Анализ и прогнозирования временного ряда развития Тюменской области

1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению или снижению его уровней);

2) циклические (периодические  колебания, в том числе сезонные);

3) случайные колебания.

Существует несколько  методов обработки рядов динамики, помогающих выявить основную тенденцию  изменения уровней ряда.

1. Укрупнение интервала динамического ряда.

Смысл приема заключается  в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. Поэтому для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, основанный на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда.

Применение данного  метода по данным о численности  и  среднедушевых денежных доходах населения Тюменской области за 1995-2004 гг. представлено в Табл.2.1. Следует укрупнить интервалы до трех лет и рассчитать суммарные и среднегодовые показатели.

 

Таблица 2.1

 

Укрупнение интервала  динамического ряда

 

Трехлетка	Численность населения, тыс.чел.		Среднедушевые денежные доходы населения, тыс.руб.
	Общая	Среднегодовая	Общая	Среднегодовая
I	9612	3204	3571	1190
II	9735	3245	3073	1024
III	9807	3269	4178	1393
IV	3290	3290	1576	1576

 

Полученные результаты более четко выражают изменения  численности и среднедушевых  доходов населения Тюменской  области за 1995-2004 гг. По численности  населения наблюдается равномерное  увеличение показателей, а по среднедушевым денежным доходам сначала наблюдается снижение, а затем увеличение показателей.

2. Метод скользящей средней.

Для определения скользящей средней формируют укрупненные  интервалы, состоящие из одинакового  числа уровней. Каждый последующий  интервал получают, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать уровни y₁, y₂,. . . y_m; второй – уровни y₂, y₃,. . . y_m+1 и т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. По сформированным укрупненным интервалам определяют сумму значений уровней, на основании которых рассчитывают скользящие средние. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда. Нахождение скользящей средней по четному числу уровней создает неудобство, вызываемое тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. В этом случае необходима дополнительная процедура центрирования средних.

Порядок расчета скользящих средних по данным о развитии населения  Тюменской области приведены  в Табл.2.2 и Табл.2.3. Сглаживание проводится по трем членам (уровням):

 

 

Таблица 2.2

 

Расчет скользящей средней по данным о численности населения Тюменской области за 1995-2004 гг. по трем уровням

 

Год	Численность населения, тыс.чел.	Скользящая сумма трех уровней	Скользящая средняя  из трех уровней
1995	3187	-	-
1996	3197	9612	3204
1997	3228	9669	3223
1998	3244	9709	3236
1999	3237	9735	3245
2000	3254	9763	3254
2001	3272	9791	3264
2002	3265	9807	3269
2003	3270	9825	3275
2004	3290	-	-

 

Полученный сглаженный ряд (см. последний столбец Табл.2.2) более наглядно демонстрирует тенденцию к увеличению уровней численности населения Тюменской области из года в год, которая в исходном ряду несколько затушевывалась скачкообразными колебаниями уровней. Рассматриваемую тенденцию можно наглядно проследить на графике (Рис.2.1):

Рис.2.1

Таблица 2.3

 

Расчет скользящей средней  по данным о среднедушевых денежных доходах населения Тюменской  области за 1995-2004 гг. по трем уровням

 

Год	Среднедушевые денежные доходы населения, тыс.руб.	Скользящая сумма трех уровней	Скользящая средняя из трех уровней
1995	1085	-	-
1996	1202	3571	1190
1997	1284	3520	1173
1998	1034	3235	1078
1999	917	3073	1024
2000	1122	3358	1119
2001	1319	3796	1265
2002	1355	4178	1393
2003	1504	4435	1478
2004	1576	-	-

 

Сглаженный ряд (см. последний  столбец Табл.2.3) более наглядно изображает тенденцию к снижению объема среднедушевых денежных доходов населения до 1999 г., а далее повышение последующих показателей.  Рассматриваемую тенденцию можно наглядно проследить на графике (Рис.2.2):

 

Рис.2.2

 

 

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов могут рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов и, в частности, более строгих методов выявления тенденции. Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени, используется следующий метод.

3. Аналитическое выравнивание ряда динамики.

В этом случае фактические  уровни заменяются уровнями, вычисленными на основании определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается  как функция времени  , где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t. Наиболее часто используются следующие простейшие функции:

1. Линейная функция (2.1):

 

(2.1)

 

Данная функция эффективна для рядов динамики, уровни которых  изменяются примерно в арифметической прогрессии.

2. Парабола второго порядка (2.2):

 

,                         (2.2)

 

Данная функция применяется, если вторые разности уровней (ускорения) более или менее постоянны.

3. Показательная функция (2.3):

 

(2.3)

 

Данная функция применяется, если значения уравнений меняются в  геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста примерно постоянны.

4. Гиперболическая функция (2.4):

 

, (2.4)

 

Данная функция применяется, если обнаружено замедленное снижение уровней ряда.

5. Ряд Фурье (2.5):

 

(2.5)

 

 

где – теоретические (выравненные) уровни, t – условное обозначение времени, – параметры аналитической функции, k – число гармоник.

Следующим шагом после выяснения характера кривой развития является определение ее параметров. Для этого существует несколько способов:

1. Элементарный метод определения параметров уравнения тренда состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда динамики. Если дан ряд динамики, то, приняв условные обозначения времени через t  и две точки (конечный и начальный уровни), можно построить уравнение прямой по этим двум точкам.

В результате при выравнивании по прямой линии  , получают откуда если применить это требование к каждой из двух частей ряда, то, вычисляя для каждой части динамического ряда и , получают два уравнения с двумя неизвестными. В результате решения уравнений находят параметры.

Отрицательным моментом в таком моделировании тренда являются разные числовые выражения  параметров в различных точках их определения.

2. Метод средних значений (линейных отклонений) заключается в следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части и вводится требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, другими словами чтобы сумма отклонений фактических данных от выравненных равнялась нулю.

Данный метод прост и требует минимального количества вычислений. Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда на две части могут получиться разные результаты.

3. Метод конечных разностей основан на свойствах различных кривых, применяемых при выравнивании.

Пусть дан ряд динамики у_t, который описывается полиномом р-й степени. Для полинома вычисляются следующие разности:

• постоянные первые разности: ;
• нулевые вторые разности: ;
• и т.д.

Формула для расчета  уровней ряда динамики при равных или почти равных первых разностях имеет вид (2.6):

 

(2.6)

 

Если вторые разности практически равны, то вычисляя коэффициенты параболы второго порядка, получают тренд ряда динамики (2.6):

 

                             

                                   (2.7)

 

где - выравненное значение ряда динамики;

- средний уровень ряда динамики;

- средняя арифметическая первых  разностей;

- средняя арифметическая вторых  разностей;

n – число уровней;

t – условное обозначение времени.

 

4. Метод наименьщих квадратов (МНК) используется при расчете параметров уравнений тренда. Сущность этого метода заключается в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению, т.е.

Выравнивание рядов  динамики по некоторым аналитическим  функциям и использование методов определения их параметров приведены ниже.

1. Выравнивание по линейной функции.

Нужно определить аналитическое  выравнивание, иными словами составить  уравнение тренда, по данным о численности  населения Тюменской области  за 1995-2004 гг. В качестве гипотетической функции теоретических уровней можно принять прямую .