Моделирование движения электрона вблизи потенциальной ступеньки

«Московский государственный технический университет   имени Н.Э. Баумана» (МГТУ им. Н.Э. Баумана)

 

Факультет РЛ

Кафедра РЛ6

 

 

Домашнее задание

по курсу

«Компьютерное моделирование нанотехнологических процессов»

на тему

«Моделирование движения электрона вблизи потенциальной ступеньки »

 

 

Выполнили:

Мальцев П.С., Дмитриева А.И.

гр. РЛ6-112

Проверила: Ветрова Н.А.

 

 

2014 г. 

Математическая модель

Основным уравнением нерелятивистской квантовой механики является временное уравнение Шредингера:

,     (1)

где – оператор полной энергии частицы (оператор Гамильтона). Это уравнение позволяет найти волновую функцию как функцию координат и времени, определить плотность вероятности нахождения частицы в любой точке пространства в любой момент времени и тем самым полностью описать квантовое состояние частицы, движущейся в силовом поле.

     В квантовой механике  существует класс задач о движении  в силовых полях, для которых  силовая функция  не зависит явно от времени, т.е. . Такие силовые поля называются стационарными силовыми полями, в этом случае силовая функция имеет смысл потенциальной энергии частицы. В стационарных полях квантовая система может находиться в состояниях с определенным значением энергии . Эти состояния называются стационарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся в таких состояниях, – стационарными задачами квантовой механики.

     Найдем общий вид  волновой функции, соответствующей  стационарному состоянию. Поскольку  оператор  в уравнении (1) не зависит явно от времени, то волновую функцию   следует искать в виде произведения двух функций

,     (2)

одна из которых – – зависит только от координат, а другая – – только от времени. Подставляя волновую функцию  (2) в уравнение  (1), и разделив затем обе части уравнения на , получаем

     (3)

В уравнении (3) левая часть зависит только от времени, а правая – только от координат. Выполнение этого равенства возможно лишь в том случае, если левая и правая части уравнения равны постоянной величине, обозначим ее буквой . Таким образом, из (3) получаем два уравнения – одно для функции , а другое – для функции

     (4a)

     (4b)

Уравнение (4a) определяет собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (гамильтониана) . Следовательно, константа представляет собой не что иное, как полную энергию квантово-механической системы. Перепишем уравнение (4a) с учетом вида оператора

,     (5)

где  – оператор Лапласа. Уравнение (5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его решения – функции и соответствующие значения энергии    – определяются конкретным видом потенциальной энергии частицы  . Часто уравнение Шредингера для стационарных состояний записывают в следующей форме

.     (6)

 

Перейдем к анализу временной функции . Решим уравнение (4b):

 

 

Интегрируя левую и правую части, получим:

 

 

где – константа интегрирования.

 

Обозначив , получим

     (7)

Без потери общности можно положить , так как функция  входит во все выражения лишь в виде произведения с функцией , которая также определяется с точностью до произвольного множителя. Поэтому нет смысла вводить еще одну произвольную постоянную и для функции .

Таким образом, волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид

     (8)

Координатную часть волновой функции в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением  (8).

Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциального порога. В этом случае потенциальная энергия частицы имеет вид

 

На границе порога, т.е при x=0, потенциальная энергия частицы скачком меняется на конечную величину (рис.1).

Рис. 1.

 

Обозначим область слева от порога () цифрой I и все решения для этой области будем отмечать индексом 1 . Область справа от порога () обозначим цифрой II , будем отмечать соответствующие ей решения цифрой 2 .

Уравнение Шредингера для частицы в таком силовом поле имеет вид:

в области I

 

в области II

 

Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы E меньше высоты потенциального порога , т.е.. Говорят, что в этом случае мы имеем дело с высоким потенциальным порогом. Вводя обозначения

     и          (9)

где - эффективная масса электрона в материале А, а - эффективная масса электрона в материале B

Получаем уравнение Шредингера для областей I и II в виде

    (10a)

    (10b)

Вид уравнения (10a) в общем случае есть

.

Найдем решение этого уравнения с учетом того, что функция может принимать комплексные значения, т.е.

.

.

Левая часть равна нулю только тогда, когда равны нулю ее действительная и мнимая части:

  

Для первого уравнения этой системы запишем характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения:

.

Для пары комплексно сопряженных корней общее решение будет выглядеть:

 

Решение для второго уравнения системы (11) будет выглядеть аналогично:

 

Таким образом, общее решение функции выглядит:

 

Воспользуемся формулой Эйлера и заменим

            

Тогда функция примет вид

 

Вводим обозначение , , получаем

           (11a)

Аналогично для (10b)

.

Найдем решение этого уравнения с учетом того, что функция может принимать комплексные значения, т.е.

.

.

Левая часть равна нулю только тогда, когда равны нулю ее действительная и мнимая части:

    

Для первого уравнения этой системы запишем характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения:

.

Для пары действительных корней общее решение будет выглядеть:

 

Решение для второго уравнения системы (11) будет выглядеть аналогично:

 

Таким образом, общее решение функции выглядит:

 

Вводим обозначение , , получаем

         (11b)

Волновая функция в виде (11a) представляет собой сумму падающей на порог и отраженной от него плоских волн де Бройля. Тогда как волновая функция , характеризующая движение частицы в области II , представляет собой сумму двух экспонент (11b) с действительными показателями степени.     

