Теория вероятностей

Теория вероятности - это наука, изучающая модели опытов со случайными исходами. Каждому возможному результату опыта ставится в соответствие определенное число, выражающее меру объективной возможности его появления - вероятность. Практически, вероятность каждого возможного результата опыта проявляется в той частоте, с которой он появляется при массовых повторениях опыта. Теория вероятности разрабатывает методы вычисления вероятностей сложных результатов опыта по известным вероятностям более простых исходов. Тем самым появляется возможность для анализа и выявления стохастических закономерностей в случайных явлениях. Подобно тому, как математический анализ является основным математическим аппаратом при излучении динамических закономерностей, теория вероятности представляет наиболее подходящий инструмент при исследовании процессов, испытывающих большее или меньшее влияние случайных воздействий.

Теория вероятностей одна из самых молодых ветвей математики. Ее развитие как самостоятельной  науки началось с изучения теории азартных игр в переписке Б. Паскаля  и П. Ферма в 1654 г. и продолжалась в трудах Х. Гюйгенса (1629-1695) и Я. Бернулли (1654-1705). Дальнейшее развитие теории вероятности  получила в конце XVIII начале XIX веков  благодаря работам П. Лапласа (1781-1827), К. Гаусса (1777-1855) и Это произошло  на рубеже Средневековья и Ренессанса.

Известно, что Лука Пачиоли (1445-1514), Д. Кардано* (1506-1576) и Г. Галилей (1564-1642) занимались некоторыми вероятностными задачами с целью дать рекомендации игрокам. Однако развитие теории вероятностей, как самостоятельной науки, началось в 1654 году из переписки знаменитых ученых Б. Паскаля (1623-1662) и П. Ферма (1601-1665). Поводом для переписки послужили два вопроса, заданных Паскалю его другом - кавалером Де Мере. Первый вопрос: "Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы вероятность хотя бы однажды выбросить две шестерки была больше половины? Суть второго вопроса заключалась в следующем. Два игрока играют в азартную игру, состоящую из последовательно разыгрываемых партий. Шансы на выигрыш в каждой партии одинаковы.

В начале игры партнеры делают одинаковые взносы. Ставку выигрывает тот, кто первым наберет n выигрышных партий (n фиксировано заранее). Как разделить ставку по справедливости, если игра прервана в момент, когда один игрок выиграл a, а другой b партий?Паскаль и Ферма нашли, конечно, ответы на вопросы. Но главное заключалось в том, что по ходу переписки ученых вырабатывалась математическая концепция вероятности. И хотя само слово «вероятность» при этом не употреблялось, но фактически использовалось то определение вероятности, которое ныне называется классическим: отношения числа благоприятных элемен-тарных исходов к числу всех элементарных исходов. Оно оказалось вполне удовлетворительным во всех тех случаях, где можно было говорить о конечном наборе элементарных исходов и быть уверенным в их равновероятности.

Развиваемая на основе этого определения теория достигла значительного прогресса в работах  Х. Гюйгенса (1629-1695) – «О расчетах в  азартных играх» (1657) и А. Де Муавра (1667-1754)–  «Об измерении случайности, или  о вероятности результатов в  азартных играх» (1711). Эти работы облегчили  создание теории вероятностей Якобом Бернулли (1654-1705). Его «Ars conjectandi» («Искусство предположений»), напечатанное посмертно в 1713 г., включало как решение задач, поставленных его предшественниками, так и ряд общих соображений. В числе последних то, что явилось первой формулировкой закона больших чисел: при достаточно большом числе независимых испытаний частость (или относительная частота, равная отношению числа интересующих нас событий к их общему числу) будет как угодно мало отличаться от вероятности.

Спустя 5 лет Де Муавр в своем «Учебнике о шансах» установил, что распределение вероятностей может быть получено разложением бинома. В 1812 г. Пьер-Симон Лаплас (1749-1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей» использовал еще более широкий математический аппарат и дал законченный обзор всей концепции. Одновременно с этим А. Лежандр (1752-1833) в 1806 г. и К. Гаусс (1777-1855) в 1809 г. (по некоторым данным - в 1794 или 1795 г.) разработали метод наименьших квадратов.С. Пуассона ( 1781-1840), а в ХХ веке в трудах замечательных представителей русской школы математиков.

Современное построение теории вероятностей как аксиоматической  науки было осуществлено в 1933 г. советским  математиком А.Н. Колмогоровым. Аксиоматика  теории вероятностей строится на теоретико-множественной  основе. Случайные события рассматриваются  как некоторые множества, а соответствующие  им вероятности являются мерой. Такой  поход позволил охватить не только все классические разделы теории вероятностей, но и дать строгую  основу для развития ее новых разделов, вызванных запросами естествознания, и тем самым существенно расширить  сферу применения теории вероятностей. Интересно в связи с этим отметить, что мощный взлет таких дисциплин  как молекулярная физика и квантовая  механика в начале ХХ века связан не с появлением представлений об атомарной  структуре вещества (эти представления  возникли еще в глубокой древности), а с тем, что стала применяться  математическая теория расчета вероятностей различных состояний.

Современная генетика и биология не получили бы своего развития без использования вероятностно-статических  представлений. Попытка игнорирования  биологами вероятностных закономерностей  приводила в недалеком прошлом  к тяжелым последствиям для развития науки и для практической деятельности агрономов, животноводов и лесоводов.

В настоящее время  теория вероятностей превращается в  науку, которая завоевывает себе все большую и большую и  большую сферу приложений. Появились  новые ветви науки прикладной математики, такие как теория информации, теория надежности, теория массового  обслуживания, теория операций, теория игр, теория управления запасами и т.д. Методы теории вероятностей и математической статики начинают все больше использоваться в медицине (задачи диагностики и  расшифровки ЭКГ, установление эффективности  того или иного лекарства). Усиление проникновения вероятностных идей объясняется тем, что вероятностные  модели более адекватно нежели детерминированные описывают окружающий нас мир. Интересно отметить, сто такое развитие событий предвидел, оказывается, Пьер Симон де Лаплас, когда писал в своей основополагающей работе «Аналитическая теория вероятностей», опубликованной в 1812 г., следующее: «Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей».