Сложение отрицательных чисел

 

 

Оглавление

1.  Введение (цель, задачи, гипотеза, методы исследования)

3.  Теоретическая часть:

      Вступление.

      Из истории  возникновения отрицательных чисел.

           § 1.  Область применения отрицательных чисел

      § 2.  Где и когда стали применятся отрицательные числа

           § 3.  Свойства чисел на числовой оси

  § 4.  Действия над положительными и отрицательными числами

5.  Вывод

6.  Список использованных источников информации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Данная работа относится к разделу проблемно - исследовательскому.

 

 

 

Цель исследования:

Выяснить, что означают отрицательные числа в жизни людей: нужны ли они в повседневной жизни и в быту

 

Задачи работы:

1) рассмотреть взаимосвязь  между отрицательными числами и жизнью,

2) проанализировать, как отрицательные числа влияют на нашу жизнь.

 

Гипотеза:

Если отрицательные числа  не так необходимы нам как повседневной жизни так и в профессиональных сферах, мы бы легче принимали и анализировали поступающую информацию, не деля числа, на положительные и отрицательные. 

 

Практическая  значимость: если гипотеза подтверждается, то можно утверждать, что мы с легкостью справлялись бы поступающей информацией.      

Если нет, то без знания понятий и свойств отрицательных  чисел, наша жизнь была бы намного  сложнее, не давая нам правильно  охарактеризовать сложившиеся ситуации, связанные непосредственно с положительными и отрицательными числами.

 

Методы исследования:

• изучение и анализ литературы по данной теме;
• подбор задач, подтверждающих связь математики с жизнью;
• сбор и анализ общественного мнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступление

Наглядно представить  себе дробь может каждый; для этого  достаточно посмотреть на разрезанный  арбуз, пирог или на огород, разделенный  на грядки. Но представить себе число – 5 труднее. Ведь нельзя отмерить -5м ткани или отрезать –500г хлеба. Зачем же нужны такие странные числа с еще более странными правилами действий над ними?

Дело в том, что существует много вещей, которые могут как  увеличиваться, так и уменьшаться. Положительные и отрицательные  числа как раз и служат для  описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что её изменение  положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным.

 

Где и когда  стали применятся отрицательные  числа

     Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей, которые были знакомы египтянам и вавилонянам много тысяч лет назад. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательные числа не использовали, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.      Первые же сведения об отрицательных числах относятся примерно ко II веку до н.э. Решение многих уравнений сводится к отрицательным корням. Например, в задаче: отец старше сына на 18 лет. Сейчас сыну 25 лет. Через сколько лет отец будет в 2 раза старше сына? Составив уравнение и решив его, получим, что корень равен  -7. Значит, 7 лет назад отец был вдвое старше сына. Такие уравнения в древности просто не рассматривались, отрицательные числа не признавались, отрицательные корни уравнений считали ложными.

Задача: Отец старше сына на 18 лет. Сейчас сыну 25 лет. Через сколько лет отец будет в 2 раза старше сына? Решение: Пусть через х лет, тогда сыну будет (25 + х) лет, а отцу будет (43 + х) лет. Составляем уравнение: 2(25 + х) = 43 + х 50 + 2х = 43 + х 2х – х = 43 – 50 х = -7

Так во 2 веке до н.э. китайский учёный Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» приводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество.

    

               Долг (кредит)                                      Имущество

 

     Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличие от положительных. В Древней Индии и Китае догадались вместо слов «долг в 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы черной тушью. Индийские математики столкнулись с отрицательными числами при решении уравнений. Индийский математик  Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными,  он сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами в таком виде:

«Сумма двух имуществ есть имущество».

 (+х) + (+у) = +(х + у)‏

 

«Сумма двух долгов есть долг».  

(-х) + (-у) = - (х + у)‏

 

«Сумма имущества и  долга равна их разности»   

  (-х) + (+у) = - (х - у)‏          или            (-х) + (+у) = +(у - х)‏

 

«Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом».

  0 – (-х) = +х

«Имущество,  вычитаемое из нуля, становится долгом».

  0 – (+х) = -х

Индийские математики применяли  к отрицательным числам все правила  четырех действий, но без должного теоретического обоснования.

