Изучение модели установления равновесной цены эванса

получения ответов на вопросы, которые стоят перед разработчиками модели.

Вопрос о степени адекватности разрабатываемой модели является центральным  при применении метода моделирования. Для построения адекватной математической модели требуются широкие знания фактов, относящихся к

изучаемому процессу, глубокое проникновение в его теорию, анализ статистической и иной информации, отражающей функционирование объекта исследования. Поэтому на первом этапе особенно важно сотрудничество специалистов различных направлений науки. Необходимость такого сотрудничества обусловлена тем, что степень адекватности разрабатываемой модели зависит, прежде всего, от этого этапа: именно здесь происходит структуризация модели, здесь устанавливаются взаимосвязи между её элементами, здесь закладываются основы математической задачи. В результате сотрудничества специалистов различных направлений, в той или иной мере относящихся к области изучаемого объекта, строится его концептуальная модель. Понятно, что уровень адекватности математической модели в большой степени определяется допущениями, используемыми при построении соответствующей концептуальной модели. К сожалению, приходится констатировать следующее: характерным недостатком изложения экономико-математических моделей является нечёткое обсуждение ключевых гипотез

Второй этап – разработка описательной модели, где формулируются и обосновываются показатели и система основных предположений. Этот этап заключается в формализации сформулированных гипотез, что выражается записью в математических терминах качественных представлений о связях между объектами (подсистемами) концептуальной модели. Эти взаимосвязи устанавливаются на основе тех или иных гипотез, вследствие чего один и тот же процесс в зависимости от используемых гипотез может описываться различными математическими моделями.

Третий этап – разработка математической модели изучаемого объекта с выбором методов исследования, программного обеспечения ПК или составление алгоритма и программы для ПК по новым задачам. На третьем этапе выполняется анализ математических задач, к которым приводят используемые математические модели. В качестве таких задач могут быть

разнообразные задачи исследования операций, в которых решаются проблемы выбора наилучшего в некотором смысле варианта из некоторого набора альтернатив: теории вероятностей и теории массового обслуживания, дифференциального и интегрального исчисления, где исследуются процессы с учётом стохастичности и неопределённости некоторых переменных и др. Основным вопросом здесь является решение так называемой прямой задачи, которая заключается в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемого процесса.

Четвёртый этап – решение задачи на базе разработанной модели, состоящее в реализации пакета прикладных или разработанных программ для ПК. Выходные данные прямой задачи являются теоретическими следствиями входных данных и тех гипотез, которые были заложены в концептуальную и математическую модели. Из сказанного следует, что на этом этапе центр тяжести исследований переносится на решение математических проблем с использованием соответствующего математического аппарата и вычислительной техники. Применение ЭВМ приобретает принципиальное значение особенно при постановке сложных математических задач, исследование которых осуществляется с помощью различных численных методов и выполнением вычислительных экспериментов.

Пятый этап – проверка и настройка модели, т.е. установление соответствия модели описываемому экономическому процессу. Анализ разработанной математической модели включает сравнение результатов исследования математической модели с практикой. На этом этапе происходит выяснение того, удовлетворяет ли принятая модель критерию практики, т.е. выясняется вопрос о том, в какой степени согласуются результаты наблюдений, представления разработчиков модели о изучаемом процессе с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если отклонения теоретических следствий от наблюдений выходят за пределы точности наблюдений, то делается вывод о неадекватности используемой модели изучаемому процессу, вследствие чего модель отклоняется.

Шестой этап – представление результатов решения в форме, удобной для изучения, анализ материалов модели на основе обработки результатов, модернизация модели в случае необходимости построения новой, более адекватной модели.

Опыт, накопленный несколькими  поколениями учёных, свидетельствует  о том, что даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удаётся с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные её параметры. Построение новой модели осуществляется на основе всестороннего анализа старой модели с использованием, если это необходимо, вычислительных экспериментов.

