Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Июня 2014 в 22:00, реферат
В настоящее время происходит активное внедрение в практику школы различных педагогических инноваций, авторских программ и учебников, смещение акцента в обучении на разностороннее гармоничное развитие учащихся и прежде всего умственное развитие. Одной из важнейших задач обучения младших школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, в основу которых кладется осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Это достигается в результате длительного выполнения тренировочных упражнений. Решение детьми большого количества однотипных упражнений, безусловно, способствует усвоению вычислительного приема, но вместе с тем часто определяет однообразие мыслительной деятельности учащихся, реализуя лишь обучающие цели – закрепление знаний, формирование умений и навыков. Это отрицательно сказывается на развитии учащихся. Снижается их познавательная активность: пропадает интерес, рассеивается внимание, нарастает число ошибок и т.п.
Правило 3.16. Умножение на 99.
Чтобы умножить число на 99, достаточно к нему приписать два нуля и из полученного вычесть данное число.
Пример: 347 · 99 = 347 · 100 – 347 = 34 700 – 347 = 34 353.
Правило 3.17. Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, достаточно вычесть из него число его десятков,
увеличенное на единицу, и к полученному результату приписать дополнение цифры единиц данного числа до десяти.
Правило 3.18. Умножение на 99.
Чтобы умножить число на 99, достаточно из него вычесть число его сотен,
увеличенное на единицу, и к полученному результату приписать дополнение до 100 числа, образованного двумя последними цифрами данного числа.
Пример: Для нахождения значения
выражения 246 · 99 проделаем следующее:
1) из данного числа вычтем число его сотен, увеличенное на единицу: 246 – 3 = 243;
2) найдем дополнение числа, образованного двумя последними цифрами данного числа, до 100: 100 – 46 = 54;
3) приписываем дополнение к предыдущему результату и получаем ответ: 246 · 99 = =24354.
Правило 3.19. Умножение на 999.
Чтобы умножить число на 999, достаточно из него вычесть число тысяч, увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение до 1000 числа, образованного последними тремя цифрами данного числа.
Пример: Чтобы найти значение произведения 4532 · 999, проделаем следующее:
1) из данного числа вычтем число тысяч, увеличенное на единицу: 4532 – (4 +1) = =4527;
2) находим дополнение до 1000 числа, образованного тремя последними цифрами данного числа: 1000 – 532 = 468;
3) приписываем полученное дополнение к предыдущему результату, получаем ответ: 4532 · 999 = 4 527 468.
Правило 3.20. Умножение на 98, 97, 96.
Чтобы умножить число на 98, или на 97, или на 96, достаточно к нему приписать два нуля и из полученного числа вычесть удвоенное, или утроенное, или учетверенное данное число.
Пример: а) 253 · 98 = 253 · 100 – 2 · 253 = 25 300 – 506 =24 794;
б) 247 · 97 = 247 · 100 – 3 · 247 = 24 700 – 741 = 23 959;
в) 128 · 96 = 128 · 100 – 4 · 128 = 12 800 – 512 = 12 288.
Правило 3.21. Умножение на 998, 997, 996.Чтобы умножить число на 998, или на 997, или на 996, достаточно к нему приписать три нуля и из полученного числа вычесть удвоенное, или утроенное, или учетверенное данное число.
Пример: а) 245 · 998 = 245 · 1000 – 245 · 2 = 245 000 – 490 = 244 510;
б) 127 · 997 = 127 · 1000 – 127 · 3 = 127 000 – 381 = 126 619;
в) 836 · 996 = 836 · 1000 – 996 · 4 = 836 000 – 3344 = 832 656.
Прием 3.5. Представление одного из сомножителей произведения в виде суммы двух чисел.
Один из сомножителей произведения представляем в виде суммы двух чисел, второй
сомножитель умножаем на каждое слагаемое, а затем складываем получившиеся произведения. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 3.22. Умножение на 11.
Чтобы умножить число на 11, достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить само число.
Пример: 63 · 11 = 63 · 10 + 63 = 630 + 63 =693.
Правило 3.23. Умножение на 101.
Чтобы умножить число на 101, достаточно увеличить его в 100 раз и к полученному результату прибавить само число.
Пример: 124 · 101 = 124 · 100 + 124 = 12 400 + 124 = 12 524.
Правило 3.24. Умножение на 1001.
Чтобы умножить число на 1001, достаточно увеличить его в 1000 раз и к полученному результату прибавить само число.
Пример: 7639 · 1001= 7639 · 1000 + 7639 = 7 639 000 + 7639=7 646 639.
Правило 3.25.
Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его цифры и вставить
между ними их сумму. Причем если эта сумма сама является двузначной, то ее единицы вставляются между цифрами данного числа, а десятки прибавляются к первой цифре.
Пример. Для нахождения значения произведения 42 · 11 проделаем следующее:
1) находим сумму 4 + 2 = 6;
2) раздвигаем цифры числа 42, вставив между ними цифру 6, получим ответ: 42 · 11 = = 462.
Правило 3.26. Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.
Пример: 51 · 101 = 5151.
Правило 3.27. Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующему числу приписать его дополнение до 100.
Пример: 49 · 99 = 4851.
Прием 3.6. Умножение двузначных чисел, каждое из которых содержит по 9 десятков.
Чтобы перемножить двузначные числа, каждое из которых содержит по 9 десятков, достаточно найти дополнение второго числа до 100, вычесть его из первого числа и к результату приписать произведение дополнений данных чисел до 100.
