Теория вероятности

2.3. Принятие решения о диверсификации в условиях неопределенности

В городе четыре банка. Годовая эффективная ставка процента по срочным вкладам на год во всех банках составляет 10%. Вероятность банкротства любого банка в течение ближайшего года составляет 5%. Банкротство банка означает потерю всех вложенных в него денег. Вкладчик распределяет свои средства (100000 рублей.) поровну между выбранными банками. Определите математическое ожидание получаемой через год суммы, вероятности получить максимум, получить часть и потерять все в случае, если все средства вложены:

а) в один банк;

б) в два банка;

в) в три банка;

г) в четыре банка.

Задачу решить в предположении, что банкротство любого банка повышает вероятность банкротства остальных в 2 раза.

Вероятность банкротства любого из банков Р(Бi)=0,1. Соответственно, вероятность выживания банка, как противоположного события равна Р(Бi)=(1-0,05) = 0,95. Но при условии реализации этого события, то есть при Р(Бi) = 1 вероятность банкротства любого из оставшихся банков возрастает до 10%, т.е. P(Ej\Ei) = 0,1.

В кодированном виде возможные события образуют набор из 16 событий от (0000) до (1111), где «0» - банкротство, «1» - сохранение любого из банков. Рассчитаем вероятности всех возможных событий.

1. Благополучие всех банков — событие (1111).

Р(1111)=0,95⁴=0,8145.

Следовательно, суммарная вероятность всех остальных исходов, включающих банкротство хотя бы одного банка, является противоположным событием.

Р(0000)+Р(0001)+…+Р(0111)=1-Р(1111)=1-0,8145=0,1855.

С вероятностью 18,55% может разориться любой набор банков от одного до четырех банков в любой последовательности. Вычислим вероятность того, что первым в цепочке банкротств окажется конкретный банк - 1-й, 2-й, 3-й или 4-й. Эти возможности равновероятны.

Поэтому (Б„)=0,1855/4 = 0,0464, где (Б„) - событие, состоящее в том, что крах банковской системы начался с банкротства n-го банка.

3ная вероятность условия Р(Б„), можно рассчитать далее безусловные вероятности всех возможных событий Р(Бm*Б„).

 Р(Бm*Бn)= Р(Бm\Бn)* Р(Бn) - это вероятность того, что за банкротством n-го банка последует банкротство т-го банка.

2. Банкротство всех банков после краха одного из них – событие (0000).

После разорения одного из банков (его вероятность, как вероятность совершившегося события, равна 1) крах остальных трех происходит с вероятностью в два раза большей — 0,1. Первым в цепочке банкротства может оказаться любой из 4-х банков, следовательно, мы имеем 4 варианта события (0000). Сумма вероятностей четырех вариантов события дает значение условной вероятности данного события. Имея вероятность условия Р(Б„) = 0,0464, можем перейти от условной вероятности к безусловной вероятности события (0000).

Р(0000)=[(1*0,1*0,1*0,1)+(0,1*1*0,1*0,1)+(0,1*0,1*1*0,1)+(0,1*0,1*0,1*1)]*0,0464=(1*0,1*0,1*0,1)*4*0,0464 = 0,0001856.

3. Сохранение одного банка после краха любого из банков – события (1000), (0100), (0010) и (0001).

Банкротство одного из банков влечет за собой разорение двух банков с вероятностью 0,1 и выживание одного с вероятностью 1- 0,1 = 0,9. Если сохранился первый банк (событие (1000)), то инициатором цепной реакции крахов мог быть 2-й, 3-й или 4-й банк. Следовательно, возможны три варианта развития события(1000): С ¹₃= 3 .

С учетом вероятности условия, безусловная вероятность данного события рассчитывается:

Р(1000) = (0,9*1*0,1*0,1)*З*0,0464 = 0,0012528.

Вероятности остальных трех событий вычисляются аналогично: Р(0100)=Р(0010)=Р(0001)=Р(1000)=0,12528%.

4. Сохранение двух банков после краха любого из банков - события 
(1100), (0011), (1010). (0101).(0110) и (1001).

Каждое из шести перечисленных событий имеет 2 варианта развития, так как первым в цепочке банкротств может быть один из двух разорившихся банков. С¹=2.

Р(1100) = (0,9*0,9*1*0,1)*2*0,0464 = 0,0075168;

Р(0011) =Р(1010) =Р(0101) =Р(0110) = Р(1010) =Р^,(1100) =0,75168%.

5. Сохранение трех банков после краха любого из банков - события 
(1110), (1101), (1011)и(0111)

Здесь каждое событие возможно только в одном варианте: С¹₁=1. 
Р(\110)=(0,9*0,9*0,9*1)*0,0464=0,0338256; 
Р(1101)=Р(\0\1)=Р(0111)=Р(1110)=3,38256%. 
Сведем результаты расчетов в таблицу:

Событие	Вероятность	Событие	Вероятность
0000	0,1856%	0110	0,75168%
0001	0.12528%	0101	0,75168%
0010	0,12528%	1010	0,75168%
0100	0,12528%	1110	3,38256%
1000	0,12528%	1101	3,38256%
1100	0,75168%	1011	3,38256%
0011	0,75168%	0111	3,38256%
1001	0,75168%	1111	0,1855%

 

Рассмотрим возможные результаты, которые будет иметь вкладчик в зависимости от выбранной стратегии размещения средств.

