Понятие эконометрики и ее место в экономических исследованиях

 

Для новых данных получаем следующую  систему 

Решение этой системы находим методом  Крамера, в результате чего получаем А =5,247197 и b =-0,29842

Получим линейное уравнение: Ŷ* = 5,247197 – 0,29842·х*.

Необходимо вернуться к параметрам искомого степенного уравнения ( А= ).

ŷ=е^5,247192∙ x ^-0,29842 =190,0319· x ^-0,29842.

Подставляя в данное уравнение  фактические значения х, получаем теоретические значения результата ŷ_x (заполняем 7, 8 и 9 столбцы расчетной таблицы).

По ним рассчитаем показатели тесноты  связи (индекс корреляции ρ_ху ) и среднюю ошибку аппроксимации А :

Характеристики степенной модели показывают, что она несколько лучше описывает взаимосвязь между среднедневной заработной платы одного работающего и расходами на покупку продовольственных товаров, чем линейная функция.

Найдем величину средней  ошибки аппроксимации А:

 

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 8%, что является нормой.

Проверим статистическую значимость полученного степенного уравнения регрессии, для этого найдем расчетное значение F-критерия Фишера:

F_расч=

Сравним фактическое (расчетное) значение критерия F_расч с табличным значением F_табл. F_табл (α=0,05; ν₁=1; ν₂=5)=6,61

Так как  F_расч <F_табл при заданном уровне значимости α=0,05, гипотеза H₀ о случайной природе формирования уравнения регрессии не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность полученного степенного уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости параметров регрессии воспользуемся t – критерием Стьюдента. Найдем расчетное значение t – критерии для каждого параметра.

 

 

Полученные расчетные значения сравниваем с табличным t_табл (α =0,05; ν=5)=2,571

Так как  , то гипотеза H₀ о статистической незначимости параметра b принимается. То есть параметр b  в полученном уравнении регрессии можно считать равным 0. Можно говорить о том, что расходы на покупку продовольственных товаров не зависят (по степенному закону) от среднедневной заработной платы одного работающего.

Прогноз по этой модели делать не имеет  смысла, потому что по всем критериям модель признана несостоятельной.

Гиперболическая модель

Для построения гиперболической модели y=a + b нужно провести линеаризацию переменных, которая заключается в следующем преобразовании: x^*=

Для расчетов будем использовать данные из таблицы 4.2.4.

Таблица 4.2.4

Расчетная таблица для  гиперболической модели

№	у	X*	уX*	y2	X*2	ŷx	y-ŷx	(y-ŷx)2
1	68,8	0,022173	1,525499	4733,44	0,000492	61,82048	6,98	48,71373	0,101447
2	61,2	0,016949	1,037288	3745,44	0,000287	56,3111	4,89	23,90137	0,079884
3	59,9	0,017483	1,047203	3588,01	0,000306	56,87362	3,03	9,158969	0,050524
4	56,7	0,016181	0,917476	3214,89	0,000262	55,50119	1,20	1,43714	0,021143
5	55,0	0,017007	0,935374	3025,00	0,000289	56,3719	-1,37	1,882107	0,024944
6	54,3	0,021186	1,150424	2948,49	0,000449	60,78004	-6,48	41,99088	0,119338
7	49,3	0,018116	0,893116	2430,49	0,000328	57,54167	-8,24	67,92521	0,167174
Σ	405,2	0,129095	7,506379	23685,76	0,002413	405,20	0	195,0094	0,564453
Ср. зн-е	57,89	0,018442	1,07234	3383,68	0,000345	-	-	-

Для новых данных получаем следующую  систему 

Решение этой системы находим методом  Крамера, в результате чего получаем а =38,43534 и b =1054,67

Получим линейное уравнение: = 38,43534+1054,67·х*.

Необходимо вернуться к исходному  виду искомого гиперболического уравнения.

.

Подставляя в данное уравнение  фактические значения х, получаем теоретические значения результата ŷ_x (заполняем 7 , 8 и 9 столбцы расчетной таблицы).

