Теория вероятности

Теория вероятностей и математическая статистика

 

Задание № 3

1. Найти вероятность того, что при случайной расстановке букв К, О, Ш, К, А получится слово «КОШКА».

Решение

Находим n – общее число исходов события. Всего букв 5, поэтому:

Найдём число исходов, благоприятствующих слову «КОШКА». В слове «КОШКА» первую букву можно выбрать 2 способами, все остальные буквы одним способом (предпоследняя «К» одним способом, так как одна «К» уже взята). По правилу произведения число благоприятствующих исходов равно:

По формуле классической вероятности имеем:

Ответ:

 

2. Найти вероятность того, что из четырех случайно отобранных студентов ровно один родился летом.

Решение

Производится 4 независимых испытания, в каждом испытании возможно два исхода (родился летом и не родился летом), поэтому воспользуемся формулой Бернулли, где

Ответ:

 

3. На складе  готовой продукции находятся  изделия трех цехов: 200 – первого, 300 – второго, 500 – третьего. Вероятности брака для каждого цеха соответственно равны: 0.05; 0.1; 0.2. Найти вероятность того, что случайно взятой изделие окажется бракованным.

Решение

Пусть событие   ={изделие принадлежит первому цеху}

={изделие принадлежит второму цеху}

={изделие принадлежит третьему цеху}

={изделие окажется бракованным}

Тогда:

   

  

  

По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,14

 

4. Случайная  величина Х задана законом  распределения

Х	-1	0	1
Р	0.2	0.6	0.2

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение

Ответ: 0 и 0,4

 

5. Монета брошена три раза. Случайная величина Х - число выпавших гербов. Найти закон распределения Х, математическое ожидание и дисперсию.

Решение

Х принимает значения 0, 1, 2, 3

По формуле Бернулли:

Значит, закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Х	0	1	2	3
Р

Ответ:

Х	0	1	2	3
Р

 

6. Плотность  вероятности для непрерывной  случайной величины имеет вид  . Найти: значение , математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

Решение

Так как - плотность вероятности для непрерывной случайной величины, то:

Следовательно,

Ответ:

 

7. Плотность  вероятности для непрерывной  случайной величины имеет вид  . Найти вероятность попадания данной случайной величины на отрезок .

Решение

Так как плотность вероятности имеет вид:

то непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами и .

Вероятность вычисляем по формуле:

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

                                            Литература

 

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2004. — 573 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. издание третье, переработанное и дополненное, 1979.-400 с.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. 3-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 288 с.