Анализ модели может привести к изменению представлений исследователей о характере взаимовлияния различных переменных, что, в свою очередь, приводит к необходимости пересмотра гипотез модели и даже полной замене некоторых из них. Поэтому процесс математического моделирования носит, как правило, циклический характер.

В свете сказанного можно  сформулировать основные требования, которым должны удовлетворять математические модели.

А.Модель не должна быть чрезмерно  сложной, так как это приводит к неоправданно большим затратам ресурсов при ее реализации. Следует  соотносить сложность и детальность  модели с уровнем достоверности  исходной модели.

Б. Не следует строить  модель всеобъемлющего прогноза реального  объекта. Это приводит к чрезвычайно  громоздким, необозримым и плохо  анализируемым математическим моделям, которые к тому же могут оказаться  еще и плохо обусловленными (неустойчивыми). Если возникает необходимость в  прогнозе ряда разнородных качеств  реального процесса, то целесообразно  построить совокупности или иерархию соподчиненных простых математических моделей.

С. Сложность модели должна соответствовать степени разработанности  математического аппарата, а не превосходить ее; в противном случае математическая модель будет неразрешимой. 
Вообще говоря, нельзя сформулировать единые жесткие правила создания математических моделей, и в этом плане можно согласиться с Е.С. Вентцель, что разработка моделей - это искусство. Более того, у разных исследователей модели одного и того же процесса могут существенно отличаться, и потому целесообразна конкуренция или «спор» моделей как способ их селекции.

 

 

2. МОДЕЛЬ ЭВАНСА УСТАНОВЛЕНИЯ РАВНОВЕСНОЙ ЦЕНЫ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА.

2.1 Равновесная  цена.

В экономической теории важным является понятие равновесия, т.е.такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Достижение равновесия между спросом и предложением служит одним из основных показателей эффективности функционирования экономики страны в условиях рынка.

Равновесная рыночная цена – это цена, при которой величины спроса и предложения товара совпадают. Она является относительно устойчивой; при ней по каждому данному  товару на рынке нет ни излишка, ни дефицита. Спрос и предложение уравновешиваются под влиянием конкурентной среды рынка, вследствие чего о цене говорят как о конкурентном рыночном равновесии. В любом случае на конкурентном рынке равновесная цена и соответствующее ей количество  товара определяются рыночным спросом и предложением. При прочих равных условиях равновесная рыночная цена устанавливается при таком соотношении спроса и предложения, когда количество товаров, которое покупатели хотят приобрести, соответствует тому их количеству, которое производители предлагают на рынке. При этом на рынке отсутствуют тенденции изменения цен и количества товаров. Для понимания равновесной цены большое значение имеет фактор времени. И для покупателей, и для продавцов важно знать, какой характер носит установившееся равновесие: мгновенный, краткосрочный или долгосрочный. В зависимости от длительности периода либо не будут предприниматься никакие усилия, либо будут задействованы временные факторы производства, либо будут осуществляться крупномасштабные мероприятия по преобразованию производства с целью расширения предложения. Для мгновенного равновесия характерно фиксированное, неизменяющееся количество предлагаемого товара, так как производство не в состоянии моментально реагировать на изменившуюся рыночную ситуацию. Краткосрочное равновесие обусловлено возможностью увеличения производства и предложения на основе использования временно действующих факторов, без наращивания количества оборудования, расширения производственных мощностей. К таким временным факторам относятся сверхурочные работы, работа в выходные и праздничные дни, увеличение сменности работы. Это свидетельствует о задействовании фактора труда. Долгосрочное равновесие обусловлено использованием факторов долговременного характера. Как правило, в этом случае речь идет об инвестициях, связанных с обновлением, модернизацией производства, избавлением от изношенного и устаревшего оборудования, созданием новых или дополнительных производственных мощностей.

 

2.2.Модель Эванса с непрерывным временем

Рассмотрим рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть D(t), S(t),p(t)-соответственно спрос, предложение и цена товара к моменту времени t. Спрос и предложение будем считать линейными функциями цены, т. е

, , где a, b, α, β > 0.  Естественно считать, что a>α, т.е при нулевой цене спрос превышает предложение. Основное предположение модели состоит в том, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения:

, или, так как время непрерывно, можно записать:

 - коэффициент пропорциональности.

