Теория вероятности

Задача 1. 

В лотерее 9000 билетов,  10 билетов выигрышных. Какова вероятность того что:

а) Вынутый билет  выигрышный. 

б) Из трех вынутых  билетов один выигрышный; 

в)  Из трех вынутых  билетов хотя бы один выигрышный;  

Решение:

А) С помощью  классического определения вероятности:

.

• - число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события

N - общее число элементарных событий.

Найдем  P=10/9000=0,0011

Б)  

где q=1-p;  q=0,9989;

=0,0033

В) Вероятность того, что при этом событие наступит хотя бы один раз:

P=1-(1-p)ⁿ

P=1-0,998³=0,006 

Задача 2. 

В аудитории  7 компьютеров,  для каждого компьютера вероятность того что он включен равна 0,3. Найдите вероятность того что в данный момент включено: 

а) три компьютера;

б) не более двух компьютеров;

в) хотя бы один компьютер. 

Решение: 

А)  Вероятность  того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность  появления события равна р(0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна:

P_n(k)=C_n^kp^kq^n-k          - формула Бернулли.

или

где q=1-p;  q=0,7;

35*0,064*0,1296=0,29; 

б) Вероятность того, что при этом событие A наступит не более k раз:

P=P_n(0)+P_n(1)+...+P_n(k);

В) Вероятность того, что при этом событие A наступит хотя бы один раз:

P=1-(1-p)ⁿ

P=1-0,7⁷=0,918 

Задача 3.

В первой бригаде  производится в 10 раз больше продукции чем во второй,  вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной, для первой бригады равна 0,6 а для второй 0,4. Найти: 

а) Вероятность того что наугад взятая продукция стандартная;

б) Вероятность  того что наугад взятая продукция  изготовлена второй бригадой,  если продукция оказалась нестандартной.  
 

Обозначим события: А = «Продукция стандартная» 
В1 = «Продукция производилась первой бригадой» 
В2 = «Продукция производилась второй бригадой» 
 
Для решения поставленной задачи используем формулу полной вероятности:

P(B1)=10/11           P_B1(A)=0,6

P(B2)=1/11             P _B2(A)=0,4

P(A)=P(B1)* P_B1(A)+ P(B2)* P_B2(A)=6/11+4/110=0,5818 

Б) Вероятность того что продукция изготавливалась второй бригадой,  при условии что она не стандартная определим по формулам:

P_B2( )=0,6

P( )=1-0,5818=0,4182

 

Задача 4. 

Дана плотность  распределения случайной величины X: 

 

А)  Значение параметра A. 

Б) Функцию распределения F_X(x). 

В) Значения M(x), D(x), σ(x). 

Г) Вероятность попадания случайной величины в интервал (1/2;  1), построить графики функций. 
 

Решение:

А) Параметр A находим из условия:

=1

 

Б) Имеем: .

 

В)  18,142 

31,99 

31,99-18,142=13,848 

3,72 

 

Задача 5 

В экзаменационную  сессию студенту предстоит сдать  экзамены по трем предметам: математике, истории и иностранному языку. Вероятность  сдачи по математике равна 0,6,  по истории 0,5, по иностранному языку 0,8. Случайная  величина X количество сданных предметов.

А) Составить  ряд распределения и представить  его графически;

Б) Найти функцию  распределения случайной величины X, и построить ее график.

В) Вычислить  математическое ожидание,  дисперсию,  и среднеквадратическое отклонение.

Г)  Определить вероятность сдачи не менее 2 экзаменов. 

Решение: 

А) Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Найдем вероятности  этих событий.

Введем события 
А1 = Сдан экзамен по математике, 
А2 = Сдан экзамен по истории,  
А3 = Сдан экзамен по иностранному языку.  
По условию

P(A1)=0,6;  P(A2) = 0,5;  P(A3)=0,8.  
P( )=1-0,6=0,4;  P( ) =1- 0,5=0,5;  P( )=1-0,8=0,2.  
 
Найдем вероятность события Х - не сдано ни одного экзамена.

 

0,4*0,5*0,2=0,04

Найдем вероятность события Х - сдан только один экзамен.

 
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения  получаем

Найдем вероятность  события Х – сдано два экзамена.

 

Найдем вероятность  события Х - сдано три экзамена.

 

0,6*0,5*0,8=0,24

Искомый закон  распределения:

  

Б) Функция распределения:

В) Математическое ожидание:   M(x)= 1,9

Дисперсия: 

4,26

2,36

Среднеквадратическое отклонение:   1,536 
 

   Задача 6.

   Длина детали есть случайная величина X распределенная по нормальному закону со средним значением a=10 см, и среднеквадратическим отклонением σ=5 см. Записать функции плотности и распределения случайной величины X и построить их графики. Определить вероятность того что:

   А) Длина  детали составит от 9 до 12 см;

   Б) Величина погрешности не превзойдет 1 см по абсолютной величине.

   В) По правилу 3-х сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемой длины детали.

    Решение:

   Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины выражается формулой

   

И функция распределения  F_x (x) имеет соответственно вид:

.

   Для вычисления вероятности попадания случайной  величины в интервал (a, b) воспользуемся  функцией    Лапласа:

   Перейдем  к стандартной нормальной случайной  величине 

    

 

   Тогда      

   

   Значения  функции Ф(u) необходимо будет взять  взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)" .  

   

   

   Б) Воспользуемся формулой: 

    

     2* =0,318

   В) Правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от  а(математического ожидания)  не превосходит 3σ.

    =