Пример. Для нахождения значения произведения 86 · 97 проделаем следующее:
1) из первого сомножителя вычтем дополнение второго до 100: 86 – 3 = 83;
2) находим произведение дополнений данных чисел до 100: (100 – 86) · (100 – 97) =
= 14 · 3 = 42;
3) приписываем это произведение к предыдущему результату, получаем ответ:
86 · 97 = 8342.
Прием 3.7. Умножение чисел меньших двадцати.
Чтобы умножить два числа, которые меньше двадцати, достаточно прибавить к первому единицы второго, к результату приписать нуль и прибавить произведение единиц.
Пример. Для нахождения значения произведения 16 · 13 проделаем следующее:
1) к первому сомножителю прибавляем единицы второго: 16 +3 = 19;
2) приписываем к результату нуль и прибавляем произведение единиц, получаем ответ: 190 + 6 · 3 = 208.
4. Приемы деления.
Приемы рациональных вычислений для деления основаны на законах умножения и
следующих свойствах (изменения частного).
Свойство 4.1. Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.
Свойство 4.2. Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное уменьшится (увеличится) во столько же раз.
Рассмотрим приемы, основанные на данных свойствах, позволяющие упростить вычислительный процесс.
Прием 4.1. Поразрядное деление чисел.
Делимое делим поразрядно, начиная с единиц старшего разряда.
Правило 4.1. Деление на 2.
Деление числа на 2 следует начинать со старших разрядов.
Пример: 234 : 2 = 200 : 2 +30 : 2 + 4 : 2 = 100 + 15 + 2 = 117.
Прием 4.2. Разложение делителя на множители.
Делитель представляем в виде произведения нескольких сомножителей, а затем последовательно делим делимое на эти сомножители. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 4.2. Деление на 4
Деление числа на 4 сводится к двукратному делению на 2.
Пример:9824 : 4 = 9824 : 2 : 2 = (9000 : 2 + 800 : 2 + 20 : 2 + 4 : 2) : 2 = (4500 + 400 + 10+ + 2) : 2 = 4912 : 2 = 4000:2 + 900 : 2 + 10 : 2 + 2 : 2 = 2000 + 450 + 5 + 2 = 2457.
Правило 4.3.Деление на 8.
Деление на 8 сводится к трехкратному делению на 2.
Пример: 248 : 8 = (248 : 2) : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31.
Правило 4.4. Деление на 16
Деление на 16 сводится к четырехкратному делению на 2.
Пример: 512 : 16 = (512 : 2) : 8= (256 : 2) : 4 = (128 : 2 ) : 2 = 64 : 2 = 32.
Прием 4.3. Представление делителя в виде частного двух чисел
Делитель представляем в виде частного двух чисел, делимое умножаем на второе число, а затем этот результат делим на первое число. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.
Правило 4.5. Деление на 5.
Чтобы разделить число на 5, достаточно умножить его на 2 и разделить на 10.
Пример: 345 : 5 = (345 · 2) : 10 = 690 : 10 = 69.
Правило 4.6. Деление на 50.
Чтобы разделить число на 50, достаточно умножить его на 2 и разделить на 100.
Пример: 17 200 : 50 = (17 200 · 2) : 100 = 34 400 : 100 = 344.
Правило 4.7. Деление на 500
Чтобы разделить число на 500, достаточно умножить его на 2 и разделить на 1000.
Пример: 238 000 : 500= (238 000 · 2) : 1000 = 476 000 : 1000 = 476.
Аналогично формулируются правила деления на 5 · 10n (n ‡ 3).
Правило 4.8. Деление на 25
Чтобы разделить число на 25, достаточно умножить его на 4 и разделить на 100.
Пример: 41 200 : 25 = (41 200 · 4) : 100 = (41 200 · 2 · 2) : 100 = (82 400 · 2) :
: 100 = 164 800 : 100 = 1648.
Правило 4.9. Деление на 250.
Чтобы разделить число на 250, достаточно умножить его на 4 и разделить на 1000.
Пример: 216 000:250 = (216 000 · 4):1000 = (216 000 · 2 · 2):1000 = (432 000 ·
· 2) : 1000 = 864 000 : 1000 = 864.
Правило 4.10. Деление на 125.
Чтобы разделить число на 125, достаточно умножить его на 8 и разделить на 1000.
Пример: 12 000:125 = (12 000 · 8) : 1000 = ((12 000 · 2) · 4):1000 = (24 000 ·
· 2) · 2:1000 = (48 000 · 2):1000 = 96 000 : 1000 = 96.
Правило 4.11. Деление на 1250.
Чтобы разделить число на 1250, достаточно умножить его на 8 и разделить на 10000.
Пример:24 000:1250 = (24 000 · 8) : 10 000 = (24 000 · 2) · 4) : 10 000 =
= ((48 000 · 2) · 2) : 10 000 = (96 000 · 2) : 10 000 = 192 000:10 000 = 192.
Без такой подготовительной работы, обеспечивающей овладение каждым учителем начальных классов приемами рациональных устных вычислений, все попытки методистов вооружить их методикой формирования у учащихся соответствующих умений не дают желаемых результатов.
Литература
1. Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел. – М.: Гос. уч. пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1954.
2. Берман Г. Н. Приемы быстрого счета. – М.: Гос. изд-во технико-теоретической
литературы, 1942.
3.Сорокин А.С. Техника счета (Методы рациональных вычислений). – М.: Знание,
1976.
Информация о работе Рациональные вычисления в курсе математики начальных классов