Обыкновенные дроби

 

    Данное задание ученики  выполняют с интересом. Повышенную  активность, даже у слабых учеников, вызывает вторая часть задания.

    Для формирования умения сравнивать дроби, предлагаются учебные задания с элементами занимательности и самоконтроля.

                   Приведем одно из заданий:

     На доске прикреплены  модели кругов, разрезанные на  две, на восемь, на шесть, на  четыре, на три равные части.

 

 

 

     Работа проходит следующим  образом:

     Какие геометрические  фигуры перед вами? Что общего  у всех этих кругов? Посмотрите  на первый круг слева. Насколько  равных частей они разделены?  Покажите заштрихованную часть  круга. Какая это часть круга? Запишите соответствующую дробь под этим кругом. На сколько равных частей разделен следующий круг? Покажите заштрихованную часть круга. Какая это часть? Запишите соответствующую дробь под кругом. Что означает знаменатель этой дроби, что означает числитель этой дроби?

      Аналогичная работа  проводится с другими кругами.

   

  Далее предлагается таблица:

 

 

1/6	1/2	1/3	1/8	1/4
И	К	А	Н	Г

 

        Используя  эту таблицу, учащиеся заменяют  дроби буквами и отгадывают  загадку: «Не куст, а с листочками, не рубашка, а сшита, не человек,  а говорит.»

   (КНИГА)

              Затем на доске делается запись:

  1/2 и 1/8     1/4 и 1/8    1/3 и 1/8     1/3 и 1/6     1/2 и 1/6      1/4 и 1/6    1/3 и 1/4

 1/8 и 1/2      1/8 и 1/4    1/8 и 1/3     1/6 и 1/3     1/6 и 1/2      1/6 и 1/4    1/4  и 1/3

          Используя  в качестве наглядности круги,  требуется поставить вместо и соответствующие знаки сравнения. Учащиеся выполняют это задание самостоятельно, а затем проводят проверку у доски.

           Убедившись в том, что у учеников сформировались представления о дроби и умение сравнивать дроби с опорой на наглядность, мы решили ввести дроби с числителем больше единицы.

             Для этого предлагаем решить  следующую задачу:

      « Мама к чаю подала торт, разрезанный на 10 равных кусков. Брат съел 2 куска торта, а сестра один кусок. Какую часть торта съел брат? Какую часть торта съела сестра?»

     Для решения этой  задачи используем наглядный  материал – 

круг, разделенный на 10 равных частей. Работа

над задачей проходит так:  На сколько равных частей мама

разделила торт? Сколько торта съела  сестра? Покажите на рисунке.

Какую часть торта составляет один кусок? Кто может записать соответствующую  дробь? Сколько кусков торта съел брат?  Покажите на рисунке. Какую часть торта составляют два куска? Кто сможет записать дробь две десятых?

    Этот вопрос сначала  вызывает затруднение. Однако  поразмыслив, многие  приходят  к верному выводу и записывают: 2/10.

• Назовите знаменатель этой дроби. Объясните, что он означает.  Назовите числитель этой дроби.  Объясните его значение.  Затем учащиеся выполняют сравнение дробей с опорой на наглядность и записывают соответствующие неравенства:

                                                    1/10<2/10,    2/10>1/10

Кому из детей досталось больше торта? А кому меньше? Сколько всего кусков

торта съели дети? Покажите на рисунке. Какую часть торта составляют три куска? Запишите дробь. Объясните  значение числителя и знаменателя  этой дроби.

    Выполнение этого задания,  вызывает интерес даже у малоактивных детей. В работе принимают участие все ученики класса.

     Далее ведется работа  по изучению тем «Нахождение  доли числа» и «Нахождение  числа по доле». Обе эти темы  вводятся одновременно. Причем, первой  решалась задача, в которой  требовалось по доле найти число. Затем предлагается составить обратную задачу, т.е. найти долю числа.

    Деятельность учащихся  должна быть организована следующим  образом:  Вначале учащимся предлагается  задача: « Береза прожила 50 лет, что составляет одну пятую продолжительности ее жизни. Какая продолжительность жизни березы?».

        На доске дана модель этой задачи. Дети, используя модель рассуждают так:     « Одна пятая часть составляет 50 лет, а в целом пять таких частей. Можно узнать продолжительность жизни березы, для этого надо 50 умножить на 5».  Под моделью выполняется запись:           50*5=250

        Дети дают  ответ на вопрос задачи.

