Понятие эконометрики и ее место в экономических исследованиях

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1.2 Кубическая зависимость

Аналогично квадратичная функция (рис.4.1.3) y = a + b₁ x + b₂ x² +e, может отражать зависимость между расходами на рекламу (х) и прибылью (у):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1.2 Квадратичная зависимость

В таблице 4.1.1 приведены преобразования, с помощью  которых нелинейные функции становятся линейными с новыми переменными и коэффициентами.

Таблица 4.1.1

Линеаризация  для различных видов моделей

Функция	Преобразования   переменных		Преобразования   коэффициентов
	Y*	X*	A	B
	y		a	b
		x	a	b
		x	a	b
		x
		x		b
			a	b
				b
	y		a	b
		x
	y		a	b

4.2 Оценка качества  нелинейной связи

При криволинейной зависимости  в качестве меры тесноты связи  между показателями х и у используется корреляционное отношение (или индекс корреляции). Индекс корреляции рассчитывается по формуле:

     (4.6)

Границы корреляционного отношения  находятся в пределах от 0 до 1. Индекс корреляции следует рассматривать как показатель не только тесноты связи, но и степени близости линии регрессии к фактическим данным.

Также для анализа качества уравнения  нелинейной регрессии можно использовать среднюю ошибку аппроксимации (см. формулу 2.9)

Статистическую значимость построенного уравнения нелинейной регрессии можно проверить с помощью F – критерия Фишера (см. формулу 3.7). Для оценки статистической значимости параметров нелинейной регрессии используют t – критерий Стьюдента (см. формулы 3.8 и 3.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. По семи территориям Волжского региона за 2005 г. известны значения двух признаков (табл. 4.2.1).

Таблица 4.2.1

Зависимость расходов от среднедневной заработной платы

Район	Расходы на покупку   продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Нижегородская обл.	68,8	45,1
Кировская обл.	61,2	59,0
Владимирская обл.	59,9	57,2
Ивановская обл.	56,7	61,8
Самарская обл.	55,0	58,8
Ярославская обл.	54,3	47,2
Саратовская обл.	49,3	55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости  расходов на покупку продовольственных товаров (у) от среднедневной заработной платы одного работающего (х) рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) равносторонней гиперболы;

2. Оценить силу построенной зависимости.

3. Оценить качество каждой модели через среднюю ошибку аппроксимации А и коэффициент детерминации R² .

4. Доказать статистическую значимость  каждой модели по F-критерию Фишера и статистическую значимость найденных параметров по t – критерию Стьюдента.

5. По самой качественной модели спрогнозировать долю расходов на покупку продовольственных товаров, если среднедневная заработная плата одного работающего измениться до 50 руб и до 65 руб

Решение:

Построим корреляционное поле для исходных данных.

По расположению точек на корреляционном поле можно предположить, что зависимость  между расходами на покупку продовольственных  товаров и среднедневной заработной платы одного работающего нелинейная.

 

 

Линейная модель

Для расчета параметров а и b линейной регрессии y = a+ b x решаем систему уравнений (2.6) относительно а и b:

По исходным данным рассчитываем:   и заполняем в расчетной таблице первые шесть столбцов (табл. 4.2.2).

Таблица 4.2.2

Расчетная таблица для  линейной модели

№	y	x	yx	x2	y2	(y- )2	(х- )2	ŷx	y-ŷx	(y-ŷx)2
1	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	119,12	96,04	61,28	7,52	56,61	0,11
2	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	10,98	16,81	56,47	4,73	22,40	0,08
3	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	4,06	5,29	57,09	2,81	7,90	0,05
4	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	1,41	47,61	55,50	1,20	1,44	0,02
5	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	8,33	15,21	56,54	-1,54	2,36	0,03
6	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	12,86	59,29	60,55	-6,25	39,05	0,12
7	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	73,71	0,09	57,78	-8,48	71,94	0,17
Σ	405,2	384,4	22162,34	21338,41	23685,76	230,47	240,34	405,2	0,0	201,71	0,57
Ср. зн-е	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	-		-

Для данных характеристик получаем следующую систему 

Решение этой системы находим  методом Крамера, в результате чего получаем а =76,88 и b =-0,35

Тогда уравнение регрессии, описывающее  зависимость между расходами на покупку продовольственных товаров и среднедневной заработной платы одного работающего имеет следующий вид: ŷ = 76,88 - 0,35 х.

Таким образом при увеличением  среднедневной заработной платы одного работающего на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35% в общей доле расходов.

Рассчитаем коэффициент  корреляции, чтобы увидеть тесноту  линейной связи между среднедневной заработной платы одного работающего и расходами на покупку продовольственных товаров :

По результату делаем вывод, что линейная связь между среднедневной заработной платы одного работающего и расходами на покупку продовольственных товаров умеренная и обратная.

Качество модели определим  через значение коэффициента детерминации. Для этого в расчетной таблице заполним столбцы с 7 по 11

Полученный результат доказывает, что качество построенной линейной модели низкое. Такую модель нельзя использовать для построения прогноза и дальнейшего анализа среднедневной заработной платы одного работающего и расходов на покупку продовольственных товаров.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А:

В среднем, расчетные значения отклоняются  от фактических на 8,1%, что допускается.

Проверим статистическую значимость полученного линейного уравнения  регрессии, для этого найдем расчетное  значение F-критерия Фишера:

F_расч=

Сравним фактическое (расчетное) значение критерия F_расч с табличным значением F_табл. F_табл (α=0,05; ν₁=1; ν₂=5)=6,61

Так как  F_расч <F_табл при заданном уровне значимости α=0,05, гипотеза H₀ о случайной природе формирования уравнения регрессии не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность полученного линейного уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости параметров регрессии воспользуемся t – критерием Стьюдента. Найдем расчетное значение t – критерии для каждого параметра.

 

 

Полученные расчетные значения сравниваем с табличным t_табл (α =0,05; ν=5)=2,571

Так как  , то гипотеза H₀ о статистической незначимости параметра b принимается. То есть параметр b  в полученном уравнении регрессии можно считать равным 0. Можно говорить о том, что расходы на покупку продовольственных товаров не зависят (по линейному закону) от среднедневной заработной платы одного работающего.

Прогноз по этой модели делать не имеет  смысла, потому что по всем критериям модель признана несостоятельной.

Степенная модель

Для построения степенной модели y=a·x ^b нужно провести линеаризацию переменных. Для степенной модели необходимо рассчитать у^*=ln y и x^*=ln x

Для расчетов будем использовать данные из таблицы 4.2.3.

 

Таблица 4.2.3

Расчетная таблица для  степенной модели

№	Y*	X*	Y*X*	Y*2	X*2	ŷx	y-ŷx	(y-ŷx)2
1	4,23	3,81	16,12	17,90	14,51	60,98	7,82	61,15	0,113663
2	4,11	4,08	16,78	16,93	16,63	56,28	4,92	24,19	0,080361
3	4,09	4,05	16,56	16,75	16,37	56,80	3,10	9,58	0,051674
4	4,04	4,12	16,65	16,30	17,01	55,51	1,19	1,42	0,021014
5	4,01	4,07	16,33	16,06	16,60	56,34	-1,34	1,79	0,024345
6	3,99	3,85	15,40	15,96	14,86	60,16	-5,86	34,31	0,10787
7	3,90	4,01	15,63	15,19	16,09	57,41	-8,11	65,79	0,164529
Σ	28,38	28,00	113,46	115,09	112,06	403,48	1,72	198,23	0,56
Ср. зн-е	4,05	4,00	16,21	16,44	16,01	-	-	-