Контрольная работа по "Финансовой математике"

Оглавление

 

 

 

 

Задача 1

 

Найти сумму простых процентов  по кредиту 1 000 у. д. е на 53 дня при 

а) 8 % в год;

б) 3 % в месяц.

В случае а) найти годовую учетную  ставку.

 

Решение:

 

Исходя из экономического смысла задачи сумма процентов

находится по формуле:

т.е.

(у.д.е.)

(у.д.е.)

Связь между учетной и процентной ставками в единицу времени дается формулой:

  .

 

 

 

Задача 11

 

Вексель с номинальной стоимостью 100 + 400 у.д.е. с процентной ставкой (0,1 +12) % годовых сроком на 0 + 70 дней продается через 40 – 0 дней после подписания векселя банку с учетной ставкой (10-0,1) % годовых. Найти норму прибыли продавца и банка.

 

Решение:

Найдем  фактическую стоимость векселя  по формуле:

где – накопленная стоимость, - начальная стоимость, - простая процентная ставка, - период времени

Чтобы найти  цену продажи, необходимо дисконтировать фактическую стоимость  по формуле:

Норма прибыли, как известно, находится  по формуле:

где - начальная сумма; - накопленная сумма, - время накопления. Тогда норма прибыли продавца

Норма прибыли банка

 

Задача 12

 

Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет 28% в год, но через 2 года она понизится  до 20 %.

Найти накопление 1500 у.д.е. за 5 лет.

 

Решение:

Если простые процентные ставки в различные единицы времени  различны: то накопление за единиц времени находится по формуле

За пять лет будет  накоплено 4246,7 у.д.е.

 

Задача 22

 

Найти накопленную стоимость суммы 250 у.д.е. за 75 дней, начиная от t = 0 при силе процента в год.

 

Решение:

 

Накопленная стоимость при переменной силе процента определяется выражением:

Подставляя числа, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №32.

 

Пусть сила процента в год определяется формулой

 

 

 

Найти дисконтирующий множитель и затем текущую стоимость непрерывного потока наличности с нормой р = 1 в год за 8 лет, начиная с момента t = 0.

 

Решение:

Находим дисконтирующие множители  по интервалам времени:

Дисконтирующий множитель при  составит

при , 

при , 

Тогда дисконтирующий множитель  можно записать:

Текущая стоимость потока наличности:

 

Задача 42

 

Задана сделка в виде дискретного потока наличности

- 5	-3	6	9
1	2	4	6

 

Требуется: а) составить уравнение стоимости; б) определить, имеет ли сделка доходность; в) решить уравнение стоимости, если сделка имеет доходность, и вычислить с точностью до одного процента.

 

Решение:

Уравнение стоимости для данной сделки примет вид:

∑ С_tj * (1 + i)^-tj = 0

-5 (1 + i)^-1 + -3(1 + i)^-2  + 6 (1 + i)^-4 + 9 (1 + i)^-6 = 0

Далее исследуем поток  наличности на доходность

Для этого определим накопленные к моменту времени t_m итоговые суммы

А₁ = - 5

А₂ = - 5 - 3 = - 8

А₃ = - 8 + 6 = -2

А₄ = -2 + 9 = 7

Таким образом, последовательность { А_i} = {-5; -3; 6; 9} имеет одну переменную знака, причем А₁ ≠ 0, А_n ≠ 0

Следовательно, сделка имеет доходность.

Решим уравнение стоимости.

Упростим данное уравнение  умножив обе его части на множитель (1 + i)⁶

-5 (1 + i)⁵ + -3 (1 + i)⁴  + 6 (1 + i)² + 9 = 0

Введем функцию:

f(i) = -5 (1 + i)^-1 + -3 (1 + i)^-2  + 6 (1 + i)^-4 + 9 (1 + i)^-6 = 0

Решение уравнения будем искать при i >0. Найдем интервал, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

Такой интервал находится  подбором

Предположим,

f (0) = - 5 - 3 + 6 + 9 > 0,  

f (0,5) = -5 *1,5⁵ - 3 *1,5⁴  + 6 *1,5² + 9 < 0

В качестве исходного интервала можно взять {0; 0,25}. Найдем середину этого интервала и вычислим значение f в этой точке.

f (0,125) = -5 *1,125⁵ - 3 *1,125⁴  + 6 *1,125² + 9 = -9,01 – 4,805 + 7,594 + 9 = 2,779.

Выберем из двух интервалов тот, на концах которого функция f принимает значения различных знаков.

Этот интервал {0,125; 0,25}. Повторим этот процесс:

f (0,1875) = -5 *1,1875⁵ - 3 *1,1875⁴  + 6 *1,1875² + 9  = -11,81 – 5,97 + 8,46 + 9 = -0,32 < 0

Аналогично, новый интервал будет {0,125; 0,1875}. Возьмем его середину i₃ = 0,15625

f (0,15625) = -5 *1,15625⁵ - 3 *1,15625⁴  + 6 *1,15625² + 9  = -10,33 – 5,36 + 8,02 + 9 = 1,33 > 0

Следующим интервалом будет {0,15625; 0,1875}. Его серединой будет i₄ =0,171875

f (0,171875) = -5 *1,171875⁵ - 3 *1,171875⁴  + 6 *1,171875² + 9  = -11,05 – 5,66 + 8,24 + 9 = 0,53 > 0

Новый интервал будет {0,171875; 0,1875} При данной длине интервала, возможная погрешность будет меньше 1%.

Итак,

i₀ ≈ (0,171875 + 0,1875)/2 ≈ 0,1797 ≈ 17,97%

Доходность сделки равна 17,97 %

 

Библиографический список

 

1. Капитоненко В. В.  Задачи и тесты по финансовой математике : учеб. пособие  / В. В. Капитоненко. – М. : Финансы и статистика, 2007.
2. Соловьёв А. К. Актуарные расчёты а пенсионном страховании / А. К. Соловьёв. – М. : Финансы и статистика, 2006.
3. Томас М.  Математика рискового страхования : пер. с нем. / М. Томас. –М. : Олимп  –  Бизнес, 2005.
4. Шапкина А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций.  3-е изд. / А. С. Шапкина. – М. : Дашков и К^о, 2005.
5. Фисенко А. И. Основы финансово-экономических расчётов : учеб. пособие для вузов / А. И. Фисенко. – Владивосток : Изд-во Дальневост. ун-та, 2003.
6. Бадюков В. Ф., Серкин М. Ю., Фещенко Н. В. Страхование : учеб. пособие  / В. Ф. Бадюков, М. Ю. Серкин, Н. В. Фещенко. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2003.