Подставим в это дифференциальное уравнение линейные зависимости  спроса и предложения от цены, получим  линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием:

   (1)

Это уравнение имеет стационарное решение при  , которое имеет вид

 

причем при и при

При цена стремится к возрастая, а при цена стремится к убывая. Стационарная точка является точкой устойчивого равновесия. Сама цена есть равновесная цена, при которой равны спрос и предложение :

 

Найдем решение линейного  дифференциального неоднородного  уравнения (1).

Дифференциальное уравнение (1) решаем методом вариации произвольной постоянной. Общее решение однородного  уравнения имеет вид:

       (2).

Найдем частное решение  неоднородного дифференциального  уравнения (1), для этого найдем производную  по t выражения (2) , считая вместо постоянной С функцию С(t):

  поставим в (1),получим

 

 

 

Тогда  .

Окончательно с учетом начальных условий получаем :

  или

, причем

 

Замечание: В дискретной модели Эванса рынок функционирует следующим образом: утром на рынке обнаруживается некоторое предложение S и спрос D. В зависимости от их значений цена начинает равномерно расти (если утром спрос был больше предложения) или убывать (если предложение было больше спроса). Предположим, что начальная цена была За день она возрастает до некоторого значения На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать этой цене при этом опять будет а цена будет возрастать и.т.д. (приложение 1).

Как мы выяснили, в точке  равновесия кривые спроса и предложения  пересекаются. Неверным является утверждение, что равновесие предполагает равенство  спроса и предложения. Действительно, спрос и предложения являются функциями, а равенство функций предполагает совпадение, а не пересечение графиков. Следовательно, в точке равновесия совпадают значения (объемы) спроса и предложения, а не функции.

 В модели Эванса точка равновесия не переходится. Это значит, что если цена была меньше равновесной, то она так и останется меньше и весь процесс изображается слева от точки равновесия, а если цена была больше равновесной, то она так и останется больше и весь процесс изображается справа от точки равновесия.

 

1.3 ПРАКТИЧЕСКОЕ  ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ РАВНОВЕСНОЙ  ЦЕНЫ ЭВАНСА.

Пример. Описать процесс установления равновесной цены, если время непрерывно и рассматривается рынок одного товара. Спрос D и предложение S линейно зависят от цены: а изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности Рассмотрим случаи, когда и . Построим графики. На основе получившихся расчетов и построенных графиков сделаем соответствующие выводы.

 Решение. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности дифференциальное уравнение Эванса имеет вид

Подставим в это дифференциальное уравнение линейные зависимости  спроса и предложения от цены, получим  дифференциальное уравнение:

 , подставляем наши данные:

 ,

Решим это дифференциальное уравнение 

 

 

Окончательно получаем общее  решение дифференциального уравнения  в виде

Найдем точку устойчивого  равновесия .

График прямой представлен рядом 3 (приложение 2).

Покажем на графике, что интегральные кривые, заданные уравнением

 .

Если в начальный момент времени  , то С =

и . В этом случае цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, приложение 2).

Если в начальный момент времени ,то С= 2

 и .В этом случае цена на товар увеличивается, приближаясь к равновесной цене (ряд 2,приложение 2). Стационарное решение является устойчивым, и отклонение от него в итоге приводит к возврату в первоначальное состояние.

Аналогично рассмотрим и  изобразим графически случаи превышения спроса над предложением и равенство  спроса  предложению, т.е, когда .

Спрос D и предложение S линейно зависят от цены: коэффициент пропорциональности По аналогии с предыдущими расчетами найдем дифференциальное уравнение,решая его получаем общее решение дифференциального уравнения в виде

,

равновесная цена (ряд 3,приложение 3)

Если , то С=-1. Таким образом: . Цена на товар уменьшается, приближаясь к равновесной цене . (ряд 1, приложение 3).