        Учитель предлагает  составить задачу, обратную данной. Ученики быстро и правильно  справляются с этим заданием: «Продолжительность жизни березы 250 лет. Она прожила 1/5 своей жизни. Сколько лет прожила береза?».

        Составленную  задачу ученики решают самостоятельно, используя модель, данную к первой  задаче. Получив ответ, они убеждаются  в правильности решения исходной задачи.

       Рассмотренная  методика изучения темы «Доли»  подтверждает, что учащимся 2-го класса  доступно усвоение терминов дробь, числитель, знаменатель,  а также образование, чтение, запись и сравнение дробей с числителем больше единицы. Применение нестандартных учебных заданий при изучении темы способствует активизации деятельности и интереса учащихся по изучаемому материалу.

 

Методика изучения обыкновенных дробей в 6 классе.

       ( К этому моменту  учащимся уже все известно  о десятичных дробях и действиях над ними)

            Сначала в 6 классе уточним  представление об обыкновенных  дробях, как о частном от деления  двух натуральных чисел.

              Это можно сделать так:

1. Предложим практическую задачу (3 шоколадки разделить на 4х детей)

 

 

3:4=3/4

      Вывод:  Дробь – это частное от деления числителя на знаменатель.

       При закреплении  включать так же примеры:

          0,8/0,5=0,8:0,5       (5 кл.)

          1,2+0,9/7:10=2,1/0,7=2,1:0,7=3

       На следующем  этапе на основе наблюдений по наглядности, учащиеся должны самостоятельно подойти к выводу основного свойства дроби.

 

 

 

 

 

 

 

                    1/2            =              2/4        =            3/6           =           5/10

(Запись одного и  того же числа)

      Как получить каждую дробь из 1/2 ?

      А как получить 1/2 из каждой другой дроби?

      Сделайте вывод.

       Основное свойство  дроби позволит познакомить учащихся  с двумя новыми правилами:

Правило приведения дробей к общему знаменателю.

Предложить двум учащимся  11/36 и 13/60 заменить дробью, равной данной, но со знаменателем 180.

Затем сообщить, что эти  дроби вы привели к общему знаменателю.

11/36=11*5/180

Подвести к выводу, что НОЗ всегда будет НОК

    

Правило сокращения дробей.

Предложить учащимся дробь, например 18/27, заменить ее другой, равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем. Кто-то запишет 6/9, а кто-то 2/3. Ввести термин несократимая дробь.

Вывод: Удобнее сокращать сразу на НОД числителя и знаменателя.

 

    На следующем этапе познакомить с обобщенным правилом сравнения обыкновенных дробей:

  А) Вспомнить за 5 кл., как  сравнивать дроби с одинаковыми   знаменателем:

3/5 и 4/5    т.к.  3 < 4,   то   3/5  <  4/5

          Б) Предложить  сравнить дроби с разными знаменателями,  но с одинаковым числителем: 3/4 и 3/5,  т.к  4 < 5,  ( четвертые доли целого крупнее чем пятые), то 3/4  > 3/5.

           В)  Сравнить дроби с разными числителями  и знаменателями:

3/7 4/9  . Подвести к случаю А), найдя НОК,  3/7=27/63    4/9=28/63

т.к. 27/63<28/63,  то   3/7<4/9.

    Сложение и вычитание  дробей с разными знаменателями,  сводим, к известному с 5 кл., правилу:  « Сложение и вычитание дробей  с одинаковыми знаменателями».

   Сначала предложим пример  на повторение:

15/20+14/20=3/4+7/10   Возникла проблемма

3/4+7/10=15/20+14/20=29/20

    Сделайте вывод: «Чтобы  сложить две дроби с разными  знаменателями, нужно привести  дроби к НОЗ и воспользоваться  правилом сложения и вычитания  дробей с одинаковыми знаменателями».

    При сложении и вычитании  смешанных дробей, рекомендуется для более рациональных вычислений, использовать переместительный и сочетательный законы сложения и вычитания.

31/5+53/4=(3+1/5)+(5+3/4)=(3+5)+(1/5+3/4)=819/20

51/5-33/4=(5-3)+(1/5-1/4)=2+4-15/20=1+24-15/20=119/20

    С умножением обыкновенных  дробей можно познакомить по-разному.

