Понятие эконометрики и ее место в экономических исследованиях

x₁ ,x₂...,x_m – факторные признаки;

b₁, b₂, ..., b_m – параметры модели (коэффициенты регрессии).

Параметры уравнения могут быть определены методом наименьших квадратов, который минимизирует выражение:

  (5.4)

    (5.5)

 

Ее решение может быть осуществлено методом определителей:

где  – определитель системы;

 – частные определители.

При этом

,

 получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Параметры b₁, b₂, ..., b_m  характеризуют среднее изменение результата у с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Возможен и  иной подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

     (5.6)

где - стандартизованные переменные;

β_j – стандартизованные параметры регрессии.

Применяя МНК  к уравнению множественной регрессии  в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим .систему нормальных уравнений вида:

           (5.7)

Решая ее методом определителей, найдем параметры - стандартизованные коэффициенты регрессии (β-коэффициенты).

Стандартизованные коэффициенты регрессии  показывают на сколько сигм изменится  в среднем результат, если соответствующий  фактор х_i изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии β_i сравнимы между coбой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинстве стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Например, пусть функция издержек производства у (тыс. руб. характеризуется уравнением вида

где х₁ – основные производственные фонды (тыс.руб.);

х₂ – численность занятых в производстве (чел.).

Анализируя его, мы видим, что при  той же занятости дополнительный рост стоимости основных производственных фондов на 1 тыс. руб. влечет за собой увеличение затрат в среднем на 1,3 тыс. руб., а увеличение численности занятых на одного человека способствует при той же технической оснащенности предприятий росту затрат в среднем на 0,9 тыс. руб. Однако это не означает, что фактор х₁ оказывает более сильное влияние на издержки производства по сравнению с фактором х₂. Такое сравнение возможно, если обратиться к уравнению регрессии в стандартизованном масштабе. Предположим, оно выглядит так:

Это означает, что с ростом фактора х₁ на одну сигму при неизменной численности занятых затраты на продукцию увеличиваются в среднем на 0,6 сигмы. Так как β₁ < β₂ (0,6 < 0,75), то можно заключить, что большее влияние оказывает на производство продукции фактор х₂, а не х₁ , как кажется из уравнения регрессии в натуральном масштабе.

В парной зависимости стандартизованный  коэффициент регрессии есть не что иное, как линейный коэффициент корреляции r_yx. Подобно тому, как в парной зависимости коэффициенты регрессии и корреляции связаны между собой, так и во множественной регрессии коэффициенты «чистой» регрессии b_j связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии β_j , а именно:

                (5.8)

где σ_у – среднее квадратическое отклонение у,

σ_х – среднее квадратическое отклонение х.

Параметр а определяется как

      (5.9)

Рассмотренный смысл стандартизованных  коэффициентов регрессии позволяет  их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением β_j.

Фиктивные и нефиктивные  переменные

В регрессионных моделях в качестве объясняющих переменных часто приходится использовать не только количественные (определяемые численно), но и качественные переменные. Например, спрос на некоторое благо может определяться ценой данного блага, ценой на заменители данного блага, ценой дополняющих благ, доходом потребителей и т.д. (эти показатели определяются количественно). Но спрос может также зависеть от вкусов потребителей, их ожиданий, национальных и религиозных особенностей и т.д. А эти показатели представить в численном виде нельзя. Возникает проблема отражения в модели влияния таких переменных на исследуемую величину. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, то есть качественные переменные преобразованы в количественные. Такого рода сконструированные переменные в эконометрике называют фиктивными.

Обычно в моделях влияние  качественного фактора выражается в виде фиктивной (искусственной) переменной, которая отражает два противоположных состояния качественного фактора. Например, «фактор действует» — «фактор не действует», «курс валюты фиксированный» — «курс валюты плавающий»,, «сезон летний» — «сезон зимний» и т.д. В этом случае фиктивная переменная может выражаться в двоичной форме:

             (6.1)

Например, Z = О, если потребитель не имеет высшего образования, Z = 1, если потребитель имеет высшее образование; Z = 0, если в обществе имеются инфляционные ожидания, Z = 1, если инфляционных ожиданий нет.

Регрессионные модели, содержащие лишь качественные объясняющие переменные, называются ANOVА-моделями (моделями дисперсионного анализа).

Например, пусть у – начальная заработная плата сотрудника.

Тогда зависимость можно выразить моделью парной регрессии 

тогда,

При этом коэффициент а определяет среднюю начальную заработную плату при отсутствии высшего образования. Коэффициент b указывает, на какую величину отличаются средние начальные заработные платы при наличии и при отсутствии высшего образования у претендента. Проверяя статистическую значимость коэффициента b с помощью t-статистики либо значимость коэффициента детерминации R² с помощью F-статистики, можно определить, влияет или нет наличие высшего образования на начальную заработную плату.

