Решения сложных финансово – экономических и математических задач

 

 

Цикл  приведен в таблице (1,3; 1,1; 2,1; 2,3; ).

Из  грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 30. Прибавляем 30 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 30 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

 

Проверим  оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 5; 0 + v₂ = 5; v₂ = 5

u₁ + v₃ = 15; 0 + v₃ = 15; v₃ = 15

u₂ + v₃ = 20; 15 + u₂ = 20; u₂ = 5

u₂ + v₁ = 6; 5 + v₁ = 6; v₁ = 1

u₃ + v₃ = 8; 15 + u₃ = 8; u₃ = -7

u₃ + v₄ = 4; -7 + v₄ = 4; v₄ = 11

u₁ + v₅ = 8; 0 + v₅ = 8; v₅ = 8

 

 

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных  клеток, для которых  u_i + v_i > c_ij

(2;2): 5 + 5 > 7; ∆₂₂ = 5 + 5 - 7 = 3

(2;4): 5 + 11 > 11; ∆₂₄ = 5 + 11 - 11 = 5

(2;5): 5 + 8 > 10; ∆₂₅ = 5 + 8 - 10 = 3

max(3,5,3) = 5

Выбираем  максимальную оценку свободной клетки (2;4): 11

Для этого в перспективную  клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных  вершинах многоугольника чередующиеся знаки  «-», «+», «-».

 

 

Цикл  приведен в таблице (2,4; 2,3; 3,3; 3,4; ).

Из  грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 60. Прибавляем 60 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 60 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

 

 

Проверим  оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 5; 0 + v₂ = 5; v₂ = 5

u₁ + v₃ = 15; 0 + v₃ = 15; v₃ = 15

u₃ + v₃ = 8; 15 + u₃ = 8; u₃ = -7

u₃ + v₄ = 4; -7 + v₄ = 4; v₄ = 11

u₂ + v₄ = 11; 11 + u₂ = 11; u₂ = 0

u₂ + v₁ = 6; 0 + v₁ = 6; v₁ = 6

u₁ + v₅ = 8; 0 + v₅ = 8; v₅ = 8 
 

 

 

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию  u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 5*70 + 15*30 + 8*100 + 6*90 + 11*60 + 8*80 + 4*20  = 3520

б) метод наименьшей стоимости

Математическая  модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij,    (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i,  i = 1,2,…, m,   (2)

∑x_ij = b_j,  j = 1,2,…, n,   (3)

Стоимость доставки единицы  груза из каждого  пункта отправления  в соответствующие  пункты назначения задана матрицей тарифов

 

 

Проверим  необходимое и  достаточное условие  разрешимости задачи.

∑a = 200 + 150 + 100 = 450

∑b = 90 + 70 + 110 + 80 + 100 = 450

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в  распределительную  таблицу.

 

 

Этап I. Поиск первого  опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть  метода заключается  в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая  ей соответствует, помещают меньшее из чисел  a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают  либо строку, соответствующую  поставщику, запасы которого полностью  израсходованы, либо столбец, соответствующий  потребителю, потребности  которого полностью  удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы  запасы поставщика и  удовлетворены потребности  потребителя.

Из  оставшейся части  таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс  распределения запасов  продолжают, пока все  запасы не будут распределены, а потребности  удовлетворены.

Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 100, потребности 80. Поскольку минимальным  является 80, то вычитаем его.

x₃₄ = min(100,80) = 80.

 

 

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 200, потребности 70. Поскольку минимальным  является 70, то вычитаем его.

x₁₂ = min(200,70) = 70.

 

 

Искомый элемент равен  6

Для этого элемента запасы равны 150, потребности 90. Поскольку минимальным  является 90, то вычитаем его.

x₂₁ = min(150,90) = 90.