Понятие эконометрики и ее место в экономических исследованиях

 

F-тест Фишера на состоятельность регрессии

После того как найдено уравнение  линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии  в целом производится с помощью F – критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза H₀: уравнение регрессии статистически незначимо.

Для этого выполняется сравнение  фактического (расчетного) критерия F_р с табличным значением F_табл. Таблицы критических значений составлены на основе двухпараметрического распределения неотрицательной случайной величины (F-распределения Фишера) в зависимости от численных значений степеней свободы v₁ = m и v₂ = n - m - 1, при различных уровнях значимости (в приложении 2 дана таблица F-распределения Фишера для трех различных значений уровня значимости 5%, 1%, 0,1%).

                   (3.7)

Если  > F_табл при заданном уровне значимости α, гипотеза H₀ о случайной природе формирования уравнения регрессии отклоняется, то есть уравнение регрессии статистически значимо.

Если  <F_табл при заданном уровне значимости α, гипотеза H₀ о случайной природе формирования уравнения регрессии не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

 

Анализ точности определения  параметров регрессии

Для оценки статистической значимости параметров регрессии используют t – критерий Стьюдента. При этом выдвигается нулевая гипотеза H₀ : параметр b (a) статистически незначим (близок к нулю). При отклонении Н₀ параметр b (a) считается статистически значимым, что указывает на наличие определенной линейной зависимости между х и у.

Находится расчетное значение t – критерии для каждого параметра. Для параметра b:

                              (3.8)

для параметра a:

 

                              (3.9)

Полученные расчетные значения сравниваются с табличным (приложение 1) для заданного уровня значимости α и при ν=n-m-1 степенях свободы.

Если  , то гипотеза H₀ о статистической незначимости параметра b отклоняется, то есть параметра b статистически значим.

Если  , то гипотеза H₀ о статистической незначимости параметра а отклоняется, то есть параметра а статистически значим.

Если  , то гипотеза H₀ о статистической незначимости параметра b принимается.

Если  , то гипотеза H₀ о статистической незначимости параметра а принимается.

Стандартные ошибки параметров и самой линейной регрессии определяются по формулам:

Стандартная ошибка параметра b:

      (3.10)

Стандартная ошибка параметра а:

      (3.11)

Стандартная ошибка регрессии (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии):

         (3.12)

Проверка выполнимости предпосылок МНК.  
Статистика Дарбин-Уотсона

Статистическая значимость параметров регрессии и близкое к единице  значение коэффициента детерминации R² не гарантирует высокое качество уравнения регрессии. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения регрессии является определение выполнимости предпосылок МНК. Для этого рассмотрим статистику Дарбина-Уотсона.

Оценивая линейное уравнение регрессии, мы предполагаем, что реальная взаимосвязь переменных линейна, а отклонения от регрессионной прямой являются случайными, независимыми друг от друга величинами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Если эти предположения не выполняются, то оценки несмещенности, эффективности, состоятельности и анализ их значимости будут неточными.

На практике для  анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют тесно с ним связанную статистику Дарбина-Уотсона DW, рассчитываемую по формуле:

   (3.13)

Здесь сделано допущение, что при  больших n выполняется соотношение:

Тогда

 (3.15)

Нетрудно заметить, что если , то и DW=0. Если , то и DW=4. Во всех других случаях 0<DW<4.

При случайном поведении отклонений можно предположить, что в одной  половине случаев знаки последовательных отклонений совпадают, а в другой – противоположны. Так как абсолютная величина отклонений в среднем предполагается одинаковой, то можно считать, что в половине случаев , а в другой – . Тогда

                       (3.16)

Таким образом, необходимым условием независимости случайных отклонений является близость к двойке значения статистики Дарбина-Уотсона. Тогда, если DW≈2, мы считаем отклонения от регрессии случайными (хотя они в действительности могут и не быть таковыми). Это означает, что построенная линейная регрессия, вероятно, отражает реальную зависимость.

Возникает вопрос, какие значения DW можно считать статистически близкими к двум?

Для ответа на этот вопрос разработаны специальные  таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона (Приложение 3), позволяющие при данном числе наблюдений п, количестве объясняющих переменных т и заданном уровне значимости α определять границы приемлемости (критические точки) наблюдаемой статистики DW.

Для заданных α, п, т в таблице (Приложение 3) указываются два числа: d₁ – нижняя граница и d_u – верхняя граница. Для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков используется числовой отрезок, изображенный на рис. 3.6.1.

 

 

 

 

Выводы осуществляются по следующей схеме.

Если DW < d₁, то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW > 4 – d₁, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

При d_u < DW < 4 – d_u гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Если d₁ < DW < d_u или 4 – d_u < DW < 4 – d₁, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не может быть ни принята, ни отклонена.