Воспользуемся теперь условиями, налагаемыми на волновую функцию. Поскольку волновая функция должна быть ограниченной, а первое слагаемое в волновой функции при x, стремящемся к бесконечности, неограниченно возрастает, то необходимо потребовать, чтобы коэффициент перед этим слагаемым был равен нулю. Далее, в силу того, что высота порога имеет конечную величину, волновая функция на границе раздела областей I и II должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т.е. иметь непрерывную производную. Приравниваем волновые функции и их производные на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, данная процедура называется сшивкой волновых функций и их производных. В данном случае условия сшивки имеют вид

 

 

или

 

       (12)

Система уравнений (12) позволяет выразить коэффициенты и через коэффициент , т.е. через амплитуду падающей на порог волны де Бройля. Поскольку в подобных задачах все имеющие физический смысл величины, такие, например, как коэффициент отражения частицы от порога, коэффициент прохождения и т.д. выражаются через отношение коэффициентов и (или аналогичных им) к , то без потери общности можно положить . При этом для  и из (12) получаем

,      (13)

Таким образом, волновые функции частицы в случае высокого порога имеют вид

      (14a)

         (14b)

Отметим, что система уравнений (12) имеет решение при любых значениях коэффициентов и , т.е. при любых значениях энергии E ( напомним, что E<). Это означает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром.

Найдем коэффициент отражения, определяющий вероятность того, что частица отразится от высокого порога. Согласно физическому смыслу, коэффициент отражения есть

 

           (15)

 

где и - векторы плотности потока вероятности соответственно для падающей (первое слагаемое в (14a) и отраженной (второе слагаемое в (14a)) волн. Вектор плотности потока вероятности определяется через волновую функцию следующим образом

 

       (16)

С учетом соотношений (14a) и (16) получим

 

 

Подставляя эти выражения в (15), находим, что

R=

Коэффициент прохождения частицы через порог D, определяющий вероятность того, что частица пройдет в область II (коэффициент прозрачности порога) , имеет вид

 

где - вектор плотности потока вероятности для прошедшей волны (14b). Подставляя  в (16), получаем, что   , а, следовательно и D=0.

Таким образом, в случае высокого порога

R=1,            D=0

и выполняется условие R+D=1

 

Рассмотрим поведение частицы в области II высокого потенциального порога. Волновая функция частицы отлична от нуля и спадает с X по экспоненциальному закону, а это означает, что существует отличная от нуля вероятность пребывания частицы под порогом, т.е. в области, в которой полная энергия частицы E меньше ее потенциальной энергии . С точки зрения классической механики эта область для частицы является запрещенной, т.к. условие означает, что кинетическая энергия частицы должна быть отрицательной. Однако с точки зрения квантовой механики никакого противоречия здесь нет. Кинетическая энергия является функцией импульса частицы p, а потенциальная энергия - функцией ее координаты X, но, согласно соотношению неопределенностей, одновременное точное определение координаты и импульса невозможно. Поэтому в квантовой механике представление полной энергии частицы в виде суммы одновременно точно определенных кинетической и потенциальной энергий не имеет смысла.

Полученный результат означает, что микрочастицы могут проникать в области, которые для макроскопических частиц запрещены. Плотность вероятности нахождения частицы в области II определяется выражением

(17)

И зависит от эффективной массы частицы , разности энергий и расстояния от границы порога Х.

Таким образом, хотя коэффициент отражения частицы от высокого барьера R=1 , т.е. отражение является полным, оно не обязательно происходит на самом пороге, т.е. на границе раздела областей I и II . С определенной вероятностью частица может проникнуть в область II и затем выйти из нее.

 

Перейдем теперь к анализу случая, когда энергия налетающей на порог частицы E превышает высоту потенциального порога , т.е. . Такой порог носит название низкого потенциального порога. В этом случае уравнение Шредингера для областей I и II имеет вид

    (18a)

    (18b)

где и определяются соотношениями

     и          (19)

Аналогично высокому потенциальному порогу решаем уравнения (18), получаем

      (20a)

       (20b)

 

Будем считать, что частица приближается к порогу со стороны отрицательных значений X, т.е. движется слева направо. При этом первое слагаемое в описывает падающую на порог волну де Бройля, а второе слагаемое в - волну, отраженную от порога. Аналогично, первое слагаемое в соответствует прошедшей через порог волне де Бройля. Поскольку отраженная волна в области II отсутствует, то коэффициент в (20b) следует положить равным нулю.

Условие сшивки волновых функций и их производных на границе (при Х=0) приводит к следующим уравнениям

 

       (21)

Полагая, как и в предыдущем случае , для и получаем

,

Таким образом, волновые функции частицы в случае ее движения в области низкого порога имеют вид

      (22a)

         (22b)

Для того, чтобы найти коэффициенты отражения R и прохождения D частицы через порог, найдем векторы плотности потока вероятности для падающей, отраженной и прошедшей (преломленной) волн де Бройля. Подставляя найденные волновые функции в (16), получаем

 

 

       (23)

Получаем коэффициент отражения

     (24)

Из (24) следует, что при существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога, т.е. возможно так называемое надбарьерное отражение. Этот результат является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств. Макроскопическая частица, подчиняющаяся законам классической механики, при прохождении через низкий потенциальный порог не испытывает отражения, в области порога лишь уменьшается ее кинетическая энергия.

Коэффициент прохождения тогда будет

     (25)

Таким образом, и в случае низко порога R+D=1, это значит, что падающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область II.

 

 

 

Программа.

Данная программа выполняет функции расчета огибающих волновых функций для потенциальной ступеньки, представляющую из себя структуру, образованную слоями GaAs и AlGaAs и отображения зависимости коэффициентов прозрачности и отражения от энергии частицы.

Ниже приведена блок схема программы рис.2.