1. Как в учебнике.

Фрагмент урока

Найти S прямоугольника, если: а) L = 10 см, ширина= 5 см,

                                                       б) 2,3  и  5,7

                                                        в)  7/5  и  3/4

 

               10

                                        5         - устно

                                                                                            подготовительная

                    5,7                                                                                     работа

                                          2,3               - письменно

              7/5

                               3/4                            -пока не умеем

 

      Возникла  проблема.

   Решение возникшей  проблемы возможно двумя способами:

 

1-ый способ.

3/4м=75см

7/5м=140см

S=75*140=10500 кв.см.

S=1,05 кв.м=15/100=11/20 кв.м=21/20 кв.м

2-й способ

3/4м=0,75м

7/5м=1,4м

S=0.75*1.4=1.050 кв.м

3/4*7/5=21/20    a/b*c/d=a*c/b*d

 

Чтобы эти вычисления шли без труда,

в устном счете повторить

 предварительно соотношения                                               

между L и S. Подходим к решению проблемы: 3/4*7/5=21/20   a/b*c/d=a*c/b*d

 

      Получив результат  и сравнив числители множителей  с числителем  и знаменатели  множителей со знаменателями  результата, учащиеся попытаются  сами сформулировать правило  умножения обыкновенных дробей.

    После тренинга рассмотреть  частные случаи типа:  32/3*3/4    2*3/5   0*4/5

2. Альтернативный вариант.

   Он заключается в геометрическом  способе вывода новогоправила  с опорой на наглядность.

    В устном счете, наряду  с известными примерами, включать неизвестные.

3/4±1/4                   1/2*2/3 –не умеем. Возникла проблема. Далее предложить рисунок прямоугольника, по длине и ширине которого отложены дроби 2/3 и 1/2.  Вспомним смысл дроби.

1/3	1/3	1/3
1/3	1/3	1/3

 

  В чем смысл произведения?  S закрашенной части = 1/2*2/3

  А как  по-другому можно  сосчитать S закрашенной части? ( На сколько равных частей разбит весь прямоугольник? Какую долю представляет из себя каждая из равных частей? А сколько таких шестых долей в закрашенной части?

    Sз.ч.=1/6+1/6=2/6

    Sз.ч.=1/2*2/3=2/6

    На следующем этапе  учащимся предлагается самостоятельно  познакомиться (с.р. №3 стр. 72) с  понятием взаимно обратные числа .

7 и 1/7 – взаимно обратные числа, т.к.    7*1/7=1.

2/3 и3/2 – взаимно обратные числа, т.к.   2/3*3/2=6/6=1.

Затем , опираясь на это новое понятие  и ранее известное правило  взаимосвязи между множителями  и произведением, подвести учащихся к выводу правила:

     Деление обыкновенных дробей   (стр. 74,  6 кл. )

A/b : c/d = a/b*d/c = a*d/b*c

       Текстовые задачи на деление дробей – это способ закрепления изученного правила, кроме того, в результате их решения, повторяются правила нахождения дроби от числа и числа от дроби. (стр. 63,78,  6 кл.)

 

 

 

 

 

Глава 2.  Практическое обоснование  изучения темы  «Обыкновенные дроби»

2.1 Методика  изучения обыкновенных дробей  в школьном курсе математики.

       

      На протяжении  двух лет мы изучили опыт  работы различных учителей, которые  старались повысить качество  усвоения знаний учащихся по  теме «Обыкновенные дроби» с помощью различных форм и методов.

      Например, из опыта  работы О. Севостьяновой, учителя  гимназии № 6 города Волгограда, можно сделать вывод, что изучение  обыкновенных дробей без надежной  опоры на наглядность приводит  к плохому усвоению детьми изучаемого материала. И в качестве  наглядного пособия , она предлагает применять на уроках, посвященных изучению обыкновенных дробей, игру «Детская мозаика». Эта игра состоит из наборного полотна и пластмассовых деталей, имеющих форму квадрата, прямоугольника и    прямоугольного треугольника , которые окрашены в контрастные цвета.

     Составив на мозаичном  полотне различные фигуры из  равных долей всех четырех  цветов, можно задать учащимся  вопрос: «какая часть фигуры закрашена  синим (красным, белым цветом)?».