Формирования вероятностного мышления у младших школьников в процессе обучения математике

2.2. Методические советы по формированию вероятностного мышления у младших школьников в процессе обучения математике

        Элементы стохастики в формировании вероятностного мышления у младших школьников в процессе обучения математике

        Если мы хотим, чтобы наши ученики имели тип сознания, справляющийся с противоречивостью и быстрой изменяемостью современного мира, мы должны дать им возможность развивать в себе умение видеть каждое явление с разных точек зрения. Владение таким умением – одна из важнейших характеристик современного человека. С ним связаны такие черты личности, как толерантность к чужому мнению и привычкам, готовность к сотрудничеству, подвижность и гибкость мышления.

Хорошо  известно, что математика дает широчайшие возможности для формирования такого мышления. В ее арсенале существует целый ряд задач, направленных на поиски выхода из различных нестандартных  ситуаций и затруднительных положений.

Решать  подобные задачи можно, только обладая  креативным мышлением, эвристическим  подходом, учитывая все возможные  варианты, умело организуя их целенаправленный перебор.

Поэтому необходимо, наряду с традиционными  линиями курса математики, включать две новые линии: элементы стохастики и занимательные нестандартные  задачи.

Знакомство  с элементами стохастики в младшем  школьном возрасте происходит по средствам  решения задач, разбора жизненных  ситуаций, участия в играх, проведения экспериментов, опытов и т. п. когда  ребенок принимает во всем участие, то, естественно, он начинает размышлять, рассуждать, т. е. приводится в действие такой психический процесс, как  мышление.

В начальной  школе стохастика представлена в  виде элементов комбинаторики, теории графов, элементов теории вероятностей и наглядной и описательной статистики.

Комбинаторная, вероятностная, статистическая компоненты содержания представляют собой некоторый  минимум, доступный младшим школьникам и достаточный для формирования у них комбинаторного стиля мышления, вероятностной интуиции и первоначальных вероятностно-статистических представлений.

Существующее  до недавнего времени образование (и не только математическое) приучало школьников подходить к оценки явлений  реальной действительности лишь с позиции  классического детерминизма, когда, согласно законам дедуктивного метода, все имеет причинно-следственный характер, строго определено и трактуется однозначно. Детерминированными явлениями окружающей действительности принято называть те, исходы которых можно однозначным образом предсказать еще до их наблюдения.

Однако, есть целый класс задач, в которых класс задач однозначно не определен и разрешить которые обычными жестко детерминированными способами порой бывает невозможно. Это стохастические задачи, связанные со случайными событиями и явлениями. Случайными называются те события и явления, которые при одних и тех же могут произойти, а могут и не произойти, т. е. исхода которых нельзя предсказать заранее до их наблюдения. Но важно уметь количественно оценивать степень возможности их реализации. Для оценки степени возможности различных событий математике разработали понятие вероятности.

Знакомство  с элементами теории вероятностей в  начальной школе начинается с  формирования на интуитивном уровне представлений об опыте и понятий  случайного события и его вероятности. Такой подход не требует введения в программное содержание этих новых  понятий. Они связываются с известными из жизни словами – часто, редко, всегда, никогда, «это случится наверняка», «это невозможно», «ни в коем случае», «возможно да, возможно нет» и другими, определяющими частоту наступления  случайных событий. Количественный подсчет вероятностей в начальной  школе не происходит. 

            Пример 1.[23, c.3 з.8]:

«Положи  в мешочек  из непрозрачного материала  три одинаковых шарика: 2 белых и 1 черный. Достань, не глядя, один шарик. Запомни его цвет и положи обратно. Проведи этот опыт 10 раз. Сделай вывод  о том, шарик какого цвета ты доставал чаще».

           Работа может быть организована  следующим образом. Сначала выделим  условия, в которых необходимо  провести опыт. Заодно выясним,  в чем заключается сам опыт. Опыт состоит в том, что нужно  достать не глядя (т.е. случайным образом), из мешочка, содержащего три шарика, один шарик,  запомнить его цвет и вернуть обратно. Повторить этот опыт 10 раз.  Условия:

• шарики должны быть по размеру одинаковыми,
• выбирать нужно один шарик, не глядя, не заглядывая внутрь мешочка,
• мешочек должен быть из непрозрачного материала, так чтобы цвет вынимаемого шарика от экспериментатора был скрыт.

Обязательно следует добиться от учащихся четкого  понимания того, что им предстоит  делать и в каких условиях. После  этого можно предложить детям  спрогнозировать ответ предлагаемого  опыта: «Можно ли предсказать, какого цвета  шарик будет выниматься чаще?»  При ответах детей следует  обратить внимание на приводимую ими  аргументацию. Обсудив прогнозы, учитель  делает обобщение: «Мы обсудили шансы  более частого появления белого (черного) шарика, но лишь по окончании  опыта станет ясно, шарик какого цвета появлялся чаще, и кто  из вас лучший предсказатель».