 

Пример: У  одного квартиросъемщика два долга: 50 тенге за телефон и 70 тенге за Интернет. Какова  сумма всего долга?

У второго квартиросъемщика три долга: 20 тенге за газ, 30 тенге за электричество. Какова сумма его долга? Чей долг больше?

1)-50+(-70)=-120

2)-20+(-30)=-50

ответ: долг первого квартиранта  больше

    Знаков «+» и «-», в древности не было ни для чисел, ни для действий. Греки тоже поначалу знаков не использовали, пока в III веке Диофант Александрийский не стал обозначать вычитание знаком . В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математики уже рассматривали их наравне с положительными.

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными».  Даже знаменитый математик Блез Паскаль  утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто.

 

Признанию отрицательных чисел способствовали  работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596-1650). Он предложил  геометрическое истолкование положительных  и отрицательных чисел – ввел координатную прямую (1637 г.).

 

Рациональные  числа обозначаются большой латинской буквой R. Число 0 относится к целым рациональным числам. С натуральными и дробными положительными числами мы ознакомились ранее. Рассмотрим подробнее отрицательные числа в составе рациональных чисел.

Отрицательное число с древних времен ассоциируется со словом «долг», тогда как положительное число можно ассоциировать со словами «наличие» или «доход». Значит, положительные целые и дробные числа при вычислениях — это то, что мы имеем, а отрицательные целые и дробные числа — это то, что составляет долг. Соответственно, результат вычислений — это разность между имеющимся количеством и нашими долгами.

Отрицательные целые  и дробные числа записываются со знаком «минус»

(«-») перед числом. Численная величина отрицательного  числа — это его модуль. Соответственно, модуль числа — это значение числа (и положительного, и отрицательного) со знаком плюс. Модуль числа записывается так: |2|; |-2|.

Каждому рациональному  числу на числовой оси соответствует  единственная точка. Рассмотрим числовую ось (рисунок внизу), обозначим на ней точку О.

Точке О поставим в соответствие число 0. Число 0 служит границей между положительными и отрицательными числами: справа от 0 — положительные числа, величина которых изменяется от 0 до плюс бесконечности, а слева от 0 —отрицательные числа, величина которых тоже изменяется от 0 до минус бесконечности.

 

 

 

 

Исходя из этого  правила, положительные числа растут слева направо, а отрицательные  убывают справа налево (при этом модуль отрицательного числа увеличивается).

Знаменитые отрицательные  числ

−273,15 °C Абсолютный ноль температуры

−13,7 млрд столько лет прошло с момента большого взрыва

 

Область применения отрицательных чисел

 

«Если я стою на вершине  горы, то я начинаю спуск с её вершины с высоты 2000м  Я иду  вниз, и высота, на которой я нахожусь, становится все меньше и меньше. Вот я спустилась с высоты 1000м, теперь я на высоте 500м, вот я уже  на высоте 200м, и вот, наконец, я спустилась к самому моря. Я стою у кромки воды, и волны лижут подошвы  моих ботинок. Значит, я нахожусь на высоте 0м над уровнем моря. Здесь  я надеваю водолазный скафандр и, ступая по дну моря, продолжаю спускаться вниз. Я иду вниз, значит, высота, на которой я нахожусь, становится еще меньше, меньше нуля. А я знаю, что есть числа меньше нуля – это отрицательные числа! Следовательно, здесь, на дне моря, высота отрицательная. Сейчас я спустилась на 100м вниз от кромки воды, и могу сказать, что нахожусь на высоте  -100м. А если бы я не пользовалась отрицательными числами, то мне пришлось бы сказать, что я нахожусь на глубине 100м.» Наглядный пример, что без отрицательных чисел, мир бы был для нас, не так понятен.

     Область применения  отрицательных чисел велика: география,  физика, математика, медицина и т.д.

Отрицательные числа соответствуют  точкам, находящимся под поверхностью моря. Так, вершина горы может соответствовать  числу 2000м, а затонувшему кораблю  соответствует число -2000м, но не как  не наоборот. 