 

По ним рассчитаем показатели тесноты  связи (индекс корреляции ρ_ху ) и среднюю ошибку аппроксимации А :

Характеристика гиперболической модели показывает, что она несколько лучше описывает взаимосвязь между среднедневной заработной платы одного работающего и расходами на покупку продовольственных товаров, чем линейная и степенная функции.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А:

 

В среднем, расчетные значения отклоняются  от фактических на 8%, что является нормой.

По критерию Фишера модель статистически  незначима, по критерию Стьюдента параметр b статистически не значим.

Из всех предложенных моделей гиперболическая является наилучшей, но назвать ее качественной нельзя. То есть на практике делать прогноз по этой модели нет смысла. Рассмотрим чисто формально, как делается прогноз, по предложенной модели. Подставляем в модель то значение независимой переменной, для которого необходимо сделать прогноз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множественная регрессия

 Специфика уравнения  множественной регрессии

Зачастую на практике значения экономических  переменных определяются влиянием не одного, а нескольких факторов. Например, рассматривая уровень фондоотдачи на различных предприятиях одной отрасли, мы можем установить, что величина его зависит от размеров предприятия, удельного веса активной части фондов, степени изношенности фондов, их обновления и ряда других факторов; урожайность зависит от количества внесенных удобрений, сроков уборки, количества осадков; вес человека – от его роста, объема груди и т.п.

Таким образом, модель множественной  регрессии – это модель зависимости  результирующей переменной более чем от одной независимой переменной.

Выше была рассмотрена зависимость  между двумя признаками, т.е. речь шла о так называемой парной корреляции. На практике же чаще изменение рассматриваемого признака зависит от нескольких причин. В таких случаях изучение корреляционной связи не может ограничиться парными зависимостями, и в анализ необходимо включить другие признаки-факторы, существенно влияющие на изучаемую зависимую переменную.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

• метод исключения;
• метод включения;
• шаговый регрессионный анализ.

Каждый из этих методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты - отсев факторов из полного его набора (метод исключения), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ).

Этап спецификации (3этап) модели множественной  регрессии включает несколько этапов:

1) отбор фактор, которые окончательно  войдут в модель;

2) выбор формы связи (уравнения  регрессии);

3) обеспечение достаточного объема  совокупности для получения несмещенных оценок.

Включение в уравнение множественной  регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с  представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям

1. Они должны быть количественно измеримы. Но очень часто возникает необходимость включить показатель, имеющий качественную характеристику. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости: районы могут быть проранжированы). Как это происходит мы рассмотрим позднее ( смотри тему 6).
2. Факторы включаемые в модель не должны находиться в точной функциональной зависимости между собой. Если между факторами существует высокая корреляция, то  нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются не интерпретируемыми.Считается, что факторы x_i и x_j находятся в точной функциональной зависимости между собой, если . Такие факторы дублируют друг друга в модели, и один из них не должен войти в модель, то есть подвержен исключению из модели.

Насыщение модели лишними  факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы парных коэффициентов корреляции определяются дублирующие факторы.

Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно  связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной, связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Например, при изучении зависимости у=f(x,w,z) матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

	y	x	w	z
y	1
x	0,8	1
w	-0,7	0,8	1
z	0,7	-0,6	0,2	1

Очевидно, что факторы х и w дублируют друг друга. В модель целесообразно включить фактор w, а не х, так как корреляция z с результатом у и корреляция фактора х с у сильные, но зато слабее межфакторная корреляция w c z, чем x c z . Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включаются факторы w, z.

На первый взгляд может показаться, что матрица парных коэффициентов корреляции играет главную роль в отборе факторов. Вместе с тем вследствие взаимодействия факторов парные коэффициенты корреляции не могут в полной мере решать вопрос о целесообразности включения в модель того или иного ; фактора. Эту роль выполняют показатели частной корреляции, оценивающие в чистом виде тесноту связи фактора с результатом. Матрица частных коэффициентов корреляции наиболее широко используется в процедуре отсева факторов. При отборе факторов рекомендуется пользоваться следующим правилом; число включаемых факторов обычно в 6—7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной вариации очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а F-критерий меньше табличного значения.

Оценка параметров уравнения  множественной линейной  регрессии

Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:

 (5.3)

где  у – теоретические значения результативного признака, полученные подстановкой соответствующих значений факторных признаков в уравнение регрессии;