Далее проводим опыт, не забывая каждый раз  фиксировать, какого цвета был вынутый  шарик. После завершения опыта на основе полученных данных дети делают вывод о том, шарик какого цвета  они доставали чаще, кто из них  обладает «даром» ясновидения. Важно  вернуться к тем аргументам, которые  были высказаны на этапе предсказаний, выделить те, которые были вполне логичны  и разумны и соответствуют  полученному результату. Такое предвидение  может лишь подтвердить понимание  смысла случайных событий.

Пример2.[23, c.95 з.23]:

«Вова составил слова: столица, родители, школа, полдень.

• Посчитай число букв в словах. Какая буква встречается чаще, реже?»

В этом задании можно вести речь о  гласных и согласных буквах либо о всех буквах, используемых в этих словах.

 В  ходе обсуждения различных аналогичных  задач учащиеся убеждаются в  том, что в мире случайных  событий можно найти некоторые  закономерности и оценить шансы  наступления различных событий. 

В процессе изучения стохастики у младших школьников получают дальнейшее развитие такие  общеучебные и практические умения, как умения наблюдать, сравнивать, классифицировать, измерять, анализировать жизненные  ситуации, принимать обоснованные решения  и др.

Упражнения для формирования вероятностного мышления у младших школьников в процессе обучения математике

1класс

• Помоги Пете разбить фигуры на группы. Положи красные квадраты на красную «полку», а зеленые -  на зеленую.

• Расскажи, как сделать, чтобы фигур было поровну

• Помоги Кате найти тропинку, по которой надо пройти, чтобы набрать наибольшее число красных кругов.[24, с.23 з.7]
• Петя нарисовал аквариумы для рыбок. Как изменить рисунок, чтобы рыбок и аквариумов стало поровну? [24,c.31 з.6]
• Два отца и два сына из семьи Вовы Колесникова пошли на озеро. Они взяли 3 удочки. Каждый ловил рыбу своей удочкой. Может ли такое быть?
• Выложи из палочек ломанную, у которой 3 звена 4 вершины; ломанную, у которой 3 звена и 3 вершины.
• Сколько квадратов на рисунке Вовы?[24, c.61 з.8] Как убрать две палочки так, чтобы осталось: а) три квадрата? б) два квадрата?
• Сможешь ли ты нарисовать такие фигуры, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды? [24,с.73 з.8]
• В корзине лежало 5 яблок. Пять ребят получили по одному яблоку, и при этом одно осталось в корзине. Могло ли так быть?
• Пете нужно поставить игрушечные машины в гаражи. В каждом гараже может стоять только одна машина. Сколько есть способов сделать это?
• Сколько слогов можно составить из двух букв? Назовите все варианты. М   К   А   У
• Как из 8 палочек сложить прямоугольник? Сколько есть способов решения этой задачи?
• Расскажи Лене, как пройти через двое ворот и набрать число в кружке. Назови все способы. [25, c.51з.8]
• Петя сказал, что масса дыни 4кг. Как Кате проверить это утверждение с помощью весов и набора из трех гирь: 1кг, 2кг,3кг.
• Как переложить одну палочку так, чтобы равенства стали верными? Придумай два способа.[25, c.59 з.7]
• Вова задумал число, которое меньше 6. Прибавил к нему 2; из полученной суммы вычел задуманное число4 к результату прибавил 3. У него получилось 5. Выполни такое же задание. Какой результат у тебя получился? В чем секрет этого фокуса?
• Перед в класс стоят Лена, Вова и Катя. В каком порядке они могут зайти в класс после звонка, если будут заходить по одному?
• Переложи одну палочку так, чтобы равенство стало верным. Сколько ты нашел способов это сделать? [26, c.9з.8]
• Какой из фигур принадлежит голубая точка? [26, c.19 з.8]
• А) У Кати, Пети и Вовы есть билеты на первое, второе и треть места в вагоне поезда. В каком порядке они могут их занять?

Б) в школьном спектакле  Катя, Лена и Вова играли роли лисы, зайца и белки. Катя не играла ни лису, ни белку. Лена не играла ни зайца, ни белку. Кто какую роль играл?

