Понятие эконометрики и ее место в экономических исследованиях

 

Проанализируем статистическую значимость параметров регрессии, предварительно рассчитав их стандартные ошибки.

Стандартная ошибка регрессии 

 

Следовательно, дисперсии и стандартные  ошибки коэффициентов таковы:

Рассчитаем соответствующие t-статистики:

Два пареметра имеют t-статистики, превышающие тройку, что является признаком их высокой статистической значимости.

Определяем 95%-е доверительные интервалы  для коэффициентов:

2,9619423 – 2,306 ´ 1,8929 < а < 2,969423 + 2306 ´ 1,8929;

-1,4031 < a < 7,3270;

0,124189 – 2,306 ´ 0,0212 < b₁ < 0,124189 + 2306 ´ 0,0212;

0,0753 < b₁ < 0,1731;

3,553841 – 2,306 ´ 1,0146 < b₂ < 3,553841 + 2306 ´ 1,0146;

1,2141 < b₂ < 5,8935.

Коэффициент детерминации R² рассчитывается по формуле:

R² = 1 – 24,2408 / 1087,636 = 0,9777.

Анализ статистической значимости коэффициента детерминации R² осуществляется на основе F-статистики:

F = 0,9777 / (1 – 0,9777) ´ 8 / 2 = 175,3732.

Для определения статистической значимости F-статистики сравним ее с соответствующей критической точкой распределения Фишера:

F_кр = F(α; m; n – m – 1) = F(0,05; 2; 8) = 4,46.

Так как F_расч = 175,3732 > F_кр = 4,46, то F - статистика, а следовательно, и коэффициент детерминации R² статистически значимы. Это означает, что совокупное влияние переменных Y и X на переменную S существенно. Этот же вывод можно было бы сделать без особых проверок только по уровню коэффициента детерминации. Он весьма близок к единице.

Статистику DW Дарбина-Уотсона вычислим по формуле:

DW = 41,87375 / 24,24058 =1,72742.

Для проверки статистической значимости DW воспользуемся таблицей критических точек Дарбина-Уотсона. При уровне значимости α = 0,05 и числе наблюдений n = 11 имеем:

d₁ = 0,658; d_u = 1,604.

Так как 1,604 < DW < 2,396 (d_u < DW < 4 – d_u ), то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется, т.е. считаем, что автокорреляция остатков отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

В силу того, что коэффициент b₂ является статистически значимым, можно утверждать, что с ростом процентной ставки увеличивается объем сбережений (коэффициент b₂ имеет положительный знак). Ответ будет статистически обоснованным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модели  временных рядов

Одномерный временной  ряд

Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:

• данные, характеризующие совокупность различных объектов 
  в определенный момент (период) времени;
• данные, характеризующие один объект за ряд последова 
  тельных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Пусть исследуется показатель Y. Его значение в текущий момент времени t обозначают y_t ; значения Y в последующие моменты обозначают y_t+1, y_t+2,…, y_t+k, …; значения Y в предыдущие моменты обозначают y_t-1, y_t-2,…, y_{t - k}, …При изучении зависимостей между такими показателями либо при анализе их развития во времени в качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также само время. Модели такого типа называют динамическими.

Временной ряд — это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

1. факторы, формирующие тенденцию ряда;
2. факторы, формирующие циклические колебания ряда;
3. случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 8.1.1 а) показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, спрос на прохладительные напитки в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 8.1.1 б) представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической  компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной и отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 8.1.1 в).

 

Рис. 8.1.1. Основные компоненты временного ряда

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью  из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под  воздействием тенденции, сезонных колебаний  и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму, или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент называется аддитивной моделью временного ряда.

                  (8.1)

Модель, в которой временной  ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда.

                  (8.2)

Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Автокорреляция уровней  временного ряда и выявление его  структуры.

При наличии во временном  ряде тенденции и циклических  колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно  измерить с помощью линейного  коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, но сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Число периодов, по которым  рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Свойства  коэффициента автокорреляции

1. Коэффициент автокорреляции находится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Коэффициент автокорреляции первого порядка рассчитывается по следующей формуле:

        (8.3)

Коэффициент автокорреляции второго порядка рассчитывается по следующей формуле:

        (8.4)

и т.д.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная.

При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда:

1. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию.
2. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка k, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в k моментов времени.
3. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 8.1.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (T) и циклической (сезонной) компоненты (S).

Пример 3. Пусть имеются данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за  16 кварталов (табл.8.2.1).

Таблица 8.2.1

Статистические данные к примеру 3

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
yt	6	4,4	5	9	7,2	4,8	6	10	8	5,6	6,4	11	9	6,6	7	10,8

Построим корреляционное поле, т.е. отобразим графически объем потребления электроэнергии жителями региона (рис.8.2.1).

Рис. 8.2.1. Потребление электроэнергии жителями региона

По полученной диаграмме  можно предположить, что временной  ряд потребления электроэнергии содержит сезонные колебания с периодичностью в 4 квартала и возрастает с течением времени, т.е. содержит линейную тенденцию. Докажем наше предположение с помощью автокорреляционной функции.

Вычислим коэффициент автокорреляции первого порядка, для этого заполним следующую расчетную таблицу (табл.8.2.2)

Таблица 8.2.2

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка

t	yt	yt-1
1	6	-	-	-	-	-	-
2	4,4	6	-2,99	-1,07	3,19	8,92	1,14
3	5	4,4	-2,39	-2,67	6,36	5,70	7,11
4	9	5	1,61	-2,07	-3,33	2,60	4,27
5	7,2	9	-0,19	1,93	-0,36	0,03	3,74
6	4,8	7,2	-2,59	0,13	-0,34	6,69	0,02
7	6	4,8	-1,39	-2,27	3,14	1,92	5,14
8	10	6	2,61	-1,07	-2,79	6,83	1,14
9	8	10	0,61	2,93	1,80	0,38	8,60
10	5,6	8	-1,79	0,93	-1,67	3,19	0,87
11	6,4	5,6	-0,99	-1,47	1,45	0,97	2,15
12	11	6,4	3,61	-0,67	-2,41	13,06	0,44
13	9	11	1,61	3,93	6,35	2,60	15,47
14	6,6	9	-0,79	1,93	-1,52	0,62	3,74
15	7	6,6	-0,39	-0,47	0,18	0,15	0,22
16	10,8	7	3,41	-0,07	-0,23	11,65	0,00
сумма	116,8	106			9,81	65,32	54,05