_сл

                  1,021=1+ i_сл

            i_сл= 0,021=2,1%

         Доходность этой операции 2,1%

 

 

 

 

 

6     Выбрать решение о поставке продукции в условиях неопределенности спроса по следующей матрице полезности (к=0,1)

     

	0	10	20	30	40
10	-9	9	9	9	9
20	-10	8	18	18	18
30	-11	7	17	27	26
40	-12	6	16	26	36

 

         По критерию Лапласа:

        W₁= = = 5,4

         W₂= = = 10,4

          W₃= = = 13,2

           W₄= = = 14,4

        Следует  принять 4-ю стратегию, так как  по критерию Лапласа там получается  наибольшая прибыль

        По  критерию Вальда:

        W₁= max{-9; -10; -11; -12}=-9

         W₂= min{6; 7; 8; 9}=6

         Следует принять 1-ю стратегию

         По критерию Гурвица:

         W1= -9∙0,1+6∙0,4=-0,9+2,4=1,5

          W2= -10∙0,1+7∙0,4=-1+2,8=1,8

           W1= -11∙0,1+8∙0,4=-1,1+3,2=2,1

           W1= -12∙0,1+9∙0,4=-1,2+3,6=2,4

          W= max{1,5; 1,8; 2,1; 2,4}= 2,4

         Следует принять 4-ю стратегию