2класс

• Катя, Петя и Вова делали иллюстрации к сказке. Один из них рисовал красками, а двое карандашами. Катя сказала: «Красками рисовала». Петя сказал: «Вова рисовал красками». У кого из троих ребят рисунок сделан красками, если все высказывания ложные.
• В чашке, стакане и пиале налиты чай, кофе и молоко. В пиале – не кофе, в стакане – не кофе и не молоко. Какой напиток налит в стакан, чашку и пиалу?
• Нарисуй такие же фигуры, обведи их, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды. [27, c.19 з.8]
• Помоги Афанасию переложить палочки так, чтобы получилось 5 квадратов. [27, c.25 з.7]
• В трех банках с желтой, красной и синей наклейками лежит вишневое, клубничное и малиновое варенье. Карлсон сказал малышу, что малиновое варенье лежит в банке с красной или желтой наклейкой, а в банке с красной наклейкой лежит вишневое. Его высказывание оказались ложными. В какой же банке лежит каждое варенье.
• Афанасию надо пройти через двое ворот лабиринта и набрать число 11. Он рассуждал так: в сумме надо набрать число 11. Если я пройду через синие ворота  с числом 3, то на красных воротах мне нужно найти такое число, сложив которое с числом 3, я получу 11. Это число я найду так: 11- 3 =8. Такого числа на красных воротах нет. Попробую, взять на синих воротах число10… продолжи рассуждения Афанасия, подбери нужные числа.
• У мамы есть вишня, малина, смородина и клубника. Сколько разных компотов она может сварить из этих ягод, если каждый компот будет сварен из двух видов ягод?
• Нарисуй такие же фигуры. Обведи их, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды. [28, c.9 ]
• Перед Иваном –царевичем три дороги6 по одной пойдешь – погибнешь, по другой пойдешь – к Кощею попадешь, а по третьей – погибнешь или домой попадешь. На каждой из дорог – камень с надписью. По какой дороге пойти Ивану, если все надписи ложные?
• Петя начертил 3 прямые линии. На каждой он отметил 3 точки. Всего он отметил 6 точек. Покажи, как он это сделал?
• Найди лишнее слово: ТРЕМ  ТРИЛ  САЧ  АСМАС
• Петя провел две прямые линии и отметил на них 5 точек. На одной прямой он отметил 4 точки, на другой – 2 точки. Как это может быть?
• В воскресенье утром Катя может пойти либо к бабушке, либо к подруге, а вечером – либо в парк, либо в бассейн, либо в театр, как Катя может провести воскресный день? Перечисли все варианты.
• Сколько двузначных чисел можно записать цифрами6 а) 2, 4, 7. б) 0, 3, 8.
• На вершину горы ведут три дороги. Сколькими способами можно спуститься и подняться на нее?
• Пройди лабиринт. [28, c.93 з.10]

3 класс

• Фокусник попросил Дениса загадать одну цифру, составить с помощью одной этой цифры двузначное число, разделить его на 11 и сказать, какое число получилось. После этого фокусник назвал цифру, коорую загадал Денис. Как он это сделал?
• Из шести палочек Костик сложил четыре треугольника. Как он это сделал?
• Денискин папа показал ребятам новый математический фокус. Он предложил им написать двузначное число, меньше 50, в котором число единиц на 1 больше числа десятков. Затем записать другое двузначное число с помощью тех же цифр, но в обратном порядке и сложить два записанных числа. Полученный результат разделить на 11. Что получится?
• Стела предложила Элли, Тотошке и храброму Льву разделить между собой несколько волшебных орехов. Первой в комнату, где лежали орехи, вошла Элли, взяла треть орехов и ушла. Затем туда вошел Лев взял треть оставшихся орехов и ушел. Затем тотошка взял 4 ореха – треть от числа орехов, которые он увидел. Сколько волшебных орехов предложила разделить Стелла?
• Помоги Лобзику переложить а) одну палочку; б)две палочки; г)три палочки, чтобы получилось верное равенство: [29, c.96 з.4]
• Объясни алгоритм решения задачи на поиск одной фальшивой монеты, которая легче остальных. [29, c.96 з.5]
• Расшифруй ребусы. (одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры)  ААА *А = ААА   ААА * 3 = ББ6
• Найди 99 натуральных чисел (необязательно различных), сумма которых равна их произведению.
• Двое игроков красят по очереди полоску бумаги размером 1*100 клеточек. Первый за свой ход может выкрасить любые две идущие подряд незакрашенные клеточки, а второй три. Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Как должен играть первый игрок, чтобы выиграть?
• Костя показал ребятам математический фокус. Он предложил им сначала задумать трехзначное число, у которого число сотен на 1 меньше числа единиц. А затем другое трехзначное число. Которое записывается теми же цифрами, но в обратном порядке, и вычесть из большего числа меньшее. Какое число получится в результате? Верно ли, что всегда будет получаться одно и то же число?
• Костю послали к ручью за водой с двумя ведрами: объемом 5 литров и 7 литров и попросили принести ровно 4 литра воды. Возле ручья нет бочки, в которой можно накапливать воду, ее можно только переливать из ведра в ведро и выливать в ручей. Костя начал решать эту задачу, рассуждая с конца (обратным ходом). «Если я хочу собрать ровно 4 литра воды в семилитровом ведре, то мне нужно наполнить это ведро и отлить из него ровно 3 л воды. Сделать это можно с помощью пятилитрового ведра, в котором налито ровно 2 л воды. Значит, сначала мне нужно собрать в пятилитровом ведре ровно 2 л воды. Из полного семилитрового ведра я вылью воду в пустое пятилитровое, в семилитровом ведре у меня останется ровно 2 л воды. Вылью воду из пятилитрового ведра  и перелью в него 2 л воды из семилитрового…» закончи рассуждения Кости.