С отрицательными числами  мы сталкиваемся каждый раз, говоря о  температуре воздуха. Если на улице  тепло, то температура воздуха выражается положительным числом, а если мороз, то отрицательным числом

 

                                                       

Или когда говорят, что  температура воздуха изменилась  на  -8°,  это значит, она понизилась на 8°, а если изменилась  на  8°, значит, повысилась на 8°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 Таким образом,  отрицательные числа наряду с положительными числами и с числом нуль служат для измерения величин, могущих изменяться в двух  противоположных  направлениях от некоторого значения, принятого за начало отсчета.

 

Свойства чисел  на числовой оси

1. Всякое положительное число и 0 больше любого отрицательного числа.
2. Всякое положительное число больше 0. Всякое отрицательное число меньше 0.
3. Всякое отрицательное число меньше положительного числа. Положительное или отрицательное число, стоящее правее, больше положительного или отрицательного числа, стоящего левее на числовой оси.

Определение. Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными.

Например, числа 2 и -2, 6 и -6. -10 и 10. Противоположные числа  расположены на числовой оси в  противоположных направлениях от точки О, но на одинаковом расстоянии от нее.

Дробные числа, представляющие собой в записи обыкновенную или  десятичную дробь, подчиняются тем  же правилам на числовой оси, что и  целые числа. Из двух дробей больше та, которая стоит на числовой оси  правее; отрицательные дроби меньше положительных дробей; всякая положительная  дробь больше 0; всякая отрицательная  дробь меньше 0.

Например:  Противоположные дроби: 0,5 и -0,5;

 

Сравнение рациональных чисел — это сравнение чисел положительных и отрицательных, целых и дробных (обыкновенные дроби и десятичные дроби).

Из двух рациональных чисел  больше то, которому на числовой оси  соответствует точка, расположенная  правее. Тогда:

1. Всякое положительное число больше 0. Например: 
2. Всякое отрицательное число меньше 0. Например: 
3. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Например: 
4. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Например: 

 

 

Действия над  положительными и отрицательными числами

Чтобы сложить два отрицательных  числа, нужно сложить их модули и  поставить перед полученным числом знак "-". 
Например, -4,5+(-2,2)=-(4,5+2,2)=-6,7.

Чтобы сложить два числа  с разными знаками, надо от большего модуля вычесть меньший и поставить  перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. 
Например, 5+(-7)=-(7-5)=-2; -4+7=+(7-4)=+3=3. 
Чтобы от данного числа вычесть второе число, надо к уменьшаемому добавить число, противоположное вычитаемому: a-b=a+(-b). 
Например, -16-12=(-16)+(-12)=-(16+12)=-28; (-16)-(-12)=-16+12=-4.

Чтобы умножить два числа  с разными знаками, надо перемножить  модули этих чисел и поставить  перед произведением знак "-".

Например, 4∙(-3)=-12; 2,1∙(-2)=-4,2;

Чтобы умножить два отрицательных  числа, нужно перемножить их модули и поставить знак "+".

Например, (-4)∙(-3)=+12=12; (-1,3)∙(-3)=+3,9=3,9;

Чтобы разделить отрицательное  число на отрицательное число, надо разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить знак "+.

Например, (-9):(-3)=+3=3;

При делении чисел с  разными знаками надо разделить  их модули и поставить перед частным  знак "-". 
Например, (-8):2=-4; 15:(-3)=-5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод:

Если не брать во внимание Википедию, учебники и пр. ресурсы, на мой взгляд, жизнь без отрицательных чисел, была бы крайне неудобна, и не только, в различных профессиональных отраслях, но и в быту. Мы уже привыкли объяснять нашим родным и близким, что зимой на улице не 20 градусов, а -20, изучая географию, нам становится понятно, откуда берутся высоты и глубины, что беря кредиты, долги и пр.  мы в своем капитале, рисуем тот самый “-“, как и древние ученные нашего мира, даже на наших телефонах, при проверке баланса,  мы иногда обнаруживаем что мы «в минусе» и не паникуем, как это делали наши предки, называя эти цифры абсурдными, мнимыми и т.д., потому что знаем, откуда они взялись.     Однозначно, какую бы я профессию не выбрал в будущем, я уверен, что знания об отрицательных числах, мне, несомненно, понадобятся.