 

 

 

 

 

 

 

Модели  парной нелинейной регрессии

Во многих практических случаях  моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и не может использоваться для анализа и прогнозирования. В силу многообразия и сложности экономических процессов ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не даст положительного результата. Например, при  рассмотрении спроса у на некоторый товар от цены х данного товара в ряде случаев можно ограничиться линейным уравнением регрессии: у=а+bx, но данная модель справедлива не всегда: при эластичном спросе скорее подойдет гиперболическая модель у=а+b∙1/x. При анализе издержек у от объема выпуска х наиболее обоснованной является полиномиальная (точнее, кубическая) модель.

При рассмотрении производственных функций линейная модель является нереалистичной. В этом случае обычно используются степенные модели. Например, широкую известность имеет производственная функция Кобба-Дугласа (здесь у – объем выпуска; K и L – затарты капитала и труда соответственно; А, α и β – параметры модели).

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии  по включаемым в нее объясняющим  переменным могут служить следующие функции:

• полиномы разных степеней: y = a + b₁ x + b₂ x² + e,

                                                               y = a + b₁ x + b₂ x² + b₃  х³ + e;

• равносторонняя гипербола: у = а + + ε.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым  параметрам относятся функции:

• степенная: у = а х^b ε;
• показательная: у = а b^xε;
• экспоненциальная: у = е^a+bx ε.

Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Например, нелинейное уравнение после замены переменной становится линейным: .

Нелинейность по параметру  часто устраняется путем логарифмического преобразования уравнения. Например, нелинейные уравнения после логарифмирования сводятся к линейным степенная функция после логарифмирования становится линейной: ;

 

 

 Нелинейные однофакторные  регрессионные модели. Линеаризация

Что же необходимо сделать, если исследователь пришел к выводу, что анализируемая зависимость нелинейная? В этой ситуации существует два основных варианта действий:

• вначале стоит попытаться подобрать такое преобразование к анализируемым переменным, которое позволило бы представить существующую нелинейную зависимость в виде линейной функции. Этот процесс называется линеаризацией;
• если линеаризация невозможна, то тогда к исследуемой зависимости необходимо применять методы нелинейной регрессии. Рассмотрение этих методов выходит за рамки данного курса.

Если процесс линеаризации возможен, то после его проведения к вновь  введенным переменным можно применить МНК.

Гиперболическая модель

Гиперболические зависимости у = а + + ε используются в тех случаях, когда неограниченное увеличение объясняющей переменной х асимптотически приближает зависимую переменную к некоторому пределу (в данном случае к а ). Сводится к линейной регрессии при помощи следующих преобразований:

х^* =

    у = а+b х^*            (4.1)

 

В зависимости от знаков параметров a и b возможны ситуации, изображенные на рис.4.1.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1.1 Виды гиперболических зависимостей

 

График на рис. 4.1.1,а может отражать зависимость между объемом выпуска х и средними фиксированными издержками у

График на рис. 4.1.1,б  может отражать зависимость между доходом х и спросом на благо у (например, на товары первой необходимости), в этом случае точка х=-b/a – минимально необходимый уровень дохода.

График на рис. 4.1.1,в может отражать зависимость между уровнем безработицы х в % и процентным изменением заработной платы у, в этом случае точка х=-b/a – естественный уровень безработицы.

Степенная модель

Степенная модель у = а х^b ε сводится к линейной регрессии при помощи следующих преобразований:

у^*=ln y, A=ln a, x^*=ln x

у^*=A+b х^*     (4.2)

Эта функция может отражать:

1. Зависимость спроса у на благо от его цены х, в данном случае  (b<0).

2. Зависимость спроса у на благо от его дохода х, в данном случае (b>0).

3. Зависимость объема  выпуска у от использования ресурса х, в данном случае (0<b<1).

Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например, хорошо известна производственная функция  Кобба-Дугласа  . После логарифмирования обеих частей получим:

ln y=ln A+α·ln K+β·ln L

Здесь α и β  – эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При α + β =1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При α + β <1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При α + β >1 имеет место возрастающая отдача от масштаба отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

 

Показательная модель

 

Показательная модель у = а b^xε сводится к линейной регрессии при помощи следующих преобразований:

у^*=ln y, A=ln a, В=ln b

у^*=A+B х      (4.3)

Наиболее важным приложением этой функции является ситуация, когда  анализируется изменение переменной у с постоянным темпом прироста во времени.

Экспоненциальная  модель

Экспоненциальная модель у = е^a+bx ε сводится к линейной регрессии при помощи следующих преобразований:

у^*=ln y,

у^*=а+b х              (4.4)

 

 

 

 

Полиномы разных степеней

Полиномы различных степени  сводятся к множественной линейной регрессии при помощи следующих преобразований:

х*₁=х, х*₂=х², х*₃=х³,…,х*_m=x^m у=a+b_1∙x*₁+b₂ x*₂+…+b_m x*_m+ε.   (4.5)

Например, кубическая зависимость (рис.4.1.2), y = a + b₁ x + b₂ x² + b₃ х³+e в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек (y) от объема выпуска (х):