Нетрудно заметить, что ANOVA-модели представляют собой кусочно-постоянные функции. Однако такие модели в экономике крайне редки. Гораздо чаще встречаются модели, содержащие как качественные, так и количественные переменные

Пример 2. Анализируется объем S сбережений домохозяйства за 11 лет. Предполагается, что его размер s_t в текущем году t зависит от величины y_t-1 располагаемого дохода Y в предыдущем году и от величины z_t реальной процентной ставки Z в текущем году. Статистические данные представлены в таблице 7.5.1:

Таблица 7.5.1

Статистические данные к примеру 2

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Y, тыс. у.е.	100	110	140	150	160	160	180	200	230	250	260
Z, %	2	2	3	2	3	4	4	3	4	5	5
S, тыс. у.е.	20	25	30	30	35	38	40	38	44	50	55

 

Требуется:

1. По МНК оценить коэффициенты  линейной регрессии S=а+b₁ Υ+b₂ Ζ.

2. Оценить статистическую значимость  найденных эмпирических коэффициентов регрессии a, b₁, b₂.

3. Построить 95%-е доверительные  интервалы для найденных коэффициентов.

4. Вычислить коэффициент детерминации R² и оценить его статистическую значимость при α = 0,05.

5. Вычислить статистику  Дарбина-Уотсона и оценить наличие  автокорреляции.

6. Определить, увеличивается или  уменьшается объем сбережений  с ростом процентной ставки; будет ли ответ статистически обоснованным.

Решение:

Для наглядности изложения  приведем таблицу промежуточных  вычислений (табл. 7.5.2):

 

Таблица 7.5.2

Расчет параметров уравнения регрессии

Год	Y	Z	S	Y2	Z2	Y´Z	Y´S	Z´S
1	100	2	20	10000	4	200	2000	40
2	110	2	25	12100	4	220	2750	50
3	140	3	30	19600	9	420	4200	90
4	150	2	30	22500	4	300	4500	60
5	160	3	35	25600	9	480	5600	105
6	160	4	38	25600	16	640	6080	152
7	180	4	40	32400	16	720	7200	160
8	200	3	38	40000	9	600	7600	114
9	230	4	44	52900	16	920	10120	176
10	250	5	50	62500	25	1250	12500	250
11	260	5	55	67600	25	1300	14300	275
Сумма	1940	37	405	370800	137	7050	76850	1472
Среднее	176,3636	3,3636	36,8182	33709,09	12,4546	640,9091	6986,36	133,8182
∑(yi-ŷ)2	∑(zi-ž)2	∑(si-ŝ)2	∑(yi-ŷ)(zi-ž)		∑(yi-ŷ)(si-ŝ)		∑(zi-ž)(si-ŝ)
28654,55	12,5455	1087,636	524,5451		5422,727		109,7272

 

Проведем анализ одновременного включения  факторов Y и Z в модель. Для этого рассчитаем коэффициенты корреляции

Располагаемый доход Y в предыдущем году и величина реальной процентной ставки Z в текущем году находятся в тесной линейной зависимости, эти факторы дублируют друг друга в модели и один из них надо исключить. Оба фактора находятся в тесной связи с результатом ( и ).  Можно строить любую однофакторную модель.

Но для примера проведем расчет параметров множественной модели.

Для расчета параметров а, b₁,b₂ регрессии S=а+b₁ Υ+b₂ Ζ решаем систему уравнений (5.5).

Решение системы находим методом  Крамера  (определителей) и получаем следующие результаты параметров:

а = 2,962; b₁ = 0,124; b₂ = 3,554.

Таким образом, эмпирическое уравнение  регрессии имеет вид:

= 2,962 + 0,124· y_t + 3,554∙ z_t

Найденное уравнение позволяет  рассчитать теоретические значения ŝ_t зависимой переменной и вычислить отклонения ε_i реальных значений от теоретических (табл. 7.5.3).

 

Таблица 7.5.3

Отклонение реальных значений от теоретических

Год	S		еi	еi2	еi - еi-1	(еi - еi-1)2
1	20	22,48852	-2,48852	6,19273	-	-
2	25	23,73041	1,269594	1,61187	3,75811	14,12339
3	30	31,00991	-1,00991	1,01992	-2,27950	5,19612
4	30	28,69796	1,30204	1,69523	2,31194	5,34507
5	35	33,49369	1,50631	2,26896	0,20427	0,04173
6	38	37,04753	0,95247	0,90719	-0,55384	0,30674
7	40	39,53131	0,46869	0,21967	-0,48378	0,23404
8	38	38,46125	-0,46125	0,21275	-0,92994	0,86479
9	44	45,74076	-1,74076	3,03024	-1,27951	1,63714
10	50	51,77838	-1,77838	3,16263	-0,03762	0,00141
11	55	53,02027	1,97973	3,91933	3,75811	14,12332
Сумма	405	405	≈0	24,24058	-	41,87375
Среднее	36,81818	36,81818	-	-	-	-