Отрицательное число

Положительные и отрицательные числа

 

Натуральные числа, противоположные им числа  и число 0 называются целыми числами. Положительные числа (целые и дробные), отрицательные числа (целые и дробные) и число 0 составляют группу рациональных чисел.

Рациональные числа обозначаются большой латинской буквой R. Число 0 относится к целым рациональным числам. С натуральными и дробными положительными числами мы ознакомились ранее. Рассмотрим подробнее отрицательные числа в составе рациональных чисел.

Отрицательное число с древних времен ассоциируется со словом «долг», тогда как положительное число можно ассоциировать со словами «наличие» или «доход». Значит, положительные целые и дробные числа при вычислениях — это то, что мы имеем, а отрицательные целые и дробные числа — это то, что составляет долг. Соответственно, результат вычислений — это разность между имеющимся количеством и нашими долгами.

Отрицательные целые и дробные числа записываются со знаком «минус» («-») перед числом. Численная величина отрицательного числа — это его модуль. Соответственно, модуль числа — это значение числа (и положительного, и отрицательного) со знаком плюс. Модуль числа записывается так: |2|; |-2|.

Каждому рациональному числу на числовой оси соответствует единственная точка. Рассмотрим числовую ось (рисунок  внизу), обозначим на ней точку О.

Точке О поставим в соответствие число 0. Число 0 служит границей между положительными и отрицательными числами: справа от 0 — положительные числа, величина которых изменяется от 0 до плюс бесконечности, а слева от 0 — отрицательные числа, величина которых тоже изменяется от 0 до минус бесконечности.

Правило. Всякое число, стоящее на числовой оси правее, больше числа, стоящего левее.

Исходя  из этого правила, положительные  числа растут слева направо, а  отрицательные убывают справа налево (при этом модуль отрицательного числа  увеличивается).

Свойства  чисел на числовой оси

1. Всякое положительное число и 0 больше любого отрицательного числа.
2. Всякое положительное число больше 0. Всякое отрицательное число меньше 0.
3. Всякое отрицательное число меньше положительного числа. Положительное или отрицательное число, стоящее правее, больше положительного или отрицательного числа, стоящего левее на числовой оси.

Определение. Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными.

Например, числа 2 и -2, 6 и -6. -10 и 10. Противоположные  числа расположены на числовой оси  в противоположных направлениях от точки О, но на одинаковом расстоянии от нее.

Дробные числа, представляющие собой в записи обыкновенную или десятичную дробь, подчиняются тем же правилам на числовой оси, что и целые числа. Из двух дробей больше та, которая стоит  на числовой оси правее; отрицательные  дроби меньше положительных дробей; всякая положительная дробь больше 0; всякая отрицательная дробь меньше 0.

Например: Противоположные дроби: 0,5 и -0,5;

 

Отрицательное число

 

Отрица́тельное число́ — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Отрицательные числа на числовой оси

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля:

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

При делении с остатком частное  может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе  он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

 

 

 

Свойства  отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются  практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют  некоторые особенности.

1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

Вариации  и обобщения

Понятия положительных и отрицательных  чисел можно определить в любом упорядоченном кольце. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:

• Целые числа
• Рациональные числа
• Вещественные числа

Приведенные выше свойства 1-3 имеют  место и в общем случае. К комплексным числам понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.