I. Все деньги помещены в один банк. Вкладчик может потерять все деньги (событие А), если:

а) разорятся все банки;

б) в трех случаях из четырех, если выживет только один банк;

в) в трех случаях из шести, если выживет два банка,

г)в одном случае из четырех, если сохранятся три банка. 
Р(А) = 0,1856% + 0,12528%*З + 0,75168%*З + 3,38256 = 6,19904%; 
Р(В) = 100% -6,19904% = 93,80096%.

Событие В состоит в получении максимально возможной наращенной суммы Si= 100000*1,1=110000руб., то есть в выполнении всеми банками своих обязательств по отношению к вкладчику.

Если вкладчик поместит все деньги в один банк, то математическое ожидание величины его сбережений на конец года составит

М(Si)=0*0,0619904+ 110000*0,93801 = 103181, руб.

II. Вкладчик помещает по 50000 руб. в 2 банка. 
Вкладчик может потерять все деньги (событие А), если 
a) разорятся все банки;

б) в двух случаях из четырех, если выживет только один банк;

в) в одном случае из шести, если выживет два банка.

Р(А) = 0,01856% + 0,12528%*2 + 0,75168% = 1,0208%

Потеря половины вложенных средств (событие С) возможна

а) в двух случаях из четырех, если разорятся три банка;

б) в четырех случаях из шести, если разорятся два банка;

в) двух случаях из четырех, если разорится один банк.

В результате вкладчик получает на руки половину вложенных средств с процентами S,=50000*1,1 = 55000 руб.

Р(С) = 0,12528%*2 + 0,75168%*4 + 3,38256%*2 = 10,0224%;

Р(В) = 100% - 1,0208% - 10,0224% = 88,9696%.

Математическое ожидание величины его сбережений на конец года составит

М(Si) = 0*0,010208 + 55000*0,100224 + 110000*0,889696 = 103378,88 руб.

III. Вкладчик помещает по 33333,3333 руб. в 3 банка. 
Вкладчик может потерять все деньги (событие А), если 
а) разорятся все банки;

б) в одном случае из четырех, если разорятся три банка.

Р(А) = 0,1856 % + 0,12528% =0,31088 %.

Вкладчик может потерять треть вложенных средств (событие D)

а) в трех случаях из шести, если разорятся два банка;

б) в трех случаях из четырех, если разорится один банк.

Тогда он получит в конце года S_;= 66666,6666*1,1 = 73333,3333 руб.

Р(D) =0 ,75168%*З +3,38256%*З = 12,4027%

Потеря двух третей вложенных средств (событие Е) возможна

а) в трех случаях из четырех, если разорятся три банка;

б) в трех случаях из шести, если разорятся два банка.

Тогда вкладчику выдадут S1 = 33333,3333*1,1 = 36666,6666 руб.

Р(Е) = 0,12528%*З + 0,75168%*З = 2,63088%

P(B) = 100% - 0,31088% - 12,4027% - 2,63088% = 84,65554%.

Математическое ожидание величины его сбережений на конец года составит

M(S1)=0*0,31088+73333,3333*12,4027+36666,6666*0,0263088+110000*0,8465=1003611руб.

IV. Вкладчик помещает по 25000 руб. в 4 банка.

Вкладчик может потерять все деньги (событие А) только если разорятся все банки.

Р(А) = 0,1856%

Вкладчик может потерять четверть вложенных средств (событие F), если разорится любой из четырех банков. Тогда он получит в конце года сумму, равную S1=25000*1,1=27500 руб. P(F) =0,12528%*4 = 0,50112%.

Вкладчик лишится половины средств, (событие С), если разорятся любые два банка, а таких комбинаций шесть.

Р(С) = 0,75168%*6 = 4,5101%.

Потеря трех четвертей состояния (событие G), возможна в случае разорения любых трех банков. Сумма состояния с процентами на конец года составит S_t = 75000*1,1=82500 руб.

P(G) = 3,38256%*4 = 13,530%;

Р(В) = 100% - 0,1856% - 0,50112% - 4,5101% - 13,530% = 81,27318%.

Математическое ожидание величины его сбережений на конец года составит

M(S₁)=0*0,001856+27500*0,0050112+55000*0,045101+82500*0,1353+110000*0,8127318=103181,111 руб.

Сведем результаты в итоговую таблицу:

Степень диверсификации -число вкладов в разных банках	Вероятность			Математическое ожидание величины сбережений
		Потерять всё	Потерять часть		Получить максимум
	Р(А)	1-Р(А)-Р(В)	Р(В)	M(S1)
1	13,76%		86,24%	103181 руб.
2	4,13%	19,26%	76,61%	103181 руб.
3	1,1%	28,89%	70,01%	103181 руб.
4	0,28%	34,11%	81,273%	103181 руб.

 

Как видно из таблицы, размещая средства в нескольких банках, вкладчик снижает для себя вероятность потерять все деньги, но одновременно снижается вероятность получить максимально возможный доход. При этом возрастает вероятность потерять часть сбережений.

Сравнивая результаты расчетов с аналогичными результатами из задачи 1, следует отметить, что введение условия взаимозависимости разорения банков снижает эффект диверсификации. По сравнению с условиями задачи 1 вероятность потерять все становится выше, а получить максимум - ниже. В результате средний ожидаемый итог от

хранения денег в банках снижается на 45,1 руб.